Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2023/24

24.01.2024

© 2024 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Normalapproximation¶

  • $X$ sei $B(n,p)$-verteilt
  • Es gilt näherungsweise für natürliche Zahlen $a < b$

$$ P(a \le X \le b) \cong \Phi\!\left( \frac{b - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \right) - \Phi\!\left( \frac{a - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \right) $$

  • Wenn $a = 0$ oder $b = n$ ist, braucht man nur einen Term

\begin{align*} P(a \le X) &\cong 1 - \Phi\!\left( \frac{a - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \right) \\ P(X \le b) &\cong \Phi\!\left( \frac{b - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \right) \end{align*}

Normalapproximation zur Versuchsplanung¶

Extinktionsexperiment¶

  • Ein Extinktionsexperiment wird geplant, bei dem die Versuchstiere eine einmal erlernte Aufgabe wieder verlernen sollen. Dazu sollen zuerst mindestens 50 Tiere diese Handlung erlernen. Aus früheren Versuchen weiß man, dass dies nur bei 80% der Versuchstiere gelingt.
  • Wenn man also zu Beginn der Verlernphase 50 Tiere haben will, welche die Aufgabe gelernt haben, dann muss man deutlich mehr als diese 50 Tiere trainieren.
  • Wir wollen zu 90% sicher sein, dass mindestens 50 Tiere die Aufgabe gelernt haben

Normalapproximation¶

  • $X$ ist die Anzahl der Tiere, welche die Aufgabe gelernt haben
  • $X$ ist $B_{n,p}$-verteilt für $p=0.8$ und unbekanntes n
  • Ziel $$ P(50 \le X) \ge 0.9 $$

$$ P(50 \le X) \cong 1 - \Phi\left( \frac{50 - 0.8 \cdot n}{\sqrt{n \cdot 0.8 \cdot 0.2}} \right) \overset{!}{=} 0.9 $$

Das bedeutet $$ \Phi\left( \frac{50 - 0.8 \cdot n}{\sqrt{0.16 \cdot n}} \right) = 0.1 $$

  • Wir benötigen das $u$ mit $\Phi(u) = 0.1$.
  • Das ist das Quantil $q_{0.1}$
In [1]:
import numpy as np
from scipy import stats
Phi = stats.norm()
Phi.ppf(0.1)
Out[1]:
-1.2815515655446004
  • neue Gleichung $$ \frac{50 - 0.8 \cdot n}{\sqrt{0.16 \cdot n}} = -1.28155 $$

Nenner hochmultiplizieren

In [2]:
-1.28155 * np.sqrt(0.16)
Out[2]:
-0.51262

$$ 50 - 0.8n = -0.51262 \sqrt n $$

Trick: Wir nennen $\sqrt n$ mal kurz $x$ und bringen alles auf die linke Seite. Dann können wir mit der p-q-Formel weitermachen

$$ 50 - 0.8 x^2 + 0.51262 x = 0 $$

In [3]:
50 / 0.8
Out[3]:
62.5
In [4]:
0.51262 / 0.8
Out[4]:
0.6407749999999999

$$ x^2 - 0.640775x - 62.5 = 0 $$

$$ x = \frac{0.640775}2 \pm \sqrt{\frac{0.640775^2}4 + 62.5} $$

Die negative Lösung ist unsinnig

In [5]:
x = 0.640775 / 2 + np.sqrt(0.640775**2/4 + 62.5)
x
Out[5]:
8.232571026066383
In [6]:
n = x**2
n
Out[6]:
67.77522569922769

Also 68 Tiere.

Das ist dasselbe Ergebnis, das wir in Lektion 6 mit zwei anderen Methoden herausbekommen hatten.

t-Test für Erwartungswerte¶

Verbundene und unverbundene Stichproben¶

  • Zwei Versuchsreihen liefern Messergebnisse. Der Test soll entscheiden, ob sich diese Ergebnisse signifikant unterscheiden.

  • Unverbundene Stichproben: Die Messerergebnisse werden an verschiedenen Populationen gewonnen.

    Beispiel: 9 Maisfelder werden mit einem Bodenbakterium behandelt, 10 weitere bleiben unbehandelt. Bei allen wird der Befall mit Maiszünsler bestimmt.

  • Verbundene Stichproben: Beide Messungen werden an derselben Population durchgeführt.

    Beispiel: Bei 10 Patienten mit Bluthochdruck wird der Blutdruck vor und nach einer Therapie bestimmt.

