Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2025/26

29. Oktober 2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Wiederholung (interaktiv)¶

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Themen heute¶

• Streuungsparameter
• Quartile
• Box-Whisker Plots
• Python und Pandas: Verwendung von Klammern

Streuungsparameter¶

Empirische Varianz und Stichprobenstreuung¶

• Beim Stichprobenumfang $n$ seien $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ die Messwerte, dann ist das empirische Varianz gleich \begin{equation*} s^2 = \frac{(x_1-\overline x)^2 + (x_2-\overline x)^2 + (x_3-\overline x)^2 + \dots + (x_n-\overline x)^2}{n-1} \end{equation*} Dabei ist $\overline x$ das arithmetische Mittel
• Die empirische Varianz wird mit $s^2$ bezeichnet.

• Die Zahl $s$ heißt empirische Standardabweichung oder Stichprobenstreuung
• Die Stichprobenstreuung ist also die Quadratwurzel der empirischen Varianz

Konkrete Rechnung¶

Bei fünf Proben wurden die folgenden Massen in [g] gewogen:

$$\displaystyle \sum_{j=1}^5 x_j = 7.3g$$ $$\overline x = \frac{7.3g}5 = 1.46g$$ $$\sum_{j=1}^5 (x_j-\overline x)^2 = 0.4920g^2$$ $$s^2 = \frac{0.4920g^2}4 = 0.1230g^2 \quad\text{und}\quad s = \sqrt{0.1230g^2} = 0.3507g$$

var empirische Varianz

std Stichprobenstreuung (engl. "sample standard deviation")

Stichprobenstreuung vs. Varianz¶

• Der Vorteil der Stichprobenstreuung gegenüber der Varianz ist, dass die Stichprobenstreuung richtig skaliert
• Das bedeutet folgendes: Wenn ich alle Daten mit 1000 multipliziere, dann
  • multipliziert sich das arithmetische Mittel mit 1000
  • multipliziert sich die Varianz mit 1000000
  • multipliziert sich die Stichprobenstreuung mit 1000
• Das bedeutet auch, dass die Stichprobenstreuung in derselben Einheit angegegeben wird wie die Daten

Formeln für die Varianz¶

• Die Definition ohne Pünktchen \begin{equation*} s^2 = \frac1{n-1} \sum_{j=1}^n \left(x_j - \overline x \right)^2 \end{equation*}
• Eine etwas einfachere Formel, deren Richtigkeit leicht nachgerechnet werden kann \begin{equation*} s^2 = \frac1{n-1} \biggr( \Bigr( \sum_{j=1}^n x_j^2 \Bigr) - n {\overline x}^2 \biggr) \end{equation*}

Warum $n - 1$ im Nenner?¶

• $n-1$ ist die Zahl Freiheitsgrade
• Das ist ein heuristisches Konzept:
  • erstmal hat man pro Stichprobe einen Freiheitsgrad
  • für jeden Wert, den man hilfsweise schätzen muss, wird ein Freiheitsgrad abgezogen
• zur Berechnung der Varianz muss das arithmetische Mittel bestimmt werden: also ein Freiheitgrad Abzug

• Das bedeutet, dass man, wenn man für viele Datensätze die Varianz mit dieser Methode feststellt, im Mittel näher an der wahren Varianz ist, als wenn man den Nenner $n$ benutzt
• Alle großen Software-Pakete machen das so

Software-Pakete:

• python mit pandas und scipy.stats
• R
• SPSS

Wenn gewünscht, kann man von Nenner $n-1$ zu Nenner $n$ umschalten

ddof = delta degrees of freedom; das ist die Zahl, die man vom Stichprobenumfang abzieht, um die Zahl der Freiheitsgrade zu bekommen

Achten Sie auf Ihren Taschenrechner!

Zusammenfassungen mit describe¶

• count: Anzahl
• mean: arithmetisches Mittel
• std: Stichprobenstreuung
• min: kleinster Wert
• 50%: Median
• 25%, 75%: Quartile (s.u.)
• max: größter Wert

Funktioniert auch für DataFrames

• Spalten, die kategorielle Daten enthalten, werden ausgelassen
• bei count sind die NaN nicht mitgezählt

Quartile¶

• Das Quartil $Q_1$ ist als derjenige Wert definiert, unter dem 25% und über dem 75% der Messwerte liegen
• Das Quartil $Q_3$ ist als derjenige Wert definiert, über dem 25% und unter dem 75% der Messwerte liegen
• Das Quartil $Q_2$ ist der Median

• Bei den Schnabellängen: $Q_1 = 39.225$ und $Q_3 = 48.5$

Beispielgrafik¶

die vier Viertel sind unterschiedlich gefärbt

Zusammenhang zwischen Quartilen und Quantilen¶

• Allgemeiner ist für $q$ zwischen $0$ und $1$ das $q$-Quantil derjenige Wert, so dass der Anteil der Messwerte unterhalb dieses Wertes gleich $q$ und der Anteil oberhalb gleich $1-q$ ist
• Wenn $q$ in Prozent ausgedrückt wird, dann spricht man auch von Perzentilen

Beispiel

• Leute, die zu den reichsten 1% der Bevölkerung gehören, haben ein Einkommen oberhalb des 99%-Quantils

Interquartilabstand¶

• Der Interquartilabstand ist definiert als $$ \text{IQR} = Q_3 - Q_1 $$
• Der Interquartilabstand ist ein robustes Maß für die Streuung

Berechnung des Interquartilabstands

Box-Whisker-Plots¶

Ein Boxplot, auch Box-Whisker-Plot genannt, zeigt von unten nach oben

• untere Einzelpunkte
• unterster Datenpunkt, der kein Einzelpunkt ist
• $Q_1$
• Median
• $Q_3$
• oberster Datenpunkt, der kein Einzelpunkt ist
• obere Einzelpunkte

Einzelpunkte sind solche, die weiter als 1.5 Interquartilabstände von $Q_1$ bzw. $Q_3$ weg sind

Manchmal werden die Einzelpunkte als "Ausreißer" bezeichnet. Das kann man aber nicht so einfach gleichsetzen.

Das ist wirklich ein Ausreißer (engl. "outlier")