Mathematik für Biologiestudierende II¶

Sommersemester 2025

17.06.2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Themen¶

In [1]:
import numpy as np
np.set_printoptions(legacy='1.21')
import pandas as pd
from scipy import stats
import seaborn as sns
sns.set_theme()
import statsmodels.formula.api as smf

Vorhersagen (prediction)¶

In [2]:
df = pd.read_csv('blutdruckdaten.csv')
df.describe()
Out[2]:
Alter Blutdruck Größe
count 30.000000 30.000000 30.000000
mean 44.800000 147.933333 176.373333
std 15.202994 27.391080 5.349504
min 17.000000 108.000000 165.300000
25% 37.250000 125.250000 173.350000
50% 45.000000 144.500000 176.650000
75% 56.000000 173.250000 179.075000
max 69.000000 199.000000 189.000000
In [3]:
formel = 'Blutdruck ~ Alter'
  • In dieser Formel ist Alter die erklärende und Blutdruck die abhängige Variable
  • Die erklärenden Variablen heißen auch exogen, die abhängigen endogen
  • englisch:
    • abhängig: dependent oder outcome variable
    • erklärend: predictor

Passender Cartoon von xkcd

In [4]:
modell = smf.ols(formel, df)
res = modell.fit()
res.summary()
Out[4]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: Blutdruck R-squared: 0.701
Model: OLS Adj. R-squared: 0.690
Method: Least Squares F-statistic: 65.54
Date: Mon, 16 Jun 2025 Prob (F-statistic): 8.17e-09
Time: 10:26:46 Log-Likelihood: -123.27
No. Observations: 30 AIC: 250.5
Df Residuals: 28 BIC: 253.3
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept 80.3697 8.798 9.135 0.000 62.348 98.391
Alter 1.5081 0.186 8.096 0.000 1.127 1.890
Omnibus: 2.886 Durbin-Watson: 2.401
Prob(Omnibus): 0.236 Jarque-Bera (JB): 1.526
Skew: 0.390 Prob(JB): 0.466
Kurtosis: 3.782 Cond. No. 149.


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
  • Aufgabe aus Lektion 22: Welchen Blutdruck erwartet man für einen 50-jährigen?
  • das hatten wir dort zu Fuß ausgerechnet
  • In der Sprache der linearen Modelle handelt es sich um eine Vorhersage, engl. prediction
  • Wir verwenden nun die Methode get_prediction
  • Dazu müssen die Daten der erklärenden Variablen in einen DataFrame geschrieben werden
In [5]:
anfrage = pd.DataFrame()
anfrage['Alter'] = [50]
#  rechte Seite ist auch ein array, auch wenn nur ein Wert berechnet werden soll
anfrage
Out[5]:
Alter
0 50
In [6]:
res.get_prediction(anfrage).summary_frame()
Out[6]:
mean mean_se mean_ci_lower mean_ci_upper obs_ci_lower obs_ci_upper
0 155.775537 2.948193 149.736438 161.814636 123.956163 187.59491
  • Man erwartet einen Blutdruck von 155.77 mm Hg
  • Das stimmt bis auf Rundungsfehler mit dem Ergebnis aus Lektion 22 überein
  • mean: Wert, der im Mittel zu erwarten ist
  • mean_se: Standardabweichung für mean
  • die vier anderen Werte sind untere bzw. obere Grenzen für Konfidenzintervalle
  • mean_ci ist das Konfidenzintervall für den mittleren zu erwartenden Wert
  • obs_ci ist das Konfidentintervall für den individuell zu beobachtenden Wert (engl: "observed")
  • mean_ci_lower und mean_ci_upper begrenzen die blaue Kurve im regplot
In [7]:
ax = sns.regplot(df, x='Alter', y='Blutdruck')
ax;
No description has been provided for this image
  • obs_ci_lower und obs_ci_upper begrenzen einen Bereich, der 95% der erwarteten Beobachtungen enthält
  • wir malen den mal hin
In [8]:
anfrage = pd.DataFrame()
anfrage['Alter'] = np.arange(18, 70)
anfrage.head()
Out[8]:
Alter
0 18
1 19
2 20
3 21
4 22
In [9]:
vorhersage = res.get_prediction(anfrage).summary_frame()
vorhersage.head()
Out[9]:
mean mean_se mean_ci_lower mean_ci_upper obs_ci_lower obs_ci_upper
0 107.515824 5.716491 95.806124 119.225524 74.152388 140.879261
1 109.023940 5.554540 97.645982 120.401899 75.775486 142.272395
2 110.532056 5.394160 99.482621 121.581491 77.394588 143.669525
3 112.040172 5.235496 101.315746 122.764599 79.009654 145.070690
4 113.548288 5.078708 103.145027 123.951550 80.620646 146.475931
In [10]:
sns.lineplot(x=anfrage.Alter, y=vorhersage.obs_ci_lower, ax = ax, color='orange')
sns.lineplot(x=anfrage.Alter, y=vorhersage.obs_ci_upper, ax=ax, color='orange')
Out[10]:
<Axes: xlabel='Alter', ylabel='Blutdruck'>
In [11]:
ax.figure
Out[11]:
No description has been provided for this image

