Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2023/24

  1. Oktober 2023

© 2023 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Informationen¶

  • Vorlesungsverzeichnis: http://lsf.hhu.de
  • ILIAS: http://ilias.hhu.de

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Wo Sie diese Präsentation bekommen, erkläre ich später

Warum Mathematik im Biologiestudium?¶

  • Weil die enormen Fortschritte der Biologie in den letzten Jahrzehnten auch auf erfolgreiche Mathematisierung zurückzuführen sind

Themen dieser Vorlesung¶

  • Exponentialfunktion, Wachstums- und Abklingprizesse
  • Beschreibende Statistik
  • Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
  • Etwas Analysis
  • Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitstheorie (Modellbildung)
  • Schließende Statistik
    • ausführlichere Beschreibung, wenn wir soweit sind

Organisatorisches¶

  • Vorlesung: Mi 10:30-12:00 in Hörsaal 6J
  • Kleingruppenübung: diverse Termine, melden Sie sich im LSF http://lsf.hhu.de zu passenden Terminen an. Es ist möglich, einen davon zu priorisieren. Aufteilung durch das ZIM voraussichtlich am 16.10. Bis dahin improvisieren Sie bitte.
  • Offene Fragestunde: Fr 11:30-12:30 in Hörsaal 5E für technische Fragen

Übungen¶

Zur Vertiefung des Stoffes gibt es Übungsaufgaben unter http://fuchs.math.uni-duesseldorf.de.

  • Ausgabe jeweils freitags
  • Bearbeitung bis zum nächsten Sonntag (also neun Tage später)
  • In den Kleingruppenübungen diskutieren Sie diese Aufgaben mit den Übungsleitungen
  • Die Punkte aus den Übungen werden in Klausurpunkte umgerechnet und gehen zu maximal 5% im Winter und 5% im Sommer in die Klausur ein

Tutorium¶

  • Freitag, 11:30-12:15 in Hörsaal 5E

Anwesenheitspflicht¶

Es gibt keine Anwesenheitspflicht in den Mathematik-Veranstaltungen des ersten und zweiten Semesters

Das heißt aber nicht, dass die Anwesenheit keinen Nutzen bringt

Modulprüfung¶

  • Klausuren im Juli bzw. September 2024
  • Teilnahme an einer der beiden Klausuren
  • Übungspunkte gehen als Bonuspunkte in die Klausur ein
  • Wer durchfällt: Wiederholungsklausur
  • Schieben Sie die Mathe-Klausur nicht auf die lange Bank

Literatur¶

zur Theorie¶

  • Adlung, Lorenz, Köthe, Schnellbächer, Staufer: Tutorium Mathe für Biologen
  • Grabinger: Fit fürs Studium: Statistik
  • Rudolf, Kuhlisch: Biostatistik (Lehrbuchsammlung)
  • McKillup: Statistics Explained (Lehrbuchsammlung)

Grabinger dient dazu, den Übergang zu erleichtern

zur Berechnung mit dem Rechner¶

  • Haslwanter: An Introduction to Statistics with Python

Zugang zu den E-Books nur aus dem Uni-Netz

Hilfsmittel¶

  • Taschenrechner für kleine Beispiele

    einfacher "wissenschaftlicher" Taschenrechner genügt

  • Computerprogramm für realistischere Daten

    • entweder auf eigenem Gerät
    • oder in der Cloud

    Details in der nächsten Vorlesung

Hilfsmittel in der Klausur¶

  • vier beidseitig beschriebene A4-Blätter
  • von eigener Hand mit Stift beschrieben, also keine Ausdrucke, auch nicht vom Tablett
  • Taschenrechner, grafikfähig bzw. CAS erlaubt, bringen aber keinen Vorteil

Die Klausur findet klassisch mit Stift und Papier statt.

Bei den Aufgaben zur Software werden z.B. Computerausgaben gezeigt, die dann interpretiert werden sollen.

Ab jetzt: Mathematik¶

Rechnen mit dem Taschenrechner oder Computer¶

Rundung¶

In [1]:
1/7
Out[1]:
0.14285714285714285
In [2]:
7 * 1/7
Out[2]:
1.0
In [3]:
7 * 1/7 - 1
Out[3]:
0.0
In [4]:
(1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7) - 1
Out[4]:
-2.220446049250313e-16
  • Der Rechner rundet den Bruch $1/7$. Dadurch entsteht ein Rundungsfehler.
  • Machmal heben sich die Rundungsfehler wieder auf, meistens nicht.

Exponentendarstellung¶

  • Was ist -2.2e-16?
  • 2.2e-3 ist $2.2 \cdot 10^{-3} = \frac{2.2}{1000} = 0.0022$
  • Der Zusatz e-16 bedeutet, dass die Zahl durch $10^{16}$ geteilt wird
In [5]:
f"{-2.2e-16:22.19f}"
Out[5]:
'-0.0000000000000002200'

Vorsätze für Maßeinheiten:¶

2.2e-16 km sind

  • 2.2e-13 m
  • 2.2e-10 mm (Millimeter)
  • 2.2e-7 $\mu$m (Mikrometer)
  • 2.2e-4 nm (Nanometer)
  • 0.22 pm (Picometer)
  • Der Rechner rechnet auf 16 Stellen Genauigkeit. Das ist meist ausreichend.
  • Bei der Rechnung mit Taschenrechner von Hand sollte man mindstens vier bis sechs signifikante Stellen mitführen

Was ist eine signifikante Stelle?

