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Vorträge

1 02.11.2018 Borns Distributionen
2 09.11.2018 Morales Faltung von Distributionen
3 23.11.2018 Chudzik Der Satz vom Träger
4 30.11.2018 Steinhäuser Der Satz von Paley-Wiener-Schwartz
5 07.11.2018 Adams Ultradistributionen

Alle Vorträge finden statt 14:30-16:00 in 25.22.O3.73

Oberseminar

Im Anschluss an das Seminar möchte ich den Zeitslot für ein Oberseminar nutzen. Das Oberseminar ist vom Seminar organisatorisch getrennt, insbesondere gibt es den Schein für den Besuch des Seminars.

Am 16.11. kann das Seminar nicht stattfinden. Ich werde stattdessen den Artikel "Bemerkung über die Integraldarstellung der Riemannschen ξ-Funktion" von Pólya vorrechnen.

Das Oberseminar behandelt ansonsten Themen, die bei der Arbeit so gerade auftauchen.

Themen

1) Distributionen: Definitionen und wichtige Eigenschaften

  • [H] 2.1.1-2.1.6: Die Definitionen und Eigenschaften werden nur wiederholt; neu ist hier nur der Begriff der Ordnung einer Distribution
  • [H] Schwache Topologie und Thm 2.1.8. Das Thm 2.1.8 wird nicht bewiesen, weil es zu viel Theorie der Frécheträume braucht
  • [H] Thm 2.2.2 und Thm 2.2.4: Der Träger einer Distribution (Theorem 2.2.1 haben wir in der Einf. pDgl gemacht.)
  • [MV] Satz 25.1: Metrische lokalkonvexe Räume
  • [H] 2.3.1 und 2.3.2: Distributionen mit kompaktem Träger

2) Multiplikation von Distributionen (optional)

  • [S] Beweis, dass es keinen sinnvollen Multiplikationsbegriff für Distributionen gibt

3) Die Faltung von Distributionen

  • [H] 4.1.1-4.1.6(a): Faltung einer Distribution mit einer glatten Funktion
  • [H] 4.2.4, 4.2.2 und 4.2.4: Faltung einer Distribution mit kompaktem Träger und einer beliebigen Distribution

4) Der Satz vom Träger

  • [H] 4.3: Satz über den Träger der Faltungsprodukts zweier Funktionen mit kompaktem Träger

5) Einige Fundamentallösungen (optional)

  • [H] 3.3: Einige Fundamentallösungen
  • [H] 2.2.3: Der singuläre Träger
  • [H] 4.2.5: Der singuläre Träger eines Faltungsprodukts
  • [H] 4.4.1: Der singuläre Träger der Lösung einer elliptischen Differentialgleichung

6) Der Satz von Paley-Wiener-Schwartz

  • [H] 7.3: Die Fourier-Laplace-Transformation für Distributionen mit kompaktem Träger. Dieser Abschnitt soll soweit wie sinnvoll, aber ohne die Aussagen über den singulären Träger vorgestellt werden

Das Kapitel 7.1 haben wir schon in der Einführung in die Funktionalanalysis gesehen.

7) Ultradistributionen (optional)

  • [BMT] Definition von Fréchet-Räumen ultradifferenzierbarer Funktionend
  • [BMT] Ultradistributionen
  • [BMT] Der Satz von Paley-Wiener-Schwartz für Ultradistributionen

Generell

Beweise, die bereits in den Vorlesungen "Einführung in die Partiellen Differentialgleichungen" oder "Einführung in die Funktionalanalysis" vorgeführt wurden, werden nicht präsentiert

Literatur

  • [BMT]: Braun, R. W., Meise, R., Taylor, B. A.: Ultradifferentiable Functions and Fourier Analysis, Results Math. 17 (1990), 206-237.
  • [H]: Hörmander, L.: The Analysis of Lineare Partial Differential Operators I, Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1983
  • [MV]: Meise, R., und Vogt, D.: Einführung in die Funktionalanalysis, 1. Auflage, Vieweg, Braunschweig 1992
  • [S]: Schwartz, L.: Sur l'impossibilté de la multiplication des distributions, C. R. Acad. Sci. Paris 239 (1954), 847-848.

Anmeldung zur Vorbesprechung

Die Vorbesprechung findet statt

  • Fr., 20.07.2018, 9:30-10:15, im Hörsaal 5H (anstatt der zweiten Stunde der Vorlesung)

Bitte melden Sie sich per E-Mail zur Vorbesprechung an. Diese Mail sollte folgende Daten enthalten

  • Name
  • Studienfach und -abschnitt (Bachelor- oder Masterstudiengang)
  • Ob der Vortrag als Ausgangspunkt einer Bachelorarbeit dienen soll
  • Falls die letzte Frage mit "ja" beantwortet wurde, welche Prüfungen aus dem fünften oder sechsten Semesters im Bereich Analysis abgelegt wurden
  • Ob tendenziell eher ein Vortrag über Differentialgleichungen oder über Funktionalanalysis gewünscht wird. (Die Grenze ist allerdings fließend.)

Die Seminarplätze werden in der Reihenfolge der Anmeldung vergeben.