Mathematik für Biologiestudierende II¶

Sommersemester 2025

15.04.2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Gruppenpriorisierung¶

Die Übungsgruppen wurden verteilt. Einige Studierende haben keine Gruppe bekommen. Das liegt in allen Fällen daran, dass sich der ausgewählte Termin mit einer anderen Belegung überschneidet.

Ab sofort ist die Restplatzvergabe geöffnet.

Themen¶

  • multiples Testen
  • ANOVA
In [1]:
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import seaborn as sns
sns.set_theme()

Multiples Testen¶

Beispiel Gummibärchen¶

Cartoon von xkcd

© xkcd.com

Cartoon von xkcd

Cartoon von xkcd

Cartoon von xkcd

  • Ein Fall von Data Snooping
  • Bei einem Signifikanztest zum Nivea $\alpha=0.05$ wird in 5% der Fälle die Nullhypothese fälschlich abgelehnt
  • In dem Beispiel des Cartoons gibt es 20 Experimente; es ist zu erwarten, dass in einem Fall die Nullhypothese zu unrecht abgelehnt wird
  • wenn wir gemäß Bonferroni korrigieren, dann müssen wir jeden einzelnen Test zum Signifikanzniveau $\frac\alpha{20}$ durchführen

ANOVA¶

  • ANOVA: Analysis of Variance
  • Ziel: Vergleich bei Vorliegen von mehr als zwei Gruppen

Welche Daten hat man?

  • Eine Population
  • Eine Zielvariable. Das ist die kontinuierliche Größe, die gemessen wird.
  • Einen Faktor. Das ist eine kategorielle (also qualitative oder diskrete quantitative) Größen, von der man nachweisen will, dass sie die Zielvariable beeinflusst
  • Alle Mitglieder der Population, bei denen der Faktor denselben Wert hat, bilden eine Gruppe
  • Wenn man nur zwei Gruppen hat, dann macht man einen unverbundenen, zweiseitigen t-Test

Beispiel Schadstoffkonzentration¶

  • An fünf verschiedenen Messstellen wurde die Konzentration eines Schadstoffs gemessen
  • Hat die Messstelle einen Einfluss auf die Konzentration?
  • Die Messstelle ist der Faktor
  • Die Konzentration ist die Zielvariable
  • es gibt fünf Gruppen, eine für jede Messstelle
In [2]:
u_schad = "https://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2324/data/schadstoffe.csv"
df = pd.read_csv(u_schad, index_col=0)
df
Out[2]:
Messstelle Konzentration
0 5 0.000867
1 3 0.000490
2 1 0.000589
3 1 0.000950
4 4 0.001152
... ... ...
75 5 0.000918
76 3 0.000528
77 3 0.000961
78 4 0.001272
79 3 0.001012

80 rows × 2 columns

In [3]:
sns.displot(data=df, x='Konzentration', col='Messstelle');
No description has been provided for this image

Wir müssen die Gruppen mit pandas trennen

In [4]:
g1 = df[df.Messstelle==1].Konzentration
g1
Out[4]:
2     0.000589
3     0.000950
13    0.001301
14    0.001605
18    0.000927
22    0.001250
28    0.000965
33    0.000669
41    0.000712
42    0.001019
45    0.000780
54    0.001306
61    0.001006
64    0.001057
65    0.000381
70    0.000919
74    0.001323
Name: Konzentration, dtype: float64
In [5]:
g2 = df[df.Messstelle==2].Konzentration
g3 = df[df.Messstelle==3].Konzentration
g4 = df[df.Messstelle==4].Konzentration
g5 = df[df.Messstelle==5].Konzentration
In [6]:
res = stats.f_oneway(g1, g2, g3, g4, g5)
res
Out[6]:
F_onewayResult(statistic=np.float64(0.8666121588849811), pvalue=np.float64(0.48807057520065544))
  • es wurde eine one way ANOVA gerechnet, also eine mit nur einem Faktor
  • Der p-Wert ist 0.5
  • Die Messstelle hat keinen Einfluss auf die Konzentration

Welche Verteilung benutzt dieser Test?