  • Das ist die Anzahl der gemessenen bzw. ausgerechneten Stellen ab der ersten Stellen die keine Null ist

Beispiel:

  • 0.001234 vier signifikante Stellen
  • 0.000001234 vier signifikante Stellen
  • 0.12340 fünf signifikante Stellen (die 0 hinter der 4 ist tatsächlich gemessen worden)
  • 12.34 vier signifikante Stellen
  • 12340 unklar. Besser so:
  • 1.234e4 vier signifikante Stellen

Die Anzahl der signifikanten Stellen ist unabhängig davon, in welcher Maßeinheit das Ergebnis ausgedrückt wird

Wachstums- und Abklingprozesse¶

Exponentialfunktion und Logarithmus¶

Potenzgesetze¶

  • Die Funktion $f(x) = a^x$ heißt Potenzfunktion

  • $a$ bezeichnet man als Basis und $x$ als Exponenten

  • Rechenregeln:

    \begin{align*} a^{x+y} &= a^x \cdot a^y \\ (a\cdot b)^x &= a^x \cdot b^x \\ a^{-1} &= \frac1a \\ 1^x &= 1 \\ a^0 &= 1 \end{align*}

Beispiele zu den Rechenregeln¶

  • $2^{3+4} = 2^7 = 128$
  • $2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128$
  • $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
  • $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$
  • $7^{-1} = \frac17$
  • ${\frac34}^{-1} = \frac43$

Die Exponentialfunktion¶

Verzinsung¶

  • die Bank zahlt 3% Zinsen
  • aus 1€ wird nach einem Jahr $(1+p)$€, wobei $p=0.03$
  • nach zwei Jahren hat man $(1+p)^2$€, nach dreien $(1+p)^3$€, usw.
Jahre Kapital
0 1000.00€
1 1030.00€
2 1060.90€
3 1092.73€
4 1125.51€
5 1158.27€
6 1194.05€
  • einige Banken verzinsen monatlich mit einem zwölftel der Jahreszinssumme
  • bei so einer Bank beträgt der Wert nach einem Jahr $$ \left( 1 + \frac p{12} \right)^{12}€ $$
  • Bei 3% Verzinsung ist $\frac p{12} = 0.25$%
  • bei monatlicher Verzinsung werden so aus 1000.00€ in einem Jahr 1030.42€ (statt 1030.00€ bei jährlicher Verzinsung)
  • bei 100% Jahreszinsen erhält man 2000.00€ bei jährlicher Verzinsung und 2613.00€ bei monatlicher Verzinsung
  • man könnte auch täglich verzinsen, dann erhält man 2714.57€
  • oder stündlich, dann erhält man 2718.13€
In [6]:
(1 + 1/365)**365
Out[6]:
2.7145674820219727

Die Eulersche Zahl¶

Die Eulersche Zahl ist der Grenzwert dieses Prozesses

$$ e = 2.7182818284590451\ldots $$

Die Exponentialfunktion ist die Potenzfunktion zur Basis $e$. Sie wird mit $\exp$ bezeichnet $$ \exp(x) = e^x $$

Getaktete Verzinsung wie auf der Bank gibt es in der Biologie selten. Daher wird dort mit kontinuierlicher Verzinsung, also der Exponentialfunktion gerechnet.

Graph der Exponentialfunktion¶

Die auf der nächsten Folie verwendete Technik besprechen wir später genauer.

Die Warnungen ignorieren wir.

In [7]:
import seaborn as sns
from numpy import linspace, exp
In [8]:
x = linspace(0, 3)
In [9]:
ax = sns.lineplot(x=x, y=exp(x))
ax.grid(True)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("exp(x)");
No description has been provided for this image

Logarithmus¶

Natürlicher Logarithmus¶

  • Die Exponentialfunktion besitzt eine Umkehrfunktion, genannt natürlicher Logarithmus und geschrieben $\ln(y)$
  • In python heißt er log
  • es gelten

$$ \exp(\ln(y)) = y \quad\text{und}\quad \ln(\exp(x)) = x $$

  • der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert

Graph des Logarithmus¶

In [10]:
from numpy import log, log10
ax = sns.lineplot(x=x, y=log(x))
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("ln(x)")
ax.grid(True)

/tmp/ipykernel_22733/2397678479.py:2: RuntimeWarning: divide by zero encountered in log
  ax = sns.lineplot(x=x, y=log(x))
No description has been provided for this image

Rechenregeln für den Logarithmus¶

\begin{align*} e^{x+y} &= e^x \cdot e^y & \ln (a\cdot b) &= \ln(a) + \ln(b) \\ \left(e^{y}\right)^x &= e^{y \cdot x} & \ln(a^x) &= x \cdot \ln(a) \\ e^0 &= 1 & \ln(1) &= 0 \\ e^1 &= e & \ln(e) &= 1 \end{align*}

Logarithmen zu verschiedenen Bases¶

  • Der Logrithmus zur Basis 10, genannt Zehnerlogarithmus wird geschrieben als $\lg$
  • Auf Taschenrechner ist das allerdings anders
Basis Text python Taschenrechner
e $\ln$ log ln
10 $\lg$ log10 log

Die Umrechnungsformeln sind folgende

$$ \ln(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(e)} $$

$$ \lg(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} $$

Beispiele¶

um Ihren Taschenrechner auszuprobieren

In [11]:
log(100)
Out[11]:
4.605170185988091
In [12]:
log10(100)
Out[12]:
2.0