Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2024/25

16. Oktober 2024

© 2024 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Exponentialfunktion und Logarithmus¶

$$ \exp(\ln(y)) = y \quad\text{und}\quad \ln(\exp(x)) = x $$

$$ a^x = \exp(x \cdot \ln(a)) $$

Wachstums- und Abklingprozesse¶

• Bei einem exponentiellen Wachstumsprozess sind die prozentualen Zuwächse pro (Zeit-)Einheit konstant.
• Bei einem exponentiellen Abklingprozess sind die prozentualen Verluste pro (Zeit-)Einheit konstant.
• Beispiel: Eine Bakterienkonzentration nehme pro Stunde um 15% ab. Man startet mit 10000 Bakterien pro $mm^2$:

• Abklingprozesse besitzen eine Halbwertszeit. Das ist derjenige Zeitraum, in dem sich die verbleibende Menge jeweils halbiert
• Wachstumsprozesse besitzen eine Verdoppelungszeit. Das ist derjenige Zeitraum, in dem sich die Menge jeweils verdoppelt
• Zur Bestimmung der Halbwerts- und Verdoppelungszeiten benötigt man den Logarithmus

Beispiel zur Halbwertszeit¶

• Abklingprozess $$ k(x) = 10000 \cdot e^{-A \cdot x} $$
• $ k(0) = 10000 $
• nach einer Stunde um 15% geschrumpft: $ k(1) = 8500 $

• Andererseits $ k(1) = 10000 e^{-A} $, also $$ 8500 = 10000 e^{-A} $$
• Dividiere durch 10000 $$ 0.85 = e^{-A} $$

• Logarithmiere (beachte $ \ln(e^y) = y $) $$ \ln(0.85) = -A $$

Bakterienkonzentration, Fortsetzung¶

• $ \ln(0.85) = -A $
• Also $ A = -\ln(0.85) = 0.1625 $
• Die Konzentration folgt also der Formel $ k(x) = 10000 e^{-0.1625\cdot x} $

• Die Halbwertszeit ist derjenige Wert $ x_{\text{hw}} $ mit $ k(x_{hw}) = 5000 $
• Löse die Gleichung $$ e^{-0.1625\cdot x_{\text{hw}}} = 0.5 $$

• Das geschieht wieder durch Logarithmieren $$ -0.1625 \cdot x_{\text{hw}} = \ln(0.5) = -0.6931 $$

• Also $$ x_{\text{hw}} = \frac{-0.6931}{-0.1625} = 4.266 $$
• Alle $ 4.266 $ Stunden halbiert sich die Konzentration.

Verdopplungszeit¶

• Beispiel: Eine Seerose verfünffacht ihre Fläche in einer Woche. Was ist ihre Verdopplungszeit?
• Wachstumsprozess ($x$ in Tagen) $$ k(x) = e^{A \cdot x} $$
• Wir haben den Anfangswert auf 1 normiert, weil es auf die absolute Größe nicht ankommt
• Bestimme zuerst $A$ $$ k(7) = 5 = e^{A\cdot7} $$

• Logarithmiere $$ \ln(5) = A \cdot 7 $$
• Also $ A = \frac{\ln(5)}7 = 0.2299 $

• Die Fläche folgt also der Formel $$ k(x) = e^{0.2299\cdot x} $$

Seerose, Fortsetzung¶

• Fläche $ k(x) = e^{0.2299\cdot x} $
• Die Verdopplungszeit ist derjenige Wert $ x_{\text{d}} $ mit $ k(x_{d}) = 2 $
• Löse die Gleichung $$ e^{0.2299\cdot x_{\text{d}}} = 2 $$

• Das geschieht wieder durch Logarithmieren $$ 0.2299 \cdot x_{\text{d}} = \ln(2) = 0.6931 $$
• Also $$ x_{\text{d}} = \frac{0.6931}{0.2299} = 3.015 $$
• Alle $ 3 $ Tage verdoppelt sich die Fläche

Absorption¶

Photo Credit: Jerry Reid, U.S. Fish and Wildlife Service

Halbwertstiefe von blauem Licht¶

• In 140m Tiefe nimmt die Intensität von blauem Licht auf 1% ab.
• Bestimme $A$ für die Intensitätsfunktion $ k(x) = e^{-A\cdot x} $
• Gleichung $$ e^{-A\cdot 140} = 0.01 $$

• Logarithmieren $$ -A \cdot 140 = \ln(0.01) = -4.605 $$
• Also $$ A = \frac{4.605}{140} = 0.03289 $$

blaues Licht, Fortsetzung¶

• Die Intensitätsfunktion für blaues Licht ist $ e^{-0.03289\cdot x} $, wenn $ x $ die Wassertiefe bezeichnet.
• Gleichung für die Halbwertstiefe $ x_{\text{hw}} $ $$ e^{-0.03289\cdot x_{\text{hw}}} = 0.5 $$

• Also $$ x_{\text{hw}} = - \frac{\ln(0.5)}{0.03289} = 21.07 $$
• Die Halbwertstiefe für blaues Licht beträgt $21m$.
• Taucht man $21m$ tiefer, halbiert sich die Intensität des blauen Lichts

Erklärung des Blaustichs¶

• Die Halbwertstiefe von rotem Licht beträgt $2m$, die von grünem Licht ungefähr $6m$
• In $24m$ Tiefe hat sich die Intensität des roten Lichts schon 12mal halbiert, die Intensität ist also nur ein 4000-tel der Intensität an der Oberfläche.
• Dagegen beträgt die Intensität des blauen Lichts in $24m$ Tiefe etwas weniger als 50%

Wasserfarbe in Abhängigkeit von der Tiefe in Metern¶

Statistik mit Python¶

Installationshinweise auf https://www.math.uni-duesseldorf.de/~internet/bio2425/software.html

• Addition +
• Subtraktion -
• Multiplikation *
• Division /
• Potenz **

• Es gibt mindestens fünf Implementierungen von $\exp$ in Python
• Daher müssen die benötigten Bibiotheken explizit geladen werden

Der Logarithmus wird aufgerufen als

Im Notebook

• grüner Randbalken: Editiermodus
• blauer Randbalken: Kommandomodus

nur im Editiermodus ist der Zelleninhalt veränderlich

Im Kommandomodus kann die Art der Zelle geändert werden

• Markdown: Text
• Code: Programmcode

jeweils Ausführung durch <Umschalt>-<Eingabe> oder "$\blacktriangleright$ Run" aus der Werkzeugleiste

Plots¶

Wir schauen uns die Daten aus dem Beispiel "Bakterien" an

• np.array([ , , , ]) Liste von Zahlen
• np.arange(n) Spezieller array von 0 bis n-1 (für n konkrete Zahl einsetzen)

Python beginnt Zählungen bei 0

Wir wollen die Achsen beschriften

Dazu geben wir als erstes dem Bild den Namen ax (von axis)

Die Grafik muss nun explizit aufgerufen werden

Es wird immer das Objekt aus der letzten Zeile einer Zelle dargestellt

Jetzt malen wir noch die Kurve $10000 \cdot e^{-0.1625\cdot x}$ dazu.

Das malen wir jetzt in die andere Achse hinein

• sns.scatterplot einzelne Punkte
• sns.lineplot durchgezogene Linie

Es gibt eine Unzahl von statistischen Zeichenfunktionen. Die wichtigsten werde ich nach und nach vorstellen.

Der folgende Aufruf wählt die Standard-Darstellung. Für uns ist das Gitter wichtig.

Jetzt auch noch eine Grafik zu den Absorbationstiefen¶