Mathematik für Biologiestudierende II¶

Sommersemester 2025

01.07.2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Klausur¶

  • Sie können sich jetzt im Studierendenportal zur Klausur am 05.08.2025 anmelden.
  • Die Klausur dauert 120 Minuten.

Termine¶

  • 08.07.2025 letzte Vorlesung
  • 15.07.2025 Probeklausur (im Vorlesungsformat)
  • 05.08.2025 erste Klausur
  • 16.09.2025 zweite Klausur
  • Februar 2026 dritte Klausur
  • möglicherweise wird Anfang September ein Ferientutoriumm angeboten: Schauen Sie auf die Webseite

Themen¶

  • Lineare Modelle mit kategoriellen Daten
  • ANOVA als lineares Modell
  • Regression im exponentiellen Modell
  • halblogarithmische Darstellung
In [1]:
import numpy as np
np.set_printoptions(legacy='1.21')
import pandas as pd
from scipy import stats
import seaborn as sns
sns.set_theme()
import statsmodels.formula.api as smf

Lineare Modelle mit kategoriellen Daten¶

Beispiel Ratten¶

Wir kommen zu dem Rattenbeispiel aus Lektion 23 zurück:

  • kontaminiertes Gelände: fange 10 Ratten
  • unbelastetes Vergleichsgelände: fange 10 Ratten
  • für jede Ratte wird ihr Alter in Monaten und der Bleigehalt im Gewebe bestimmt
In [2]:
df = pd.read_csv('ratten.csv')
In [3]:
sns.lmplot(df, x='Alter', y='Belastung', hue='Gelände');
No description has been provided for this image
In [4]:
formel = 'Belastung ~ Alter + Gelände'
modell = smf.ols(formel, df)
res = modell.fit()
In [5]:
res.summary()
Out[5]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: Belastung R-squared: 0.673
Model: OLS Adj. R-squared: 0.635
Method: Least Squares F-statistic: 17.52
Date: Sun, 06 Jul 2025 Prob (F-statistic): 7.42e-05
Time: 17:01:42 Log-Likelihood: -63.935
No. Observations: 20 AIC: 133.9
Df Residuals: 17 BIC: 136.9
Df Model: 2
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept 39.1728 5.166 7.583 0.000 28.273 50.072
Gelände[T.unkontaminiert] -11.0980 3.124 -3.552 0.002 -17.689 -4.507
Alter 3.5490 0.617 5.752 0.000 2.247 4.851
Omnibus: 1.119 Durbin-Watson: 2.547
Prob(Omnibus): 0.572 Jarque-Bera (JB): 0.408
Skew: -0.346 Prob(JB): 0.815
Kurtosis: 3.102 Cond. No. 33.2


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

Bestimmung des p-Werts¶

  • res.summary gibt den p-Wert für den Intercept aus
  • also für den Unterschied im Alter 0
  • Trick: Verlegung des Nullpunkts
  • Im Beispiel verlegen wird den Nullpunkt auf 8 Monate.
  • Wir führen in der Tabelle also eine Spalte mit der Altersdifferenz zu 8 Monaten ein
In [6]:
df['Altersdifferenz'] = df.Alter - 8
df.head()
Out[6]:
Alter Belastung Gelände Altersdifferenz
0 10 63 unkontaminiert 2
1 12 67 unkontaminiert 4
2 6 55 unkontaminiert -2
3 6 42 unkontaminiert -2
4 11 73 unkontaminiert 3
In [7]:
formel2 = 'Belastung ~ Altersdifferenz + Gelände'
modell2 = smf.ols(formel2, df)
res2 = modell2.fit()
In [8]:
res2.summary()
Out[8]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: Belastung R-squared: 0.673
Model: OLS Adj. R-squared: 0.635
Method: Least Squares F-statistic: 17.52
Date: Sun, 06 Jul 2025 Prob (F-statistic): 7.42e-05
Time: 17:01:42 Log-Likelihood: -63.935
No. Observations: 20 AIC: 133.9
Df Residuals: 17 BIC: 136.9
Df Model: 2
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept 67.5647 2.038 33.154 0.000 63.265 71.864
Gelände[T.unkontaminiert] -11.0980 3.124 -3.552 0.002 -17.689 -4.507
Altersdifferenz 3.5490 0.617 5.752 0.000 2.247 4.851
Omnibus: 1.119 Durbin-Watson: 2.547
Prob(Omnibus): 0.572 Jarque-Bera (JB): 0.408
Skew: -0.346 Prob(JB): 0.815
Kurtosis: 3.102 Cond. No. 6.48