Dasselbe noch mal für das Konfidenzniveau $1-\alpha=0.99$

In [12]:
ax = sns.regplot(df, x='Alter', y='Blutdruck', ci=99)
vorhersage = res.get_prediction(anfrage).summary_frame(alpha=0.01)
sns.lineplot(x=anfrage.Alter, y=vorhersage.obs_ci_lower, ax = ax, color='orange')
sns.lineplot(x=anfrage.Alter, y=vorhersage.obs_ci_upper, ax=ax, color='orange');
No description has been provided for this image

Beispiel: Fische¶

  • Fische werden gezüchtet. In den ersten 24 Monaten wurden die folgenden Daten erhoben
  • Diesen Daten werden benutzt, um das Wachstum der nächsten Generation zu prognostizieren
In [13]:
df = pd.read_csv('fische.csv')
df.head()
Out[13]:
Monat Höhe Gewicht
0 4 18.361636 351.447570
1 18 82.891739 1489.847354
2 16 75.875655 1456.778649
3 5 24.685312 466.510582
4 23 102.858653 1992.998583
  • Gewicht in g
  • Höhe in mm
  • Ein Züchter hat 1200 Fische in seinen Teichen, die alle gleichzeitig geschlüpft sind
  • erste Frage: Was ist das Konfidenzintervall für das Gesamtgewicht dieser Fische nach 18 Monaten zum Konfidenzniveau 95%?
  • zweite Frage: Wie muss das Netz gewählt werden, um nach 18 Monaten 97.5% der Fische zu fangen?
In [14]:
formel1 = 'Gewicht ~ Monat'
modell1 = smf.ols(formel1, df)
In [15]:
res = modell1.fit()
res.summary()
Out[15]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: Gewicht R-squared: 0.992
Model: OLS Adj. R-squared: 0.992
Method: Least Squares F-statistic: 8866.
Date: Mon, 16 Jun 2025 Prob (F-statistic): 9.01e-74
Time: 10:26:46 Log-Likelihood: -365.66
No. Observations: 70 AIC: 735.3
Df Residuals: 68 BIC: 739.8
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept -2.6497 12.964 -0.204 0.839 -28.519 23.219
Monat 83.7359 0.889 94.161 0.000 81.961 85.510
Omnibus: 3.720 Durbin-Watson: 1.931
Prob(Omnibus): 0.156 Jarque-Bera (JB): 3.556
Skew: -0.198 Prob(JB): 0.169
Kurtosis: 4.030 Cond. No. 34.8


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
In [16]:
anfrage = pd.DataFrame()
anfrage['Monat'] = [18]
res.get_prediction(anfrage).summary_frame()
Out[16]:
mean mean_se mean_ci_lower mean_ci_upper obs_ci_lower obs_ci_upper
0 1504.597078 6.904729 1490.818905 1518.375251 1412.618172 1596.575983
  • untere Vertrauensgrenze für das Gesamtgewicht von 1200 Fischen in kg:
In [17]:
1200 * 1490.8 / 1000
Out[17]:
1788.96

Mit 97.5% Sicherheit werden mindestens 1789 kg Fisch geerntet

In [18]:
formel2 = 'Höhe ~ Monat'
modell2 = smf.ols(formel2, df)
res = modell2.fit()
res.summary()
Out[18]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: Höhe R-squared: 0.995
Model: OLS Adj. R-squared: 0.995
Method: Least Squares F-statistic: 1.474e+04
Date: Mon, 16 Jun 2025 Prob (F-statistic): 3.13e-81
Time: 10:26:46 Log-Likelihood: -143.68
No. Observations: 70 AIC: 291.4
Df Residuals: 68 BIC: 295.9
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept -0.2723 0.544 -0.501 0.618 -1.358 0.813
Monat 4.5292 0.037 121.402 0.000 4.455 4.604
Omnibus: 3.746 Durbin-Watson: 1.917
Prob(Omnibus): 0.154 Jarque-Bera (JB): 3.670
Skew: 0.521 Prob(JB): 0.160
Kurtosis: 2.583 Cond. No. 34.8


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
In [19]:
res.get_prediction(anfrage).summary_frame()
Out[19]:
mean mean_se mean_ci_lower mean_ci_upper obs_ci_lower obs_ci_upper
0 81.252727 0.289668 80.674704 81.83075 77.394018 85.111436

