Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2025/26

  1. Oktober 2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Wiederholung (interaktiv)¶

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Themen heute¶

  • Bearbeitung von Datensätzen
  • Histogramme und Balkendiagramme
  • Lageparameter
    • arithmetisches Mittel
    • Median
In [1]:
import numpy as np
np.set_printoptions(legacy='1.21')
import seaborn as sns
sns.set_theme()
sns.set_context('talk')
import pandas as pd

Bearbeitung von Datensätzen¶

In [2]:
df = sns.load_dataset('penguins')
df
Out[2]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
0 Adelie Torgersen 39.1 18.7 181.0 3750.0 Male
1 Adelie Torgersen 39.5 17.4 186.0 3800.0 Female
2 Adelie Torgersen 40.3 18.0 195.0 3250.0 Female
3 Adelie Torgersen NaN NaN NaN NaN NaN
4 Adelie Torgersen 36.7 19.3 193.0 3450.0 Female
... ... ... ... ... ... ... ...
339 Gentoo Biscoe NaN NaN NaN NaN NaN
340 Gentoo Biscoe 46.8 14.3 215.0 4850.0 Female
341 Gentoo Biscoe 50.4 15.7 222.0 5750.0 Male
342 Gentoo Biscoe 45.2 14.8 212.0 5200.0 Female
343 Gentoo Biscoe 49.9 16.1 213.0 5400.0 Male

344 rows × 7 columns

Daten eines beliebigen Pinguins¶

In [3]:
df.loc[150]
Out[3]:
species              Adelie
island                Dream
bill_length_mm         36.0
bill_depth_mm          17.1
flipper_length_mm     187.0
body_mass_g          3700.0
sex                  Female
Name: 150, dtype: object
  • Die Spalte ohne Überschrift ist der Index
  • In der Regel wird der Index von pandas automatisch angelegt
  • Zugriff auf Zeilen durch df.loc[n] wenn n die Nummer der Zeile im Index ist

Zugriff auf eine Spalte¶

In [4]:
df['body_mass_g']
Out[4]:
0      3750.0
1      3800.0
2      3250.0
3         NaN
4      3450.0
        ...  
339       NaN
340    4850.0
341    5750.0
342    5200.0
343    5400.0
Name: body_mass_g, Length: 344, dtype: float64

Alternativ

In [5]:
df.body_mass_g
Out[5]:
0      3750.0
1      3800.0
2      3250.0
3         NaN
4      3450.0
        ...  
339       NaN
340    4850.0
341    5750.0
342    5200.0
343    5400.0
Name: body_mass_g, Length: 344, dtype: float64

Das ist weniger Tipparbeit, klappt aber nur, wenn der Spaltenname keine Leerzeichen enthält

Welche Pinguinarten wurden angetroffen?¶

In [6]:
df.species.value_counts()
Out[6]:
species
Adelie       152
Gentoo       124
Chinstrap     68
Name: count, dtype: int64

Pinguine¶

Adelie Pinguin Zügelpinguin Eselspinguin
Adelie penguin Chinstrap penguin Gentoo penguin
Adeliepinguin Zügelpinguin Eselspinguin

Auswahl aus der Tabelle¶

Alle weiblichen Pnguine

In [7]:
dfw = df[df.sex=='Female']
dfw
Out[7]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
1 Adelie Torgersen 39.5 17.4 186.0 3800.0 Female
2 Adelie Torgersen 40.3 18.0 195.0 3250.0 Female
4 Adelie Torgersen 36.7 19.3 193.0 3450.0 Female
6 Adelie Torgersen 38.9 17.8 181.0 3625.0 Female
12 Adelie Torgersen 41.1 17.6 182.0 3200.0 Female
... ... ... ... ... ... ... ...
332 Gentoo Biscoe 43.5 15.2 213.0 4650.0 Female
334 Gentoo Biscoe 46.2 14.1 217.0 4375.0 Female
338 Gentoo Biscoe 47.2 13.7 214.0 4925.0 Female
340 Gentoo Biscoe 46.8 14.3 215.0 4850.0 Female
342 Gentoo Biscoe 45.2 14.8 212.0 5200.0 Female

165 rows × 7 columns

  • == Vergleich
  • nicht zu Verwechseln mit = Zuweisung an eine Variable
  • != ungleich
  • >, >= größer bzw. größer oder gleich
  • <, <= kleiner bzw. kleiner oder gleich