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
  • der p-Wert für den Einfluss des geländes bei acht Monate alten Ratten beträgt 0.002
  • in der letzten Lektion hatten wir durch Betrachtung der Konfidenzintervalle der Prediction einen p-Wert von 0.02 gesehen

ANOVA als Lineares Modell¶

In [9]:
df = pd.read_csv("http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2425/zitronen.csv")
In [10]:
df.head()
Out[10]:
Vitamin_C_Gehalt Land
0 494.5 Spanien
1 499.2 Spanien
2 494.3 Spanien
3 478.0 Spanien
4 500.1 Spanien
In [11]:
df.Land.value_counts()
Out[11]:
Land
Spanien         8
Italien         8
Griechenland    8
Marokko         8
Indien          8
Name: count, dtype: int64
In [12]:
import statsmodels.stats.anova as smf_anova
In [13]:
formel = "Vitamin_C_Gehalt ~ Land"
modell = smf.ols(formel, df)
res = modell.fit()
In [14]:
smf_anova.anova_lm(res)
Out[14]:
df sum_sq mean_sq F PR(>F)
Land 4.0 4378.44650 1094.611625 11.873758 0.000003
Residual 35.0 3226.56125 92.187464 NaN NaN
  • Der p-Wert ist derselbe wie in Lektion 17
  • Die Nachkommastellen des p-Werts sehen wir wie folgt
In [15]:
tabelle = smf_anova.anova_lm(res)
In [16]:
tabelle['PR(>F)'].Land
Out[16]:
3.3733416696759452e-06

Die gemäß Bonferroni-Holm korrigierten p-Werte für die Paarvergleiche erhalten wir wie in Lektion 17

In [17]:
from statsmodels.sandbox.stats.multicomp import MultiComparison
In [18]:
muc = MultiComparison(df.Vitamin_C_Gehalt, df.Land)
In [19]:
res = muc.allpairtest(stats.ttest_ind, method='holm')
res[0]
Out[19]:
Test Multiple Comparison ttest_ind FWER=0.05 method=holm alphacSidak=0.01, alphacBonf=0.005
group1 group2 stat pval pval_corr reject
Griechenland Indien -4.9524 0.0002 0.0019 True
Griechenland Italien 1.113 0.2845 0.5689 False
Griechenland Marokko -3.5339 0.0033 0.0231 True
Griechenland Spanien -1.9478 0.0718 0.2153 False
Indien Italien 6.2008 0.0 0.0002 True
Indien Marokko 0.3183 0.7549 0.7549 False
Indien Spanien 3.3226 0.005 0.0302 True
Italien Marokko -4.3312 0.0007 0.0055 True
Italien Spanien -3.3042 0.0052 0.0302 True
Marokko Spanien 2.2786 0.0389 0.1556 False

Das sind andere Zahlen als bei res.summary, weil res.summary die Treatments nur mit dem Default vergleicht und nicht untereinander

Regression im exponentiellen Modell¶

Beispiel Covid-Erkrankungen¶

In [20]:
df = pd.read_csv('corona.csv')
df.head()
Out[20]:
Tag (im März) Anzahl
0 3 38
1 4 52
2 5 109
3 6 185
4 7 150
In [21]:
ax = sns.scatterplot(data=df, x="Tag (im März)", y="Anzahl");
No description has been provided for this image
  • Das Wachstum war exponentiell
  • Es gab aber Schankungen durch unterschiedliche Verzögerungen der Berichte der Gesundheitsämter

Halblogarithmische Darstellung¶

Bei halblogarithmischer Darstellung

  • ist die $x$-Achse linear skaliert: Gleiche absolute Zuwächse pro Längeneinheit
  • ist die $y$-Achse logarithmisch skaliert: Gleiche relative Zuwächse pro Längeneinheit
  • Das bedeutet: Der Logarithmus der Daten wird angezeigt, und die $y$-Achse wird entsprechend unterteilt
  • Exponentiell wachsende Daten liegen bei halblogarithmischer Darstellung annäherend auf einer wachsenden Geraden, exponentiell fallende auf einer fallenden Geraden
In [22]:
ax.set_yscale('log')
ax.figure
Out[22]:
No description has been provided for this image