  • Die F-Verteilung dient zum Vergleich zweier Varianzen
  • Sie hat zwei Parameter:
    • bei der einfaktoriellen ANOVA ist der erste Parameter gleich $g-1$, wenn $g$ die Anzahl der Gruppen ist
    • und der zweite ist $n-g$, wenn $n$ der Stichprobenumfang ist
  • Im Beispiel: $g=5$, $n=80$
In [7]:
P = stats.f(4, 75)
1 - P.cdf(res.statistic)
Out[7]:
np.float64(0.48807057520065544)

Zum Vergleich

In [8]:
res.pvalue
Out[8]:
np.float64(0.48807057520065544)

Haben unterschiedliche Pinguinarten unterschiedliche Schnabellängen?¶

In [9]:
df = sns.load_dataset("penguins") 
df.head()
Out[9]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
0 Adelie Torgersen 39.1 18.7 181.0 3750.0 Male
1 Adelie Torgersen 39.5 17.4 186.0 3800.0 Female
2 Adelie Torgersen 40.3 18.0 195.0 3250.0 Female
3 Adelie Torgersen NaN NaN NaN NaN NaN
4 Adelie Torgersen 36.7 19.3 193.0 3450.0 Female

Einschub:

  • Was ist der Unterschied zwischen sns.load_dataset und pd.read_csv
  • sns.load_dataset lädt einen von einem Dutzend sorgfältig vorbereiteten Datensätzen, die von den Programmiererinnen und Programmieren von seaborn bereit gestellt werden
  • pd.read_csv kann beliebige csv-Datei einlesen
  • es gibt auch noch pd.read_excel zum Einlesen von *.xlsx und *.ods-Dateien
In [10]:
sns.displot(df, x='bill_length_mm', hue='species', multiple='stack');
No description has been provided for this image
In [11]:
df.species.value_counts()
Out[11]:
species
Adelie       152
Gentoo       124
Chinstrap     68
Name: count, dtype: int64
In [12]:
gA = df[df.species=='Adelie'].bill_length_mm
gA
Out[12]:
0      39.1
1      39.5
2      40.3
3       NaN
4      36.7
       ... 
147    36.6
148    36.0
149    37.8
150    36.0
151    41.5
Name: bill_length_mm, Length: 152, dtype: float64
In [13]:
gG = df[df.species=='Gentoo'].bill_length_mm
gC = df[df.species=='Chinstrap'].bill_length_mm
In [14]:
stats.f_oneway(gA, gG, gC)
Out[14]:
F_onewayResult(statistic=np.float64(nan), pvalue=np.float64(nan))
  • Was ist das Problem?
  • Es gibt Einträge ohne Werte
In [15]:
res = stats.f_oneway(gA.dropna(), gG.dropna(), gC.dropna())
res
Out[15]:
F_onewayResult(statistic=np.float64(410.6002550405077), pvalue=np.float64(2.6946137388895484e-91))

Also haben unterschiedliche Pinguinarten unterschiedliche Schnabellängen

Wir hätten auch drei t-Tests rechnen können

In [16]:
r1 = stats.ttest_ind(gA.dropna(), gG.dropna())
r1
Out[16]:
TtestResult(statistic=np.float64(-25.09530115900974), pvalue=np.float64(9.324042980315958e-73), df=np.float64(272.0))
In [17]:
r2 = stats.ttest_ind(gA.dropna(), gC.dropna())
r2
Out[17]:
TtestResult(statistic=np.float64(-23.801939237440887), pvalue=np.float64(2.011759018655462e-62), df=np.float64(217.0))
In [18]:
r3 = stats.ttest_ind(gG.dropna(), gC.dropna())
r3
Out[18]:
TtestResult(statistic=np.float64(-2.7694045269151144), pvalue=np.float64(0.006175813141889592), df=np.float64(189.0))
  • Das ist multiples Testen, muss also korrigiert werden
  • Drei Tests gerechnet
  • Gewünscht: $\alpha=0.01$
  • Bonferroni-Korrektur: Jeden einzelnen Test zu $\frac\alpha3 = 0.003333$ auswerten
  • Zu $\alpha=0.01$ werden Unterschiede in den Schnabellängen zwischen Adelie- und Eselspinguinen und zwischen Adelie- und Zügelpinguinen gefunden
  • Der Unterschied zwischen Esels- und Zügelpinguinen ist nicht signifikant
  • Üblicherweise kombiniert man beide Ansätze
  • Stichwort Posthoc Analyse