Alle Pinguine, die mehr als 5500g wiegen

In [8]:
df_schwer = df[df.body_mass_g > 5500]
df_schwer
Out[8]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
221 Gentoo Biscoe 50.0 16.3 230.0 5700.0 Male
223 Gentoo Biscoe 50.0 15.2 218.0 5700.0 Male
231 Gentoo Biscoe 49.0 16.1 216.0 5550.0 Male
233 Gentoo Biscoe 48.4 14.6 213.0 5850.0 Male
235 Gentoo Biscoe 49.3 15.7 217.0 5850.0 Male
237 Gentoo Biscoe 49.2 15.2 221.0 6300.0 Male
240 Gentoo Biscoe 50.2 14.3 218.0 5700.0 Male
247 Gentoo Biscoe 47.8 15.0 215.0 5650.0 Male
249 Gentoo Biscoe 50.0 15.3 220.0 5550.0 Male
253 Gentoo Biscoe 59.6 17.0 230.0 6050.0 Male
261 Gentoo Biscoe 49.6 16.0 225.0 5700.0 Male
264 Gentoo Biscoe 50.5 15.9 222.0 5550.0 Male
279 Gentoo Biscoe 50.4 15.3 224.0 5550.0 Male
283 Gentoo Biscoe 54.3 15.7 231.0 5650.0 Male
285 Gentoo Biscoe 49.8 16.8 230.0 5700.0 Male
287 Gentoo Biscoe 49.5 16.2 229.0 5800.0 Male
289 Gentoo Biscoe 50.7 15.0 223.0 5550.0 Male
295 Gentoo Biscoe 48.6 16.0 230.0 5800.0 Male
297 Gentoo Biscoe 51.1 16.3 220.0 6000.0 Male
299 Gentoo Biscoe 45.2 16.4 223.0 5950.0 Male
305 Gentoo Biscoe 50.8 17.3 228.0 5600.0 Male
309 Gentoo Biscoe 52.1 17.0 230.0 5550.0 Male
313 Gentoo Biscoe 49.5 16.1 224.0 5650.0 Male
321 Gentoo Biscoe 55.9 17.0 228.0 5600.0 Male
331 Gentoo Biscoe 49.8 15.9 229.0 5950.0 Male
335 Gentoo Biscoe 55.1 16.0 230.0 5850.0 Male
337 Gentoo Biscoe 48.8 16.2 222.0 6000.0 Male
341 Gentoo Biscoe 50.4 15.7 222.0 5750.0 Male
In [9]:
df_schwer.count()
Out[9]:
species              28
island               28
bill_length_mm       28
bill_depth_mm        28
flipper_length_mm    28
body_mass_g          28
sex                  28
dtype: int64

alle Pinguine, deren Schnabellänge nicht bestimmt werden konnte

In [10]:
df[df.bill_length_mm.isna()]
Out[10]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
3 Adelie Torgersen NaN NaN NaN NaN NaN
339 Gentoo Biscoe NaN NaN NaN NaN NaN

Alle weiblichen Pinguine von der Insel Dream mit Schnabellänge kleiner oder gleich 36mm

In [11]:
df[(df.island=='Dream') & (df.sex=='Female') & (df.bill_length_mm <= 36)]
Out[11]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
42 Adelie Dream 36.0 18.5 186.0 3100.0 Female
48 Adelie Dream 36.0 17.9 190.0 3450.0 Female
90 Adelie Dream 35.7 18.0 202.0 3550.0 Female
92 Adelie Dream 34.0 17.1 185.0 3400.0 Female
98 Adelie Dream 33.1 16.1 178.0 2900.0 Female
136 Adelie Dream 35.6 17.5 191.0 3175.0 Female
142 Adelie Dream 32.1 15.5 188.0 3050.0 Female
148 Adelie Dream 36.0 17.8 195.0 3450.0 Female
150 Adelie Dream 36.0 17.1 187.0 3700.0 Female
  • Die runden Klammern sind erforderlich
  • & und-Verknüpfung in Tabellen
  • | oder-Verknüpfung in Tabellen

Histogramme und Balkendiagramme¶

  • Balkendiagramm: Für jeden möglichen Wert ein Balken, der die Anzahl anzeigt

  • Histogramm: Wie Balkendiagramm, aber Werte werden vorher in Klassen zusammengefasst

