Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2025/26

4. November 2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Wiederholung (interaktiv)¶

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• 670719

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Hausaufgabe¶

• Würfeln Sie zweimal mit jeweils zwei Würfeln. In der morgigen interaktiven Aktion frage ich diese beiden Datenpaare per pingo ab.
• Am 11.11. und gegen Ende des Semesters wird dieser Datensatz ausgewertet.

Themen heute¶

• runde und eckige Klammern
• Modelle und Wahrscheinlichkeiten
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Laplace-Verteilung
• Diversitätsindex
• Binomialkoeffizienten

Erläuterungen zu Python und Pandas¶

Klammern¶

eckige Klammern¶

für die Auswahl eines Elements aus einer Sammlung:

Einige Beispiele

Runde Klammern¶

Funktionsausrufe¶

Ausführungsreihenfolge¶

Beispiel aus Lektion 5 mit beiden Sorten Klammern¶

• eckige Klammern: Auswahl von Zeilen mit den gesuchten Eigenschaften
• runde Klammern: erzwingen Vorrang des Vergleichsoperators == vor dem logischen Operator &

Wahrscheinlichkeitsheorie¶

Was ist eine Wahrscheinlichkeit?

• Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Modellannahme.

• Modellannahmen kommen her von
  • beobachteten relativen Häufigkeiten
  • abstrakten Überlegungen (z.B. faire Münze)
  • Konstruktion aus Teilsystemen (z.B. mehrfacher Münzwurf)

• Überprüfung des Modells am Experiment

Modelle¶

• Die Wissenschaft arbeitet mit Modellen

• Das Forschungsobjekt der Naturwissenschaften kann meist nicht vollständig verstanden werden, weil es
  • zu komplex ist (Organismus eines Säugetiers)
  • zu schlecht zu beobachten ist (Atomkern, Galaxie)
  • beides (Zellstoffwechsel)

• Also macht man sich ein Modell; zu den Modellannahmen gehören oft auch Wahrscheinlichkeiten

• Die wissenschaftliche Methode besteht darin, dass man Vorhersagen aus dem Modell ableitet und diese im Experiment überprüft (Falsifizierbarkeit)

Elementarereignisse¶

• Welchen Objekten können Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden?
• Diese Objekte sind die Elementarereignisse
• Ein Elementarereignis ist ein Versuchsergebnis, das nicht aus kleineren Einheiten zusammengesetzt ist

• Beispiel: Beim Experiment "vierfacher Wurf einer fairen Münze" gibt es 16 Elementarereignisse ("a": Adler, "z": Zahl)

$$\begin{matrix} (a,a,a,a) & (a,a,a,z) & (a,a,z,a) & (a,a,z,z) \\ (a,z,a,a) & (a,z,a,z) & (a,z,z,a) & (a,z,z,z) \\ (z,a,a,a) & (z,a,a,z) & (z,a,z,a) & (z,a,z,z) \\ (z,z,a,a) & (z,z,a,z) & (z,z,z,a) & (z,z,z,z) \end{matrix}$$

• Die Aussage "Die Münze ist fair" bedeutet, dass jedes dieser Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit $1/16$ besitzt

Ereignisse¶

• Elementarereignisse werden zu Ereignissen zusammengefasst
• Das Ereignis "zweimal Adler, zweimal Zahl" setzt sich wie folgt aus Elementarereignissen zusammen $$ A = \{ (a,a,z,z), (a,z,a,z), (a,z,z,a), (z,a,a,z), (z,a,z,a), (z,z,a,a) \} $$

• Elementarereignisse werden häufig durch den griechischen Buchstaben $\omega$ bezeichnet
• Ereignisse durch große lateinische Buchstaben

• Spezielle Ereignisse:
  • Das sichere Ereignis besteht aus allen möglichen Elementarereignissen für das gegebene Experiment. Es wird mit $\Omega$ bezeichnet. $\Omega$ heißt auch Ereignisraum.
  • Das unmögliche Ereignis ist leer. Es wird mit $\emptyset$ bezeichnet.

