Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2025/26

  1. Oktober 2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Informationen¶

  • öffentliche Seite zur Vorlesung: http://www.math.uni-duesseldorf.de/~internet/bio2526
  • Vorlesungsverzeichnis: http://lsf.hhu.de
  • ILIAS: http://ilias.hhu.de

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Diese Präsentation bekommen Sie über die öffentliche Seite der Vorlesung, also über http://www.math.uni-duesseldorf.de/~internet/bio2526

Warum Mathematik im Biologiestudium?¶

  • Weil größere Datenmengen mit statistischen Methoden untersucht werden müssen
  • Weil die enormen Fortschritte der Biologie in den letzten Jahrzehnten auch auf erfolgreiche Mathematisierung zurückzuführen sind

Themen dieser Vorlesung¶

  • Exponentialfunktion, Wachstums- und Abklingprozesse
  • Beschreibende Statistik
  • Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
  • Etwas Analysis
  • Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitstheorie (Modellbildung)
  • Schließende Statistik
    • Hypothesentests
    • Lineare Modelle

Organisatorisches¶

  • Vorlesung:
    • Di 10:30-12:00 in Hörsaal 6J
    • Mi 10:30-11:15 in Hörsaal 6J
  • Hörsaalübung
    • Mi 11:30-12:15 in Hörsaal 6J
  • Kleingruppenübung: diverse Termine

Alle Übungen beginnen in der nächsten Woche (KW 43)

Kleingruppenübungen¶

zwei Verfahren zur Belegung der Kleingruppen, beides geschieht im LSF

  • Gruppenpriorisierung
    • bis vorgestern konnte man mehrere passende Termine auswählen und einen davon priorisieren
    • vermutlich heute verteilt das ZIM auf dieser Grundlage die Studierenden auf die Gruppen
    • wer nicht zum Zuge gekommen ist, nimmt an der Restplatzvergabe teil
  • Restplatzvergabe
    • vermutlich ab morgen werden die noch freien Plätze nach dem Prinzip "first come, first served" vergeben
    • wer keine Kleingruppe besuchen möchte, braucht auch keine zu belegen
    • ich stelle nach Rücksprache mit den Übungsleitungen zusätzliche Plätze zur Verfügung

Übungsaufgaben¶

Zur Vertiefung des Stoffes gibt es Übungsaufgaben unter http://fuchs.math.uni-duesseldorf.de.

  • Ausgabe jeweils freitags
  • Bearbeitung bis zum nächsten Sonntag (also neun Tage später)
  • Jede Woche 2 Blätter mit je 10 Aufgaben
  • Die Punkte aus den Übungen werden in Klausurpunkte umgerechnet und gehen zu 10% in die Klausur ein
  • Die Blätter mit ungerader Nummer werden in der Hörsaalübung besprochen, die anderen in den Kleingruppen
  • Die Online-Übungen werden automatisch sofort bewertet
  • Die Aufgaben können beliebig oft wiederholt werden
  • Ihre Login-Daten erhalten Sie nachher über das Studierendenportal

Unterschied zwischen Hörsaalgruppe und Kleingruppen¶

  • Wir gehen davon aus, dass alle die Hörsaalübung besuchen
  • Wer sich dann noch unsicher fühlt, geht in eine Kleingruppe

Anwesenheitspflicht¶

Es gibt keine Anwesenheitspflicht in den Mathematik-Veranstaltungen des ersten Semesters

Das heißt aber nicht, dass die Anwesenheit keinen Nutzen bringt

Modulprüfung¶

  • Klausuren im Februar und März 2026
  • Termine auf den Seiten der Biologie https://www.biologie.hhu.de/
  • Teilnahme an einer der beiden Klausuren
  • Übungspunkte gehen als Bonuspunkte in die Klausur ein
  • Wer durchfällt: Wiederholungsklausur
  • Schieben Sie die Mathe-Klausur nicht auf die lange Bank

Literatur¶

zur Theorie¶

  • Adlung, Lorenz, Köthe, Schnellbächer, Staufer: Tutorium Mathe für Biologen
  • Grabinger: Fit fürs Studium: Statistik
  • Rudolf, Kuhlisch: Biostatistik (Lehrbuchsammlung)
  • McKillup: Statistics Explained (Lehrbuchsammlung)