Um 97.5% der Fische zu fangen, muss das Netz so beschaffen sein, dass ein Fisch der Höhe 77.4mm nicht hindurch schlüpft

Vorhersagen bei mehreren erklärenden Variablen¶

In [20]:
df = pd.read_csv('galton.csv')
df.describe()
Out[20]:
father mother midparentHeight children childNum childHeight
count 481.000000 481.000000 481.000000 481.000000 481.000000 481.000000
mean 69.137630 64.033264 69.146778 6.008316 2.257796 69.234096
std 2.305767 2.321623 1.775891 2.669257 1.402404 2.623905
min 62.000000 58.000000 64.400000 1.000000 1.000000 60.000000
25% 68.000000 63.000000 68.020000 4.000000 1.000000 67.500000
50% 69.000000 64.000000 69.180000 6.000000 2.000000 69.200000
75% 70.500000 66.000000 70.140000 8.000000 3.000000 71.000000
max 78.500000 70.500000 75.430000 15.000000 10.000000 79.000000
In [21]:
df.gender.value_counts()
Out[21]:
gender
male    481
Name: count, dtype: int64
In [22]:
formel = "childHeight ~ father + mother"
model = smf.ols(formel, df)
In [23]:
res = model.fit()
In [24]:
res.summary()
Out[24]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: childHeight R-squared: 0.238
Model: OLS Adj. R-squared: 0.235
Method: Least Squares F-statistic: 74.62
Date: Mon, 16 Jun 2025 Prob (F-statistic): 6.25e-29
Time: 10:26:46 Log-Likelihood: -1080.7
No. Observations: 481 AIC: 2167.
Df Residuals: 478 BIC: 2180.
Df Model: 2
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept 19.3128 4.095 4.716 0.000 11.266 27.359
father 0.4176 0.046 9.154 0.000 0.328 0.507
mother 0.3288 0.045 7.258 0.000 0.240 0.418
Omnibus: 10.653 Durbin-Watson: 1.592
Prob(Omnibus): 0.005 Jarque-Bera (JB): 14.542
Skew: -0.200 Prob(JB): 0.000695
Kurtosis: 3.752 Cond. No. 3.69e+03


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
[2] The condition number is large, 3.69e+03. This might indicate that there are
strong multicollinearity or other numerical problems.
  • Wie groß ist ein Sohn, dessen Vater 68.9 Zoll und dessen Mutter 66.4 Zoll groß ist?
In [25]:
anfrage = pd.DataFrame()
anfrage['father'] = [68.9]
anfrage['mother'] = [66.4]
anfrage
Out[25]:
father mother
0 68.9 66.4
In [26]:
res.get_prediction(anfrage).summary_frame()
Out[26]:
mean mean_se mean_ci_lower mean_ci_upper obs_ci_lower obs_ci_upper
0 69.912992 0.150896 69.616491 70.209492 65.393024 74.43296

Für die Größe der Sohns wird ein Wert von 69.91 Zoll erwartet

midparentHeight¶

  • Zu Galtons Zeiten (1822 - 1911) gab es weder die Theorie der Linearen Modelle noch die dazu benötigte Rechnerausstattung
  • Daher musste er die Daten von Vater und Mutter zu einer fiktiven Größe zusammenfassen
  • Diese nannte er midparentHeight
  • Im Internet steht dazu viel unverständliches
  • statistics to the rescue
In [27]:
formel_mph = "midparentHeight ~ father + mother"
modell_mph = smf.ols(formel_mph, df)
res_mph = modell_mph.fit()
In [28]:
res_mph.summary()
Out[28]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: midparentHeight R-squared: 1.000
Model: OLS Adj. R-squared: 1.000
Method: Least Squares F-statistic: 1.809e+26
Date: Mon, 16 Jun 2025 Prob (F-statistic): 0.00
Time: 10:26:46 Log-Likelihood: 12265.
No. Observations: 481 AIC: -2.452e+04
Df Residuals: 478 BIC: -2.451e+04
Df Model: 2
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept 5.495e-13 3.65e-12 0.151 0.880 -6.62e-12 7.72e-12
father 0.5000 4.06e-14 1.23e+13 0.000 0.500 0.500
mother 0.5400 4.04e-14 1.34e+13 0.000 0.540 0.540
Omnibus: 5.399 Durbin-Watson: 0.000
Prob(Omnibus): 0.067 Jarque-Bera (JB): 6.292
Skew: -0.128 Prob(JB): 0.0430
Kurtosis: 3.498 Cond. No. 3.69e+03


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
[2] The condition number is large, 3.69e+03. This might indicate that there are
strong multicollinearity or other numerical problems.

Also

midparentHeight = (father + 1.08 * mother)/2

ohne jeden zufälligen Anteil