Teststatistik für verbundene Stichproben¶

  • Ein Versuch wird $n$-mal durchgeführt
  • Ein Parameter wird geändert
  • Der Versuch wird mit dem geänderten Parameter mit demselben Kollektiv wiederholt
  • Die Messergebnisse werden verglichen

t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben¶

  • Gegeben sind Zufallsvariable $X_1, \dots, X_n$ und $Y_1, \dots, Y_n$
  • Verteilungsvoraussetzungen:
    • Alle $X_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_1$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
    • Alle $Y_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_2$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
    • Die beiden Varianzen müssen also gleich sein
  • Ziel: $\mu_1$ und $\mu_2$ sollen verglichen werden
  • $x_j$ und $ _j$ seien Realisierungen (d.h., die Daten)
  • $z_j = x_j - y_j$ seien die Differenzen
  • Bestimme arithmetischen Mittelwert $$ \overline z = \frac1n \sum_{j=1}^n z_j $$
  • und Stichprobenstreuung $$ s = \sqrt{ \frac1{n-1} \sum_{j=1}^n (z_j - \overline z)^2 } $$
  • Die Teststatistik ist $$ t = \frac{\overline z}s \cdot \sqrt{n} $$
  • Die Teststatistik wird mit einem Quantil der $t$-Verteilung verglichen

Die t-Verteilung¶

  • Wenn kein Unterschied zwischen $X_j$ und $Y_j$ besteht, dann ist die Teststatistik für große $n$ annähernd standardnormalverteilt
  • Die tatsächliche Verteilung der Teststatistik ist die $t$-Verteilung mit $(n-1)$ Freiheitsgraden
  • Die $t$-Verteilung mit $f$ Freiheitsgraden ist in scipy implementiert als stats.t(f)
In [7]:
from scipy import stats
In [8]:
P = stats.t(30)

Die Verteilungsfunktion heißt wie immer cdf

In [9]:
P.cdf(0)
Out[9]:
0.5

Das Quantil heißt ppf

In [10]:
P.ppf(0.95)
Out[10]:
1.6972608865939574

Zum Vergleich

In [11]:
stats.norm().ppf(0.95)
Out[11]:
1.6448536269514722

Freiheitsgrade¶

Heuristisch:

  • $n$ Versuche, um den Parameter $\overline z$ zu schätzen
  • Jeder andere Parameter, der hilfsweise geschätzt werden muss, verringert die Zahl der Freiheitsgrade um 1
  • Beim $t$-Test für verbundene Stichproben muss $s$ hilfsweise geschätzt werden
  • Daher gibt es $(n-1)$ Freiheitsgrade
  • Die Schätzung von $s$ verringert die Genauigkeit. Daher sind die Quantile der $t$-Verteilungen größer als die der Standardnormalverteilung.

Ein- und zweiseitige Tests¶

  • Tests können ein- oder zweiseitig sein
  • Es sind $\mu_1$ und $ \mu_2 $ die unbekannten wahren Erwartungswerte der beiden Stichproben
  • Bei zweiseitigen Tests ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 = \mu_2\}$
  • Beim einseitigen unteren Test ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 \ge \mu_2\}$, d.h. die Alternativhypothese ist $\mu_1 < \mu_2$
  • Beim einseitigen oberen Test ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 \le \mu_2\}$, d.h. die Alternativhypothese ist $\mu_1 > \mu_2$

Entscheidungsregel¶

  • Das Signifikanzniveau sei $\alpha$
  • Die Quantile der $t$-Verteilung müssen verwendet werden

\begin{align*} &t_{n-1,\,1-\alpha/2} &&\text{beim zweiseitigen Test} \\ &t_{n-1,\,1-\alpha} &&\text{bei einem einseitigen Test} \end{align*}

  • $z_j = x_j - y_j$ und Teststatistik

$$ t = \frac{\overline z}s \cdot \sqrt{n} $$

  • Entscheidung:
    • $H_0 = \{\mu_1=\mu_2\} $: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $\left|t\right| > t_{n-1,\,1-\alpha/2}$
    • $H_0 = \{\mu_1\le\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t > t_{n-1,\,1-\alpha}$
    • $H_0 = \{\mu_1\ge\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t < -t_{n-1,\,1-\alpha}$

Beispiel Blutdrucksenker¶

  • 10 Blutdruckpatienten erhalten eine Woche lang das Medikament und eine Woche lang das Placebo. Der Blutdruck am Ende der jeweiligen Behandlung wird notiert. Zwischen beiden Behandlungen vergehen zwei Wochen mit Standard-Therapie.
  • Für den $j$-ten Patienten

\begin{align*} X_j &= \text{Blutdruck unter Placebo} \\ Y_j &= \text{Blutdruck unter Medikament} \\ Z_j &= X_j - Y_j \end{align*}