Grabinger dient dazu, den Übergang zu erleichtern

zur Berechnung mit dem Rechner¶

  • Haslwanter: An Introduction to Statistics with Python

Zugang zu den E-Books nur aus dem Uni-Netz

Hilfsmittel¶

  • Taschenrechner für kleine Beispiele

    einfacher "wissenschaftlicher" Taschenrechner genügt

  • Computerprogramm für realistischere Daten

    • entweder auf eigenem Gerät
    • oder in der Cloud

    Details in der nächsten Woche

Hilfsmittel in der Klausur¶

  • vier beidseitig beschriebene A4-Blätter
  • von eigener Hand mit Stift beschrieben, also keine Ausdrucke, auch nicht vom Tablett
  • Taschenrechner, grafikfähig bzw. CAS erlaubt, bringen aber keinen Vorteil

Die Klausur findet klassisch mit Stift und Papier statt.

Bei den Aufgaben zur Software werden z.B. Computerausgaben gezeigt, die dann interpretiert werden sollen.

Ab jetzt: Mathematik¶

Rechnen mit dem Taschenrechner oder Computer¶

Rundung¶

In [1]:
1/7
Out[1]:
0.14285714285714285
In [2]:
7 * 1/7
Out[2]:
1.0
In [3]:
7 * 1/7 - 1
Out[3]:
0.0
In [4]:
(1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7) - 1
Out[4]:
-2.220446049250313e-16
  • Der Rechner rundet den Bruch $1/7$. Dadurch entsteht ein Rundungsfehler.
  • Machmal heben sich die Rundungsfehler wieder auf, meistens nicht.

Exponentendarstellung¶

  • Was ist -2.2e-16?
  • 2.2e-3 ist $2.2 \cdot 10^{-3} = \frac{2.2}{1000} = 0.0022$
  • Der Zusatz e-16 bedeutet, dass die Zahl durch $10^{16}$ geteilt wird
  • 2.2e-16 = 0.00000000000000022

Vorsätze für Maßeinheiten:¶

2.2e-16 km sind

  • 2.2e-13 m
  • 2.2e-10 mm (Millimeter)
  • 2.2e-7 $\mu$m (Mikrometer)
  • 2.2e-4 nm (Nanometer)
  • 0.22 pm (Picometer)

Beispiel: Der Durchmesser des Corona-Virus beträgt ca 100 nm

  • Der Rechner rechnet auf 16 Stellen Genauigkeit. Das ist meist ausreichend.
  • Bei der Rechnung mit Taschenrechner von Hand sollte man mindestens sechs signifikante Stellen mitführen

Was ist eine signifikante Stelle?

  • Das ist die Anzahl der gemessenen bzw. ausgerechneten Stellen ab der ersten Stelle, die keine Null ist

Beispiel:

  • 0.001234 vier signifikante Stellen
  • 0.000001234 vier signifikante Stellen
  • 0.12340 fünf signifikante Stellen (die 0 hinter der 4 ist tatsächlich gemessen worden)
  • 12.34 vier signifikante Stellen
  • 12340 unklar. Besser so:
  • 1.234e4 vier signifikante Stellen

Die Anzahl der signifikanten Stellen ist unabhängig davon, in welcher Maßeinheit das Ergebnis ausgedrückt wird

Wachstums- und Abklingprozesse¶

Exponentialfunktion und Logarithmus¶

Potenzgesetze¶

  • Die Funktion $f(x) = a^x$ heißt Potenzfunktion

  • $a$ bezeichnet man als Basis und $x$ als Exponenten

  • Rechenregeln:

    \begin{align*} a^{x+y} &= a^x \cdot a^y \\ (a\cdot b)^x &= a^x \cdot b^x \\ a^{-1} &= \frac1a \\ 1^x &= 1 \\ a^0 &= 1 \end{align*}

Beispiele zu den Rechenregeln¶

  • $2^{3+4} = 2^7 = 128$
  • $2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128$
  • $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
  • $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$
  • $7^{-1} = \frac17$
  • ${\frac34}^{-1} = \frac43$