Exponentielles Modell vs. Lineare Regression¶

  • Lineares Modell: in gleichen Zeitabständen gleiche absolute Zuwächse
  • Exponentielles Modell: in gleichen Zeitabständen gleiche relative Zuwächse
  • Biologische Wachstums- oder Abklingprozesse verlaufen meistens exponentiell
  • Aufgabe der Regression im exponentiellen Modell ist es, bei Wachstumsprozessen die Verdoppelungszeit und bei Abklingprozessen die Halbwertszeit zu bestimmen
  • Dies geschieht, indem man die Werte logarithmiert und dann deren lineare Regression berechnet

Regression im exponentiellen Modell¶

  • $x$ die Zeit, $z$ Daten, die exponentiell wachsen (bzw. abklingen)
  • Modellgleichung für Wachstumsprozess: $$ z = c \cdot e^{m\cdot x} $$
  • logarithmierte Modellgleichung $$ y = \ln(z) = \ln(c) + m \cdot x $$
  • bestimme diese Gerade durch lineare Regression
  • wenn $m < 0$, dann Abklingprozess
In [23]:
df['logAnzahl'] = np.log(df.Anzahl)
df['Tag'] = df['Tag (im März)']
In [24]:
formel = 'logAnzahl ~ Tag'
modell = smf.ols(formel, df)
res = modell.fit()
In [25]:
res.summary()
Out[25]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: logAnzahl R-squared: 0.960
Model: OLS Adj. R-squared: 0.958
Method: Least Squares F-statistic: 458.1
Date: Sun, 06 Jul 2025 Prob (F-statistic): 9.25e-15
Time: 17:01:43 Log-Likelihood: -2.9636
No. Observations: 21 AIC: 9.927
Df Residuals: 19 BIC: 12.02
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept 3.4410 0.151 22.728 0.000 3.124 3.758
Tag 0.2260 0.011 21.403 0.000 0.204 0.248
Omnibus: 0.968 Durbin-Watson: 1.597
Prob(Omnibus): 0.616 Jarque-Bera (JB): 0.816
Skew: -0.438 Prob(JB): 0.665
Kurtosis: 2.594 Cond. No. 34.1


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
  • m = 0.226
  • b = 3.441

Die Regressionsgerade für die logarithmierten Daten ist $$ y = 0.226 \cdot x + 3.441 $$

In [26]:
tage = np.arange(3, 24)
gerade = 0.226*tage + 3.441
In [27]:
titel = "Die logarithmierten Daten zusammen mit ihrer Regressionsgerade"
ax2 = sns.scatterplot(x=df.Tag, y=df.logAnzahl)
sns.lineplot(x=tage, y=gerade)
ax2.set_title(titel);
No description has been provided for this image
In [28]:
titel = "Die exponentierte Regressionskurve zusammen mit den Ausgangsdaten in halblogarithmischer Darstellung"
sns.lineplot(x=tage, y=np.exp(gerade), ax=ax)
ax.set_title(titel)
ax.figure
Out[28]:
No description has been provided for this image
In [29]:
titel = "Die exponentierte Regressionskurve zusammen mit den Ausgangsdaten in linearer Darstellung"
ax.set_title(titel)
ax.set_yscale('linear')
ax.figure
Out[29]:
No description has been provided for this image

Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit¶

(aus Lektion 2)

  • Modell eines Wachstumsprozesses $$ z = c \cdot e^{m\cdot x} $$
  • Verdoppelungszeit $t$ bestimmt durch $$ e^{m\cdot t} = 2 $$
  • Also $$ t = \frac{\ln 2}m $$
  • Bei Abklingprozessen ist $m < 0$, dann ist $$ t = -\frac{\ln 2}m $$ die Halbwertszeit

Im Beispiel Covid

In [30]:
m = 0.226
In [31]:
t = np.log(2) / m
t
Out[31]:
3.067022922831616

Die Verdoppelungszeit betrug 3.07 Tage