Spezielle Themen der Algebra/Geometrie: Angeordnete Körper

Wintersemester 2019/2020

Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie
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Aktuelles Vorlesung Übungen Übungsblätter Prüfung Sprechstunden
Die Vorlesung (inkl. Übungen) wird gehalten von Prof. Dr. Benjamin Klopsch.

Aktuelles

20.01.2020:
Das letzte Übungsblatt, Blatt 12, steht nun endlich bereit.
11.12.2019:
Die Übungen am 20.12.2019 fallen aus; Blatt 10 steht bereit.
28.10.2019:
Die Übungen am 01.11.2019 (Feiertag) fallen naturgemäß aus. Stattdessen findet bereits am Donnerstag, 31.10.2019, von 16.30 bis 17.15 Uhr in Raum 25.22.00.72 eine Ersatz-Übungsstunde statt.
09.10.2019:
Das erste Übungblatt steht nun bereit. Am Freitag, dem 18.10.2019, muß die Übung leider kurzfristig ausfallen; daher wir das erste Blatt schon am Mittwoch, dem 16.10.2019, besprochen.
26.09.2019:
Für die Übungen gibt es jetzt einen Termin. Da Ende Oktober Vorlesung und Übung voraussichtlich einmal ausfallen werden, wird die Übungsstunde am 11.10.2019 als zusätzlicher Vorlesungstermin genutzt.
04.07.2019:
Die Seite befindet sich noch im Aufbau. Alle Informationen sind mit Vorsicht zu genießen ...

Vorlesung

Beginn:
Mi. 9. Oktober 2019
Zeit/Ort:
wöchentlich 2-stündig; Mi. 12:30–14:15 Uhr in Raum 25.22.03.73
Inhalt:
In der Vorlesung befassen wir uns mit der Theorie der angeordneten Körper. Wichtigstes Beispiel ist der Körper der reellen Zahlen. Unter anderem behandeln wir E. Artins Lösung des 17. Hilbertschen Problems. Diese impliziert insbesondere: Sei f ein reelles Polynom in endlich vielen Variablen, welches positiv semidefinit sei, d.h., die zugehörige Polynomfunktion nehme an reellen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Dann ist f bereits die Summe von Quadraten rationaler Funktionen über den reellen Zahlen. Genauer kann man fragen: Wieviele Quadrate werden als Summanden benötigt, wenn f ein Polynom in n Variablen ist? Hierzu gibt es die obere Schranke 2n von A. Pfister (1967), von der - bis auf leichte Verbesserungen für grad(f ) ≤ 2n durch O. Benoist (2017) - weiter nicht genauer bekannt ist, wie gut sie eigentlich ist.
Vorkenntnisse:
Vorkenntnisse aus der Vorlesung "Algebra" sind teilweise erforderlich, allgemeine Fertigkeiten aus weiterführenden Vorlesungen des Bachelor-Studiengangs können vorteilhaft sein. Es gibt keine vorherigen Master-Vorlesungen, an die angeschlossen wird. Eventuell vorhandene Lücken oder Unsicherheiten können im Verlauf der Vorlesung/Übung ausgeräumt werden.
Leistungsnachweis:
Bearbeitung wöchentlicher Übungsaufgaben und Bestehen einer mündlichen Prüfung.
Zuordnung:
Master-Studiengänge, Reine Mathematik
Skript:
Das handschriftliche Skriptum dürfen Sie als Teilnehmerin bzw. Teilnehmer der Vorlesung, ergänzend zu Ihren eigenen Aufzeichnungen für persönliche Studienzwecke nutzen. Verbesserungsvorschläge werden gerne entgegengenommen.

Übungen

Zu dieser Veranstaltung werden Übungen angeboten. Die Übungsaufgaben dienen der Einübung des Lehrstoffes und der Vorbereitung auf die mündliche Prüfung. Sie sind ein wichtiger Teil der Lehrveranstaltung. Durch das freiwillige Präsentieren von Übungsaufgaben an der Tafel können Teilnehmer nach Absprache in beschränktem Umfang Bonus-Übungspunkte zur Prüfungszulassung erwerben.
Wenn Sie an den Übungen teilnehmen möchten, melden Sie sich bitte im LSF an.
Beginn:
Fr. 11. Oktober 2019
Zeiten:
wöchentlich, 1-stündig; Fr. 14:30-15:15 Uhr in Raum 25.22.03.73

Übungsblätter

  • Blatt 1.   Besprechung: 16.10.2019 (Achtung: ausnahmsweise am Mittwoch statt am Freitag)
  • Blatt 2.   Besprechung: 25.10.2019
  • Blatt 3.   Besprechung: ersatzweise am 31.10.2019, von 16.30 bis 17.15 Uhr, in 25.22.00.72.
  • Blatt 4.   Besprechung: 08.11.2019
  • Blatt 5.   Besprechung: 15.11.2019
  • Blatt 6.   Besprechung: 22.11.2019
  • Blatt 7.   Besprechung: 29.11.2019
  • Blatt 8.   Besprechung: 06.12.2019
  • Blatt 9.   Besprechung: 13.12.2019
  • Blatt 10. Besprechung: 10.01.2020
  • Blatt 11. Besprechung: 17.01.2018
  • Blatt 12. Besprechung: 24.01.2018

Prüfung

Zu der Veranstaltung werden mündliche Prüfungen angeboten. Zur mündlichen Prüfung ist zugelassen, wer mindestens 40% der Übungspunkte in dieser Vorlesung erzielt. Je nach Studiengang ist gegebenenfalls eine Anmeldung bei Ihrem zuständigen Prüfungsamt notwendig.

Sprechstunden

Prof. Dr. Benjamin Klopsch nach Vereinbarung

Literatur

  • O. Benoist: Writing positive polynomials as sums of (few) squares, Eur. Math. Soc. Newsl. No. 105 (2017), 8-13.
  • N. Jacobson: Basic Algebra I (Chapter 5), W.H. Freeman and Company, San Francisco, 1974.
  • N. Jacobson: Algebra II (Chapter 11), W.H. Freeman and Company, San Francisco, 1980.
  • T. Y. Lam: The theory of ordered fields, in: ring theory and algebra III, Marcel Dekker Inc., New York, 1980.
  • A. Pfister: Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.






Letzte wesentliche Änderung: 16.10.2019
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