Die Exponentialfunktion¶

Verzinsung¶

  • die Bank zahlt 3% Zinsen
  • aus 1€ wird nach einem Jahr $(1+p)$€, wobei $p=0.03$
  • nach zwei Jahren hat man $(1+p)^2$€, nach dreien $(1+p)^3$€, usw.
Jahre Kapital
0 1000.00€
1 1030.00€
2 1060.90€
3 1092.73€
4 1125.51€
5 1158.27€
6 1194.05€
  • einige Banken verzinsen monatlich mit einem zwölftel des Jahreszinses
  • bei so einer Bank beträgt der Wert nach einem Jahr $$ \left( 1 + \frac p{12} \right)^{12} \text{€} $$
  • Bei 3% Verzinsung ist $\frac p{12} = 0.25$%
  • bei monatlicher Verzinsung werden so aus 1000.00€ in einem Jahr 1030.42€ (statt 1030.00€ bei jährlicher Verzinsung)
  • bei 100% Jahreszinsen erhält man 2000.00€ bei jährlicher Verzinsung und 2613.00€ bei monatlicher Verzinsung
  • man könnte auch täglich verzinsen, dann erhält man 2714.57€
  • oder stündlich, dann erhält man 2718.13€
In [5]:
(1 + 1/365)**365
Out[5]:
2.7145674820219727

Die Eulersche Zahl¶

Die Eulersche Zahl ist der Grenzwert dieses Prozesses

$$ e = 2.7182818284590451\ldots $$

Die Exponentialfunktion ist die Potenzfunktion zur Basis $e$. Sie wird mit $\exp$ bezeichnet $$ \exp(x) = e^x $$

Getaktete Verzinsung wie auf der Bank gibt es in der Biologie selten. Daher wird dort mit kontinuierlicher Verzinsung, also der Exponentialfunktion gerechnet.

Graph der Exponentialfunktion¶

Die auf der nächsten Folie verwendete Technik besprechen wir später genauer.

In [6]:
import seaborn as sns
import numpy as np
In [7]:
x = np.linspace(0, 3)
In [8]:
ax = sns.lineplot(x=x, y=np.exp(x))
ax.grid(True)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("exp(x)");
No description has been provided for this image

Der Logarithmus¶

Natürlicher Logarithmus¶

  • Die Exponentialfunktion besitzt eine Umkehrfunktion, genannt natürlicher Logarithmus und geschrieben $\ln(y)$
  • In python heißt er log
  • es gelten

$$ \exp(\ln(y)) = y \quad\text{und}\quad \ln(\exp(x)) = x $$

  • der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert

Graph des Logarithmus¶

In [9]:
x = np.linspace(0.3, 3)
ax = sns.lineplot(x=x, y=np.log(x))
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("ln(x)")
ax.grid(True)
No description has been provided for this image

Rechenregeln für den Logarithmus¶

\begin{align*} e^{x+y} &= e^x \cdot e^y & \ln (a\cdot b) &= \ln(a) + \ln(b) \\ \left(e^{y}\right)^x &= e^{y \cdot x} & \ln(a^x) &= x \cdot \ln(a) \\ e^0 &= 1 & \ln(1) &= 0 \\ e^1 &= e & \ln(e) &= 1 \end{align*}

Logarithmen zu verschiedenen Basen¶

  • Der Logrithmus zur Basis 10, genannt Zehnerlogarithmus wird geschrieben als $\lg$
  • Auf Taschenrechner ist das allerdings anders
Basis Text python Taschenrechner
e $\ln$ log ln
10 $\lg$ log10 log

Die Umrechnungsformeln sind folgende

$$ \ln(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(e)} $$

$$ \lg(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} $$

Beispiele¶

um Ihren Taschenrechner auszuprobieren

In [10]:
np.log(100)
Out[10]:
np.float64(4.605170185988092)

Unfreundlich gegenüber Laien. Man kann die Darstellung aber umschalten

In [11]:
np.set_printoptions(legacy='1.21')
In [12]:
np.log(100)
Out[12]:
4.605170185988092
In [13]:
np.log10(100)
Out[13]:
2.0