Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2024/25

11.12.2024

© 2024 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Differentialrechnung¶

Differentialrechnung kommt in der Biologie vor

• Bestimmung von Maxima und Minima: mehrdimensionale Kurvendiskussion
  • in der Statistik
    • Maximum-Likelihood Schätzer
    • z.B. in der Statistik linearer Modelle (Thema im zweiten Semester, passiert aber "unter der Haube")
• Bei der Modellierung von Prozessen: Dynamische Systeme
• Integrale: die Verteilungsfunktionen von kontinuierlichen Zufallsvariablen sind Integrale

Ableitung als Tangentensteigung¶

Die Ableitung einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$ gibt die Steigung der Tangente in $x$ an

Die Tangentensteigung wird durch Sekantensteigungen approximiert

$$ f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}h $$

Ableitungen wichtiger Funktionen¶

\begin{align*} f(x) &= C & f'(x) &= 0 & \text{Konstante} \\[2ex] f(x) &= x^n & f'(x) &= n \cdot x^{n-1} \\[2ex] f(x) &= \frac1x & f'(x) &= -\frac1{x^2} \\[2ex] f(x) &= \exp(x) & f'(x) &= \exp(x) \\[2ex] f(x) &= \ln(x) & f'(x) &= \frac1x \end{align*}

Produktregel¶

$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) $$ Dann $$ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$

Beispiel $$ f(x) = x^3 \cdot \exp(x) $$

\begin{align*} g(x) &= x^3 & h(x) &= \exp(x) \\ g'(x) & = 3x^2 & h'(x) &= \exp(x) \end{align*}

$$ f'(x) = 3 x^2 \cdot \exp(x) + x^3 \cdot \exp(x) $$

Kettenregel¶

$$ f(x) = g(h(x)) $$ Dann $$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Beispiel:

$$ f(x) = e^{5x} $$

\begin{align*} g(x) &= \exp(x) & h(x) &= 5x \\ g'(x) &= \exp(x) & h'(x) &= 5 \end{align*}

$$ f'(x) = 5\exp(5x) $$

Noch ein Beispiel:

$$ f(x) = 2^x $$

Was ist überhaupt $2^x$ ?

$$ 2^x = \exp(\ln(2) \cdot x) $$

\begin{align*} g(x) &= \exp(x) & h(x) &= \ln(2) \cdot x \\ g'(x) &= \exp(x) & h'(x) &= \ln(2) \end{align*}

$$ f'(x) = \ln(2) \cdot \exp(\ln(2) \cdot x) = \ln(2) \cdot 2^x $$

Ableitungsregeln¶

Hierbei ist $C$ eine Konstante

Beispiel¶

$f(x) = x^2 \cdot \exp(-x)$

\begin{align*} f'(x) &= \left(x^2\right)' \cdot \exp(-x) + x^2 \cdot \left( \exp(-x) \right)' & & \text{Produktregel} \\ &= 2x \cdot \exp(-x) + x^2 \cdot(-1) \cdot \exp(-x) & & \text{Kettenregel} \\ &= \left( 2x - x^2 \right) \cdot \exp(-x) & & \text{Distributivgesetz} \end{align*}

Abbildung für das Beispiel¶

Qualitatives Verhalten¶

• wenn $f'(x)>0$, dann wächst die Funktion
• wenn $f'(x)<0$, dann fällt sie

Beispiel: Inflation¶

• die Inflationsrate ist die Ableitung des Preises

• seit unvordenklichen Zeiten ist die Inflationsrate positiv: Preise steigen
• in 2022 stieg auch die Inflationsrate: Preise steigen noch schlimmer
• in 2024 ist die Inflationsrate gefallen (2.5% Inflation statt 10%): Preise steigen

Qualitatives Verhalten¶

• wenn $f'(x)>0$, dann wächst die Funktion
• wenn $f'(x)<0$, dann fällt sie

Das bedeutet: Für einen Hoch- oder Tiefpunkt $x_0$ von $f$ gilt $f'(x_0)=0$.

Höhere Ableitungen¶

• Die Ableitung der Ableitung nennt man zweite Ableitung und schreibt $f''(x)$ dafür
• Zweite Ableitungen treten in der Physik (als Beschleunigung) und überhaupt bei dynamischen Systemen auf
• "Die Inflation hat sich abgeschwächt" bedeutet: "Die zweite Ableitung der Konsumentenpreise ist negativ"

Beispiel¶

$$ f(x) = x^2 \cdot \exp(-x) $$

$$ f'(x) = \left( 2x - x^2 \right) \cdot \exp(-x) $$

\begin{align*} f''(x) &= \left( 2 - 2x \right) \cdot \exp(-x) + \left( 2x - x^2 \right) (-1) \exp(-x) && \text{Produktregel} \\ &= \left( 2 - 4x + x^2 \right) \cdot \exp(-x) \end{align*}

• Wir wollen $f$, $f'$ und $f''$ in ein Bild zeichnen, und zwar mit seaborn
• Im Gegensatz zu df von oben benötigen wir dazu ein DataFrame in Langform
• Das bedeutet, dass die Werte $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ alle in derselben Spalte stehen und durch einen kategoriellen Wert in einer weiteren Spalte unterschieden werden
• Bei den Pinguin-Daten war das auch so

concat steht für "concatenate", also "verheften"