    Bei Stichprobenumfang $n$: Anzahl der Klassen ungefähr $\sqrt n$

Histogramm¶

Beispiel Barsche¶

In [12]:
df = pd.read_csv("https://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2526/barsche.csv")
df
Out[12]:
Nr Art Länge
0 1 gestreift 10.7
1 2 gestreift 10.0
2 3 gestreift 9.8
3 4 gestreift 10.3
4 5 gestreift 10.3
... ... ... ...
115 116 blau 12.1
116 117 blau 12.5
117 118 blau 12.0
118 119 blau 12.1
119 120 blau 12.0

120 rows × 3 columns

In [13]:
sns.displot(df, x='Länge');
No description has been provided for this image

Die Anzahl der Fächer (bins) kann eingestellt werden

In [14]:
sns.displot(df, x='Länge', bins=20);
No description has been provided for this image

Alternativ können die Fächer auch explizit angegeben werden

In [15]:
sns.displot(df, x='Länge', bins = np.arange(9, 15));
No description has been provided for this image

Berücksichtigung der Art:

In [16]:
sns.displot(df, x='Länge', hue='Art', multiple='stack');
No description has been provided for this image

Die verschiedenen Arten sind also unterschiedlich groß

Balkendiagramm¶

Bei qualitativen Merkmalen spricht man von kategoriellen Daten. Zählt man die Vorkommen, erhält man ein Balkendiagramm.

In [17]:
sns.displot(df, x='Art');
No description has been provided for this image

Langweilig

zurück zu den Pinguinen¶

In [18]:
df = sns.load_dataset('penguins')
In [19]:
sns.displot(df, x='species');
No description has been provided for this image
In [20]:
sns.displot(df, col='island', x='species');
No description has been provided for this image
In [21]:
sns.displot(df, col='island', x='species', hue='sex', multiple="stack");
#sns.displot(df, col='island', x='species', hue='sex');
No description has been provided for this image

displot¶

displot(df, x, col, hue, binwidth)

  • df: DataFrame
  • x: Variable auf der x-Achse, deren Elemente gezählt werden sollen, quantitativ oder kategoriell
  • col: für jeden Wert dieser Variable wird ein Bild gezeichnet, kategoriell (optional) (Spalte ist engl. "column")
  • hue: Unterteilung der Zählung, durch Farben ausgedrückt, kategoriell (optional) (Farbtönung ist engl. "hue")
  • bins:
    • entweder Anzahl der Fächer
    • oder die Grenzen der Fächer als List

Die Angaben für x, col und hue beziehen sich auf Spaltennamen des DataFrame, sie werden in Anführungszeichen gesetzt

In [22]:
sns.displot(df, x='flipper_length_mm');
No description has been provided for this image

Die Verteilung ist bimodal, d. h. es gibt zwei Maxima.

Das könnte daran liegen, dass die beiden Geschlechter unterschiedliche Flügellängen haben. Wir betrachten nur die weiblichen Pinguine

Wir oben haben die Daten der weiblichen Pinguine im DataFrame dfw gespeichert

In [23]:
sns.histplot(dfw, x="flipper_length_mm");
No description has been provided for this image

Immer noch bimodal. Also ist das Geschlecht nicht der Grund. Vielleicht die verschiedenen Arten?

In [24]:
sns.displot(df, x="flipper_length_mm", col="species");
No description has been provided for this image

Verschiedene Arten haben unterschiedliche Flügellängen

Jetzt noch mit Berücksichtigung des Geschlechts

In [25]:
sns.displot(df, x="flipper_length_mm", col="species", hue='sex', binwidth=3, 
            multiple='stack');
No description has been provided for this image

Deskriptive Statistik¶

Lageparameter¶

Arithmetisches Mittel¶

Das arithmetische Mittel (engl. "mean") ist der Durchschnitt der Messwerte

Formel: Beim Stichprobenumfang $n$ seien $ x_1, x_2, x_3, \dots, x_n $ die Messwerte, dann ist das arithmetische Mittel gleich

$$ \overline x = \frac1n \left( x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n \right) $$

Man schreibt auch \begin{equation*} \overline x = \frac1n \sum_{j=1}^n x_j \end{equation*}

$\displaystyle \sum$ ist das Summenzeichen.

  • Unter dem Zeichen stehen zwei Informationen: Der Name der Zählvariablen (hier $j$) und der Startwert der Zählung (hier $1$).
  • Über dem Zeichen steht der Endpunkt der Zählung (hier der Stichprobenumfang $n$)
  • Rechts neben dem Zeichen steht, was aufzuzählen ist (hier $x_j$)

Beispiel¶

Bei fünf Mäusen sind die Gewichte 21.3g, 19.8g, 20.4g, 19.0g und 22.7g gemessen worden. Was ist der Mittelwert?