  • Beim Blutdrucksenker interessiert nur, ob der Blutdruck tatsächlich sinkt
  • Ein einseitiger Test ist angemessen
  • $\mu_1 =$ Blutdruck unter Placebo, $\mu_2 =$ Blutdruck unter Medikament
  • Die Nullhypothese ist $ H_0 : \mu_1 \le \mu_2 $, also ein oberer Test
  • Das Signifikanzniveau ist $\alpha = 0.05$
  • Die Zahl der Freiheitsgrade ist 9

Das benötigte Quantil ist

In [12]:
P = stats.t(9)
In [13]:
P.ppf(0.95)
Out[13]:
1.8331129326536335

Beispieldaten¶

In [14]:
import pandas as pd

df = pd.DataFrame()
df['x'] = [168, 184, 172, 173, 150, 155, 163, 164, 151, 146]
df['y'] = [176, 145, 150, 163, 136, 168, 164, 139, 145, 112]
df
Out[14]:
x y
0 168 176
1 184 145
2 172 150
3 173 163
4 150 136
5 155 168
6 163 164
7 164 139
8 151 145
9 146 112
In [15]:
df['z'] = df.x - df.y
df.z.describe()
Out[15]:
count    10.000000
mean     12.800000
std      17.364075
min     -13.000000
25%       0.750000
50%      12.000000
75%      24.250000
max      39.000000
Name: z, dtype: float64
In [16]:
t = 12.8 / 17.3641 * np.sqrt(10)
t
Out[16]:
2.3310827540820003

Das ist größer als das Quantil: Die Nullhypothese kann abgelehnt werden. Die Wirksamkeit des Blutdruchsenkers ist zu dem angegebenen Signifikanzniveau nachgewiesen.

Automatische Auswertung mit stats¶

In [17]:
stats.ttest_rel(df.x, df.y, alternative="greater")
Out[17]:
TtestResult(statistic=2.331086069657434, pvalue=0.02233380789226441, df=9)
In [18]:
res = stats.ttest_rel(df.x, df.y, alternative="greater")
res.statistic  #  Die Teststatistik
Out[18]:
2.331086069657434
In [19]:
res.pvalue   # Der p-Wert
Out[19]:
0.02233380789226441

Der p-Wert ist kleiner als das Signifikanzniveau $\alpha=0.05$, also kann $H_0$ abgelehnt werden

In [20]:
res.df    #  Die Anzahl der Freiheitsgrade
Out[20]:
9

Vergleich mit einem Referenzwert¶

Das ist der Spezialfall, bei dem der zweite Datensatz für alle Einträge gleich dem Referenzwert ist

Beispiel

  • Ein Betrieb leitet Abwasser ein. Die Konzentration eines bestimmten Schadstoffes darf 0.08% nicht überschreiten
  • An fünf Messstellen werden insgesamt 80 Proben entnommen
  • Wenn zum Signifikanzniveau $\alpha=0.01$ nachgewiesen ist, dass der Schadstoffgehalt über dem Referenzwert 0.08% liegt, dann wird der Betrieb vom Ordnungsamt geschlossen
In [21]:
u = "https://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2324/data/schadstoffe.csv"
In [22]:
df = pd.read_csv(u, index_col=0)
In [23]:
df
Out[23]:
Messstelle Konzentration
0 5 0.000867
1 3 0.000490
2 1 0.000589
3 1 0.000950
4 4 0.001152
... ... ...
75 5 0.000918
76 3 0.000528
77 3 0.000961
78 4 0.001272
79 3 0.001012

80 rows × 2 columns

In [24]:
df.loc[0].Konzentration
Out[24]:
0.0008665284923875
In [25]:
df.describe()
Out[25]:
Messstelle Konzentration
count 80.000000 80.000000
mean 2.987500 0.000905
std 1.409675 0.000341
min 1.000000 0.000061
25% 2.000000 0.000701
50% 3.000000 0.000938
75% 4.000000 0.001158
max 5.000000 0.001605
In [26]:
df['referenz'] = 0.08 / 100
In [27]:
res = stats.ttest_rel(df.Konzentration, df.referenz, alternative="greater")
res
Out[27]:
TtestResult(statistic=2.768040010585661, pvalue=0.0035114445640696246, df=79)
In [28]:
res.pvalue
Out[28]:
0.0035114445640696246

