Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2023/24

18. Oktober 2023

© 2023 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Exponentialfunktion und Logarithmus¶

$$ \exp(\ln(y)) = y \quad\text{und}\quad \ln(\exp(x)) = x $$

$$ a^x = \exp(x \cdot \ln(a)) $$

Wachstums- und Abklingprozesse¶

• Bei einem exponentiellen Wachstumsprozess sind die prozentualen Zuwächse pro (Zeit-)Einheit konstant.
• Bei einem exponentiellen Abklingprozess sind die prozentualen Verluste pro (Zeit-)Einheit konstant.
• Beispiel: Eine Bakterienkonzentration nehme pro Stunde um 15% ab. Man startet mit 10000 Bakterien pro $mm^2$:

• Abklingprozesse besitzen eine Halbwertszeit. Das ist derjenige Zeitraum, in dem sich die verbleibende Menge jeweils halbiert
• Wachstumsprozesse besitzen eine Verdoppelungszeit. Das ist derjenige Zeitraum, in dem sich die Menge jeweils verdoppelt
• Zur Bestimmung der Halbwerts- und Verdoppelungszeiten benötigt man den Logarithmus

Beispiel zur Halbwertszeit¶

• Abklingprozess $$ k(x) = 10000 \cdot e^{-A \cdot x} $$
• $ k(0) = 10000 $
• nach einer Stunde um 15% geschrumpft: $ k(1) = 8500 $

• Andererseits $ k(1) = 10000 e^{-A} $, also $$ 8500 = 10000 e^{-A} $$
• Dividiere durch 10000 $$ 0.85 = e^{-A} $$

• Logarithmiere (beachte $ \ln(e^y) = y $) $$ \ln(0.85) = -A $$

Bakterienkonzentration, Fortsetzung¶

• $ \ln(0.85) = -A $
• Also $ A = -\ln(0.85) = 0.1625 $
• Die Konzentration folgt also der Formel $ k(x) = 10000 e^{-0.1625\cdot x} $

• Die Halbwertszeit ist derjenige Wert $ x_{\text{hw}} $ mit $ k(x_{hw}) = 5000 $
• Löse die Gleichung $$ e^{-0.1625\cdot x_{\text{hw}}} = 0.5 $$

• Das geschieht wieder durch Logarithmieren $$ -0.1625 \cdot x_{\text{hw}} = \ln(0.5) = -0.6931 $$

• Also $$ x_{\text{hw}} = \frac{-0.6931}{-0.1625} = 4.266 $$
• Alle $ 4.266 $ Stunden halbiert sich die Konzentration.

Verdopplungszeit¶

• Beispiel: Eine Seerose verfünffacht ihre Fläche in einer Woche. Was ist ihre Verdopplungszeit?
• Wachstumsprozess ($x$ in Tagen) $$ k(x) = e^{A \cdot x} $$
• Wir haben den Anfangswert auf 1 normiert, weil es auf die absolute Größe nicht ankommt
• Bestimme zuerst $A$ $$ k(7) = 5 = e^{A\cdot7} $$

• Logarithmiere $$ \ln(5) = A \cdot 7 $$
• Also $ A = \frac{\ln(5)}7 = 0.2299 $

• Die Fläche folgt also der Formel $$ k(x) = e^{0.2299\cdot x} $$

Seerose, Fortsetzung¶

• Fläche $ k(x) = e^{0.2299\cdot x} $
• Die Verdopplungszeit ist derjenige Wert $ x_{\text{d}} $ mit $ k(x_{d}) = 2 $
• Löse die Gleichung $$ e^{0.2299\cdot x_{\text{d}}} = 2 $$

• Das geschieht wieder durch Logarithmieren $$ 0.2299 \cdot x_{\text{d}} = \ln(2) = 0.6931 $$
• Also $$ x_{\text{d}} = \frac{0.6931}{0.2299} = 3.015 $$
• Alle $ 3 $ Tage verdoppelt sich die Fläche

Absorption¶

Photo Credit: Jerry Reid, U.S. Fish and Wildlife Service

Halbwertstiefe von blauem Licht¶

• In 140m Tiefe nimmt die Intensität von blauem Licht auf 1% ab.
• Bestimme $A$ für die Intensitätsfunktion $ k(x) = e^{-A\cdot x} $
• Gleichung $$ e^{-A\cdot 140} = 0.01 $$

• Logarithmieren $$ -A \cdot 140 = \ln(0.01) = -4.605 $$
• Also $$ A = \frac{4.605}{140} = 0.03289 $$

blaues Licht, Fortsetzung¶

• Die Intensitätsfunktion für blaues Licht ist $ e^{-0.03289\cdot x} $, wenn $ x $ die Wassertiefe bezeichnet.
• Gleichung für die Halbwertstiefe $ x_{\text{hw}} $ $$ e^{-0.03289\cdot x_{\text{hw}}} = 0.5 $$

• Also $$ x_{\text{hw}} = - \frac{\ln(0.5)}{0.03289} = 21.07 $$
• Die Halbwertstiefe für blaues Licht beträgt $21m$.
• Taucht man $21m$ tiefer, halbiert sich die Intensität des blauen Lichts

Erklärung des Blaustichs¶

• Die Halbwertstiefe von rotem Licht beträgt $2m$, die von grünem Licht ungefähr $6m$
• In $24m$ Tiefe hat sich die Intensität des roten Lichts schon 12mal halbiert, die Intensität ist also nur ein 4000-tel der Intensität an der Oberfläche.
• Dagegen beträgt die Intensität des blauen Lichts in $24m$ Tiefe ungefähr 50%

Wasserfarbe in Abhängigkeit von der Tiefe in Metern¶

Statistik mit Python¶

Installationshinweise auf https://www.math.uni-duesseldorf.de/~internet/bio2324/software.html

• Addition +
• Subtraktion -
• Multiplikation *
• Division /
• Potenz **

• Es gibt mindestens fünf Implementierungen von $exp$ in Python
• Daher müssen die benötigten Bibiotheken explizit geladen werden

Der Logarithmus wird aufgerufen als

Im Notebook

• grüner Randbalken: Editiermodus
• blauer Randbalken: Kommandomodus

nur im Editiermodus ist der Zelleninhalt veränderlich

Im Kommandomodus kann die Art der Zelle geändert werden

• Markdown: Text
• Code: Programmcode

jeweils Ausführung durch <Umschalt>-<Eingabe> oder "$\blacktriangleright$ Run" aus der Werkzeugleiste

Plots¶

Wir schauen uns die Daten aus dem Beispiel "Bakterien" an

• np.array([ , , , ]) Liste von Zahlen
• np.arange(n) Spezieller array von 0 bis n-1 (für n konkrete Zahl einsetzen)

Python beginnt Zählungen bei 0

Wir wollen die Achsen beschriften

Die Grafik muss nun explizit aufgerufen werden

Es wird immer das Objekt aus der letzten Zeile einer Zelle dargestellt

Jetzt malen wir noch die Kurve $10000 \cdot e^{-0.1625\cdot x}$ dazu.

Das malen wir jetzt in die andere Achse hinein

• sns.scatterplot einzelne Punkte
• sns.lineplot durchgezogene Linie

Es gibt eine Unzahl von statistischen Zeichenfunktionen. Die wichtigsten werde ich nach und nach vorstellen.

Jetzt auch noch eine Grafik zu den Absorbationstiefen¶