  • Die Summe beträgt 103.2g.
  • 103.2/5 = 20.64
  • Das arithmetische Mittel der Mausgewichte beträgt 20.64g

Das ist mit dem Taschenrechner kein Problem

Trotzdem noch mal mit pandas

In [26]:
maeuse = pd.DataFrame()  #  leerer DataFrame
In [27]:
maeuse['Gewicht'] = [21.3, 19.8, 20.4, 19.0, 22.7]
maeuse
Out[27]:
Gewicht
0 21.3
1 19.8
2 20.4
3 19.0
4 22.7
In [28]:
maeuse.mean()
Out[28]:
Gewicht    20.64
dtype: float64
In [29]:
df
Out[29]:
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g sex
0 Adelie Torgersen 39.1 18.7 181.0 3750.0 Male
1 Adelie Torgersen 39.5 17.4 186.0 3800.0 Female
2 Adelie Torgersen 40.3 18.0 195.0 3250.0 Female
3 Adelie Torgersen NaN NaN NaN NaN NaN
4 Adelie Torgersen 36.7 19.3 193.0 3450.0 Female
... ... ... ... ... ... ... ...
339 Gentoo Biscoe NaN NaN NaN NaN NaN
340 Gentoo Biscoe 46.8 14.3 215.0 4850.0 Female
341 Gentoo Biscoe 50.4 15.7 222.0 5750.0 Male
342 Gentoo Biscoe 45.2 14.8 212.0 5200.0 Female
343 Gentoo Biscoe 49.9 16.1 213.0 5400.0 Male

344 rows × 7 columns

In [30]:
df.body_mass_g.mean()
Out[30]:
4201.754385964912

Median¶

Der Median ist ein Wert mit der Eigenschaft, dass in der Menge der nach Größe geordneten Messwerte gleich viele Daten unterhalb und oberhalb des Medians liegen.

Beispiel: 7 Messwerte

10 | 5 | 4 | 9 | 10 | 1 | 5

Nach Größe anordnen

1 | 4 | 5 | 5 | 9 | 10 | 10

Der Median ist $x_{\text{med}} = 5$

Median für geraden Stichprobenumfang¶

  • Falls die Anzahl der Daten gerade ist, stehen in der Menge der nach Größe geordneten Messwerte zwei Zahlen in der Mitte.
  • Der Median ist dann das arithmetische Mittel der beiden Zahlen in der Mitte

10 | 5 | 4 | 9 | 10 | 1 | 5 | 8

Nach Größe anordnen

1 | 4 | 5 | 5 | 8 | 9 | 10 | 10

Der Median ist $x_{\text{med}} = 6.5$

In [31]:
maeuse.median()
Out[31]:
Gewicht    20.4
dtype: float64

Bei normalverteilten Daten liegen arithmetisches Mittel und Median nahe beieinander

Einkommensverteilung¶

  • Beim Einkommen ziehen die sehr gut verdienenden das arithmetische Mittel nach oben,
  • beeinflussen den Median aber kaum

Daten von finanz.de für 2024

  • Durchschnittsgehalt: 50.250€
  • Median des Gehalts: 43.750€

Robustheit¶

  • Ein Ausreißer ist ein Messwert, der weit von fast allen anderen Messwerten entfernt ist. Ausreißer können z.B. von Fehlern beim Experiment herrühren.
  • Eine statistische Größe ist robust, wenn sie unempfindlich gegen Ausreißer ist.
  • Das arithmetische Mittel ist nicht robust.
  • Der Median ist robust

Beispiel zur Robustheit¶

In [32]:
maeuse2 = pd.DataFrame()
maeuse2['Gewicht'] = [21.3, 19.8, 20.4, 19.0, 22.7, 287] 
maeuse2
Out[32]:
Gewicht
0 21.3
1 19.8
2 20.4
3 19.0
4 22.7
5 287.0

Dieselben Mäuse wie vorher plus eine Ratte

In [33]:
maeuse.mean()
Out[33]:
Gewicht    20.64
dtype: float64
In [34]:
maeuse2.mean()
Out[34]:
Gewicht    65.033333
dtype: float64
In [35]:
maeuse.median()
Out[35]:
Gewicht    20.4
dtype: float64
In [36]:
maeuse2.median()
Out[36]:
Gewicht    20.85
dtype: float64

Fotos:

  • Adelie Pinguin: https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Jerzystrzelecki
  • Zügelpinguin: https://www.flickr.com/people/9464116@N08
  • Eselspinguin: https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Stan_Shebs