Zum Signifikanzniveau $\alpha=0.01$ ist die Überschreitung der Grenzwerte nachgewiesen

t-Test für unverbundene Stichproben¶

  • Ein Versuch wird $n_1$-mal durchgeführt
  • Ein Parameter wird geändert
  • Der Versuch wird mit dem geänderten Parameter $n_2$-mal mit einem anderen Kollektiv wiederholt
  • Die Messergebnisse werden verglichen
  • Da die Stichproben unverbunden sind, ist $n_1 \ne n_2$ möglich

t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte bei unverbundenen Stichproben¶

  • Gegeben sind Zufallsvariable $X_1, \dots, X_{n_1}$ und $Y_1, \dots, Y_{n_2}$
  • Verteilungsvoraussetzungen
    • Die $X_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_1$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
    • Die $Y_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_2$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
  • Ziel: $\mu_1$ und $\mu_2$ sollen verglichen werden

  • $x_j$ und $y_j$ seien Realisierungen

  • Bestimme arithmetische Mittelwerte $$ \overline x = \frac1{n_1} \sum_{j=1}^{n_1} x_j \text{ und } \overline y = \frac1{n_2} \sum_{j=1}^{n_2} y_j $$

  • und Stichprobenstreuungen

$$ s_x = \sqrt{ \frac1{n_1-1} \sum_{j=1}^{n_1} (x_j - \overline x)^2 } \text{ und } s_y = \sqrt{ \frac1{n_2-1} \sum_{j=1}^{n_2} (y_j - \overline y)^2 } $$

Standardabweichung der gepoolten Stichproben¶

  • Bestimme die Standardabweichung der gepoolten Stichproben

$$ s_p = \sqrt{ \frac{(n_1-1) \cdot s_x^2 + (n_2 - 1) \cdot s_y^2}{n_1 + n_2 - 2} } $$

  • Die Teststatistik ist

$$ t = \frac{\overline x - \overline y}{s_p} \sqrt{\frac{n_1 \cdot n_2}{n_1 + n_2}} $$

Entscheidungsregel¶

  • Bestimme zugehörige Quantile der $t$-Verteilung

\begin{align*} &t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha/2} && \text{beim zweiseitigen Test} \\ &t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha} && \text{bei einem einseitigen Test} \end{align*}

  • Entscheidungsregel
    • $H_0 = \{\mu_1=\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $\left|t\right| > t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha/2}$
    • $H_0 = \{\mu_1\le\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t > t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha}$
    • $H_0 = \{\mu_1\ge\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t < -t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha}$

Beispiel Maiszünsler¶

  • Der Maiszünsler soll mit einem Bodenbakterium bekämpft werden
  • Die folgenden Befallraten (in Larven pro Quadratmeter) wurden gemessen
In [29]:
df = pd.DataFrame()
#  so gehts es leider nicht
#df['unbehandelt'] = [55 , 69 , 64 , 70 , 75 , 70 , 83 , 69 , 75 , 69]
#df['behandelt'] = [61 ,  60 , 62 , 58 , 75 , 63 , 52 , 66 , 59]
In [30]:
df1 = pd.DataFrame()
df1['Befall'] = [61 ,  60 , 62 , 58 , 75 , 63 , 52 , 66 , 59]
df1['Behandlung'] = 'ja'
In [31]:
df2 = pd.DataFrame()
df2['Befall'] = [55 , 69 , 64 , 70 , 75 , 70 , 83 , 69 , 75 , 69]
df2['Behandlung'] = 'nein'
In [32]:
df = pd.concat([df1, df2], ignore_index=True)
df
Out[32]:
Befall Behandlung
0 61 ja
1 60 ja
2 62 ja
3 58 ja
4 75 ja
5 63 ja
6 52 ja
7 66 ja
8 59 ja
9 55 nein
10 69 nein
11 64 nein
12 70 nein
13 75 nein
14 70 nein
15 83 nein
16 69 nein
17 75 nein
18 69 nein
In [33]:
import seaborn as sns
sns.set_theme()
In [34]:
sns.displot(data=df, x='Befall', hue='Behandlung', multiple='stack');
No description has been provided for this image
In [35]:
df1.describe()
Out[35]:
Befall
count 9.000000
mean 61.777778
std 6.280481
min 52.000000
25% 59.000000
50% 61.000000
75% 63.000000
max 75.000000
In [36]:
df2.describe()
Out[36]:
Befall
count 10.000000
mean 69.900000
std 7.324995
min 55.000000
25% 69.000000
50% 69.500000
75% 73.750000
max 83.000000
In [37]:
zaehler = 9*7.325**2 + 8*6.281**2
nenner = 17
std_pool = np.sqrt( zaehler / nenner )
std_pool
Out[37]:
6.853544866366173
In [38]:
faktor = 10*9 / (10+9)
t = (61.778 - 69.9) / std_pool * np.sqrt(faktor)
t   # Teststatistik
Out[38]:
-2.579242516807668
  • Wir machen den Test zum Signifikanzniveau $\alpha=0.05$
  • Die Zahl der Freiheitsgrade ist 17
  • Das benötigte Quantil ist
In [39]:
P = stats.t(17)
P.ppf(0.95)
Out[39]:
1.7396067260750672

