Mathematik für Biologiestudierende II¶

Sommersemester 2024

09.04.2024

© 2024 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Tests für Erwartungswerte¶

Verbundene und unverbundene Stichproben¶

• Zwei Versuchsreihen liefern Messergebnisse. Der Test soll entscheiden, ob sich diese Ergebnisse signifikant unterscheiden.

• Unverbundene Stichproben: Die Messerergebnisse werden an verschiedenen Populationen gewonnen.

Z-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben¶

• Gegeben sind Zufallsvariable $X_1, \dots, X_n$ und $Y_1, \dots, Y_n$
• Verteilungsvoraussetzungen:
  • Alle $X_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_1$ und bekannter Varianz $\sigma^2$
  • Alle $Y_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_2$ und bekannter Varianz $\sigma^2$
  • Die beiden Varianzen müssen also gleich und bekannt sein (unrealistisch)
• Ziel: $\mu_1$ und $\mu_2$ sollen verglichen werden

• $x_j$ und $ _j$ seien Realisierungen (d.h., die Daten)
• $z_j = x_j - y_j$ seien die Differenzen
• Bestimme arithmetischen Mittelwert $$ \overline z = \frac1n \sum_{j=1}^n z_j $$

• Die Teststatistik ist $$ t = \frac{\overline z}\sigma \cdot \sqrt{n} $$
• Die Teststatistik wird mit einem Quantil der Standardnormalverteilung verglichen

• $\phi$ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
• $q_\alpha$ ist das Quantil der Standardnormalverteilung zum Wert $\alpha$
• das bedeutet $\Phi(q_\alpha) = \alpha$

Ein- und zweiseitige Tests¶

• Tests können ein- oder zweiseitig sein
• Es sind $\mu_1$ und $ \mu_2 $ die unbekannten wahren Erwartungswerte der beiden Stichproben
• Bei zweiseitigen Tests ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 = \mu_2\}$
• Beim einseitigen unteren Test ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 \ge \mu_2\}$, d.h. die Alternativhypothese ist $\mu_1 < \mu_2$
• Beim einseitigen oberen Test ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 \le \mu_2\}$, d.h. die Alternativhypothese ist $\mu_1 > \mu_2$

Entscheidungsregel¶

• Das Signifikanzniveau sei $\alpha$
• Beim Z-Test müssen die Quantile der Standardnormalverteilung verwendet werden

\begin{align*} &q_{1-\alpha/2} &&\text{beim zweiseitigen Test} \\ &q_{1-\alpha} &&\text{bei einem einseitigen Test} \end{align*}

• $z_j = x_j - y_j$ und Teststatistik $$ t = \frac{\overline z}\sigma \cdot \sqrt{n} $$

• Entscheidung:
  • $H_0 = \{\mu_1=\mu_2\} $: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $\left|t\right| > q_{1-\alpha/2}$
  • $H_0 = \{\mu_1\le\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t > q_{1-\alpha}$
  • $H_0 = \{\mu_1\ge\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t < -q_{1-\alpha}$

• Der Z-Test wird auch als Gauß-Test bezeichnet
• Um ihn anzuwenden, muss die Varianz der Daten bekannt sein. Das ist unrealistisch.
• Für grobe Überschlagsrechnungen hat der Z-Test aber seine Berechtigung
• in scipy.stats ist der Z-Test nicht implementiert

t-Tests für Mittelwerte¶

Wiederholung aus dem Wintersemester

• Ein Medikament soll bei einer fortschreitenden Bewegungserkrankung die Verschlechterung aufhalten
• 900 Patienten bekommen das Verum, weitere 900 ein Placebo
• Zu den Zeitpunkten $t_0$ (Anfangszeitpunkt) und $t_1$ (Endzeitpunkt) wird die Beweglichkeit durch geschultes Personal auf einer Skala von 1 (schlecht) bis 100 (perfekt) eingeordnet.

• In der Spalte "Difference" steht die Differenz zwischen den beiden Zeitpunkten. Idealerweise ist sie positiv, wenn das Medikament die Verschlechterung sogar umkehrt.
• Jedenfalls soll der Test zeigen, dass die Differenz bei den Probanden mit Verum im Mittel größer als bei den anderen ist
• Einseitiger, unverbundener Test

• Aus der Gruppe der Probanden mit Verum sind 13 Leute ausgeschieden
• aus der anderen 18

Die Nullhypothese, dass das Medikament nicht besser wirkt als Placebo, kann zum Signifikanzniveau $\alpha=0.011$ abgelehnt werden.

Effektstärke¶

Beim Vergleich zweier Mittelwerte kann "Cohen's d" zur Messung der Effektstärke verwendet werden.

$$ d = \left| \frac{\overline x - \overline y}s \right| $$

wobei $\overline x$ und $\overline y$ die beiden Mittelwerte, $s$ die Stichprobenstreuung und $|a|$ den Betrag von $a$ bezeichnet.

• Bei verbundenen Stichproben verwendet man die Stichprobenstreuung der Differenz
• Bei unverbundenen Stichproben verwendet man die Standardabweichung der gepoolten Stichproben (s. Lektion 12)

Interpretation der Effektgröße¶

Wir haben also einen geringen Effekt beobachtet

Power-Analyse¶

Bauer Pillenhuber wird verdächtigt, seine Bio-Hühnchen mit Antibiotika vollzudröhnen. Wir wollen das durch Blutuntersuchungen nachweisen.

• Es handelt sich um den Vergleich mit einem Referenzwert, also einen verbundenen t-Test
• Er ist einseitig

• Wie viele Tiere müssen untersucht werden?
• Wir erwarten einen starken Effekt, sagen wir d=0.7
• Wir verlangen ein Signifikanzniveau von $\alpha=0.01$, um niemanden zu Unrecht zu verdächtigen

Power: Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, wenn tatsächlich die Alternative gilt

Wir sollten 35 Hühner untersuchen

Power-Analyse für unverbundene t-Tests¶

• Sie wollen wissen, ob auf sandigem Boden das Verhältnis von Kiefern zu Fichten ein anderes als auf lehmigem ist
• Sie erwarten einen mittleren Effekt
• Sie wählen den Standardwert $\alpha=0.05$

• Es handelt sich um einen unverbundenen Test
• Sie wählen $n_1$ sandige und $n_2=n_1$ lehmige Waldparzellen aus
• Wie groß müssen $n_1$ und $n_2$ sein?

Sie müssen ca 100 Parzellen von jeder Sorte ansehen, um eine Power von knapp 95% zu erreichen

• ratio ist das Verhältnis $\frac{n_2}{n_1}$
• Man plant eingentlich immer mit ratio=1
• Dann kann man diese Angabe bei poweranalyse.power weglassen