• sns.lineplot: Eine einzelne Kurve
• sns.relplot(…, kind='line'): mehrere Kurven
  • je nachdem, ob hue oder col zur Unterscheidung benutzt wird, erhält man einen oder mehrere Graphen

• sns.scatterplot: Eine einzelne Punktwolke
• sns.relplot(…, kind='scatter'): mehrere Punktwolken

Beispiel: Konzentrationen in einer Zelle¶

• Die Konzentration eines bestimmten Proteins in einer Zelle zum Anfangszeitpunkt $t=0$ beträgt $0\mu g/m\ell$
• Zuerst steigt sie schnell mit $0.8\frac{\mu g}{m\ell\cdot s}$
• Nach 2 Sekunden steigt die Konzentration nicht mehr, das Protein wird von da an exponentiell abgebaut

Modell¶

$$ f(t) = A \cdot t \cdot \exp(-b\cdot t) $$

\begin{align*} f'(t) &= A \cdot \exp(-b \cdot t) + A \cdot t \cdot(-b) \cdot \exp(-b \cdot t) \\ &= (A - Abt) \cdot \exp(-b \cdot t) \end{align*}

Wir haben zwei Gleichungen

• f'(0) = 0.8
• f'(2) = 0

Einsetzen

• $f'(0) = A$, also $A=0.8$

• $f'(2) = 0$, also $ (A - 2Ab) \cdot \exp(-2b) = 0 $

• $\exp(-2b)$ ist nicht Null, also muss $ A - 2Ab = 0$ gelten, d.h. $b=0.5$

Unser Modell ist also

$$ f(t) = 0.8t \cdot \exp(-0.5t) $$

• Maximum bei $t=2$, das ist eine der Ausgangsgleichungen
• Wert dort

Integralrechnung¶

Flächeninhalt¶

• $f(x)$ eine Funktion, die keine negativen Werte annimmt
• $a$ und $b$ Intervallgrenzen
• den Inhalt der Fläche unter $f(x)$ zwischen $a$ und $b$ bezeichnet man mit $$ \int_a^b f(x) dx $$
• $ \int_a^b f(x) dx $ ist das Integral von $f(x)$ in den Grenzen von $a$ bis $b$

Skizze¶

• Funktion $f(x)$ darf nun auch negative Werte annehmen
• Dann ist $$ \int_a^b f(x) dx $$ die Differenz zwischen dem Flächeninhalt oberhalb und dem Flächeninhalt unterhalb der $x$-Achse
• $\int_a^b f(x) dx$ ist also negativ, wenn die Fläche unterhalb der $x$-Achse größer ist als die Fläche oberhalb ist
• Das Zeichen $\int_a^b$ ist das "bestimmte Integral"

Skizze¶

Der Inhalt der grünen Fläche abzüglich des Inhalts der roten Fläche ist $\int_a^b f(x) dx$

Stammfunktion¶

Falls $$ F'(x) = f(x) $$

• dann ist $f$ die Ableitung von $F$
• und $F$ ist eine Stammfunktion von $f$
• Man schreibt $$ \int f(x) dx = F(x) $$
• Das Zeichen $ \int $ ist das "unbestimmte Integral"

• Stammfunktionen sind nicht eindeutig
• Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann ist auch $F(x) + C$ eine Stammfunktion von $f(x)$, wenn $C$ eine Konstante ist
• Das liegt daran, dass $C' = 0$

Beispiel¶

• $\frac{x^2}2$ ist eine Stammfunktion von $x$, denn $(x^2)' = 2x$
• Wir schreiben $$ \int x\, dx = \frac{x^2}2 $$
• In Lehrbüchern findet man auch die Schreibweise $$ \int x\, dx = \frac{x^2}2 + C $$ um anzudeuten, dass die Stammfunktion nicht eindeutig ist

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung¶

Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$

Man schreibt $$ \int_a^b f(x) = F(x) \Bigr|_a^b $$

Beispiel $$ \int_0^5 x\, dx = \frac12 x^2 \Bigr|_0^5 = \frac12 5^2 - \frac12 0^2 = \frac{25}2 = 12.5 $$

Skizze¶

Das Dreieck füllt das Quadrat mit der Seitenlänge 5 zur Hälfte aus. Sein Flächeninhalt ist also tatsächlich gleich 12.5

Eigenschaften des Integrals¶

• Wenn $a<b<c$, dann $$ \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx $$

• Speziell $$ \int_a^a f(x) dx = 0 $$

• Der Hauptsatz verbindet Ableitung und Integral
• Daher führen Produkt- und Kettenregel zu Integrationsregeln
• Die Produktregel führt zur partiellen Integration
• Die Kettenregel zur Substutionsregel

• Viele wichtige Integrale lassen sich aber trotzdem nicht geschlossen ausdrücken
• "geschlossen" bedeutet, dass das Integral in Termen von bereits bekannten Funktionen geschrieben wird
• Beispiel für ein Integral, dass nicht geschlossen ausgedrückt werden kann $$ \int e^{-x^2} dx $$