Es gilt $t < -t_{17,0.95}$, also wird die Nullhypothese abgelehnt

In [40]:
stats.ttest_ind(df1.Befall, df2.Befall, alternative="less")
Out[40]:
TtestResult(statistic=-2.5793982980797687, pvalue=0.009746177193200247, df=17.0)

Der p-Wert ist 0.01

  • stats.ttest_rel(x,y,alternative) t-Test für verbundene Stichproben (engl: related)
  • stats.ttest_ind(x,y,alternative) t-Test für unverbundene Stichproben (engl: independent)
  • x, y: Daten
  • alternative: entweder less, greater oder two-sided

Beispiel: Pinguine¶

In [41]:
df = sns.load_dataset("penguins") 
df
Out[41]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
0 Adelie Torgersen 39.1 18.7 181.0 3750.0 Male
1 Adelie Torgersen 39.5 17.4 186.0 3800.0 Female
2 Adelie Torgersen 40.3 18.0 195.0 3250.0 Female
3 Adelie Torgersen NaN NaN NaN NaN NaN
4 Adelie Torgersen 36.7 19.3 193.0 3450.0 Female
... ... ... ... ... ... ... ...
339 Gentoo Biscoe NaN NaN NaN NaN NaN
340 Gentoo Biscoe 46.8 14.3 215.0 4850.0 Female
341 Gentoo Biscoe 50.4 15.7 222.0 5750.0 Male
342 Gentoo Biscoe 45.2 14.8 212.0 5200.0 Female
343 Gentoo Biscoe 49.9 16.1 213.0 5400.0 Male

344 rows × 7 columns

Unterscheiden sich die Flügellängen von Adelie- und Zügelpinguinen?

In [42]:
adelie = df[df.species=='Adelie']
zuegel = df[df.species=='Chinstrap']
In [43]:
# stats.ttest_ind(adelie, zuegel)   #  scheitert wegen NaN
In [44]:
adelie.dropna()
Out[44]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
0 Adelie Torgersen 39.1 18.7 181.0 3750.0 Male
1 Adelie Torgersen 39.5 17.4 186.0 3800.0 Female
2 Adelie Torgersen 40.3 18.0 195.0 3250.0 Female
4 Adelie Torgersen 36.7 19.3 193.0 3450.0 Female
5 Adelie Torgersen 39.3 20.6 190.0 3650.0 Male
... ... ... ... ... ... ... ...
147 Adelie Dream 36.6 18.4 184.0 3475.0 Female
148 Adelie Dream 36.0 17.8 195.0 3450.0 Female
149 Adelie Dream 37.8 18.1 193.0 3750.0 Male
150 Adelie Dream 36.0 17.1 187.0 3700.0 Female
151 Adelie Dream 41.5 18.5 201.0 4000.0 Male

146 rows × 7 columns

In [45]:
stats.ttest_ind(adelie.flipper_length_mm.dropna(), 
                zuegel.flipper_length_mm.dropna())   #  two-sided ist Voreinstellung
Out[45]:
TtestResult(statistic=-5.9740408058206125, pvalue=9.378738333570485e-09, df=217.0)

Der Unterschied ist signifikant

Termine¶

  • 31.01.2024: Probeklausur, Aufgaben werden vorher auf https://www.math.uni-duesseldorf.de/~internet/bio2324 hochgeladen
  • 06.08.2024: 1. Klausur zu Mathe für Biologiestudierende
  • 25.09.2024: 2. Klausur zu Mathe für Biologiestudierende

Offizielle Klausurtermine auf den Seiten der Biologie https://www.biologie.hhu.de/

Die Klausur am 22.02.2024 richtet sich ausschließlich an Wiederholer