Beispiele für Ereignisse¶

• Zweifacher Wurf eines Würfels: Der Ereignisraum ist \begin{align*} \Omega &= \begin{aligned}[t] \{ &(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), \\ &(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), \\ &(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), \\ &(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), \\ &(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), \\ &(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \} \end{aligned} \end{align*}

• Mit Pasch bezeichnet man das Ereignis $$ A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) \} $$

• Das Ereignis "eine 3 und eine 4" ist \begin{equation*} B = \{(3,4), (4,3) \} \end{equation*}

Konstruktionen¶

Aus einfachen Ereignissen werden komplexere aufgebaut.

• Durchschnitt
• Vereinigung
• Differenz
• Komplement
• Produkt

Durchschnitt zweier Ereignisse¶

Der Durchschnitt $A \cap B$ zweier Ereignisse $A$ und $B$ besteht aus allen Elementarereignissen, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören.

Vereinigung zweier Ereignisse¶

Die Vereinigung $A \cup B$ zweier Ereignisse $A$ und $B$ besteht aus allen Elementarereignissen, die zu mindestens einem der beiden Ereignisse gehören.

Differenz zweier Ereignisse¶

Die Differenz $A \setminus B$ zweier Ereignisse $A$ und $B$ besteht aus allen Elementarereignissen, die zu $A$, aber nicht zu $B$ gehören.

Komplement¶

Das Komplement $A^c$ eines Ereignisses $A$ besteht aus allen Elementarereignissen, die nicht zu $A$ gehören.

Mengensprechweise¶

Die Menge aller Elementarereignisse ist der Ereignisraum. Seine Teilmengen heißen (Zufalls)-Ereignisse. Die Mengenlehre dient uns als Sprechweise, Ereignisse kurz und zweifelsfrei zu beschreiben.

verbal	mathematisch
Ereignisse $A$ und $B$ treffen ein	$A \cap B$
Ereignis $A$ oder Ereignis $B$ trifft ein	$A \cup B$
Ereignis $A$ trifft nicht ein	$A^c$
Ereignis $A$ trifft ein, Ereignis $B$ aber nicht	$A \setminus B$
unmögliches Ereignis	$\emptyset$
sicheres Ereignis (= Ereignisraum)	$\Omega$
Elementarereignis $\omega$ gehört zu $A$	$\omega \in A$
Elementarereignis $\omega$ gehört nicht zu $A$	$\omega \notin A$
alle Elementarereignisse von $A$ gehören zu $B$	$A \subseteq B$

Beispiele für Mengensprech¶

• $\Omega = \text{"Wurf eines Würfels"} = \{1,2,3,4,5,6\}$
• $A = \text{"ungerade Zahl gewürfelt"} = \{1, 3, 5\}$
• $B = \text{"Zahl kleiner $4$ gewürfelt"} = \{1, 2, 3\}$

• $A \cap B = \{ 1, 3 \}$

• $A \cup B = \{ 1, 2, 3, 5 \}$

• $A^c = \{ 2, 4, 6 \}$

• $A \setminus B = \{ 5 \}$

• $A \cup B = \Omega \setminus \{ 4, 6 \}$

Produkt¶

• Gegeben zwei Ereignisräume $\Omega_1$ und $\Omega_2$ und in jedem ein Ereignis \begin{equation*} A \subseteq \Omega_1 \qquad B \subseteq \Omega_2 \end{equation*}
• Das Produktereignis $A \times B$ besteht aus allen Paaren $(a,b)$ mit $a \in A$ und $b \in B$

• Mathematisch \begin{equation*} A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A,\, b \in B \} \end{equation*}
• Es ist ein Ereignis im Ereignisraum $\Omega_1 \times \Omega_2$
• Der Begriff des Produkts erlaubt die Modellierung von Messwiederholungen.

Ein Produkt mit 12 Elementen¶

$\color{blue} A = \{a_1, a_2, a_3\}$

$\color{green} B = \{b_1, b_2, b_3, b_4\}$

$$ \begin{array}{c|cccc} & \color{green} b_1 & \color{green} b_2 & \color{green} b_3 & \color{green} b_4 \\\hline \color{blue} a_1 & (\color{blue} a_1, \color{green} b_1) & (\color{blue} a_1, \color{green} b_2) & (\color{blue} a_1, \color{green} b_3) & (\color{blue} a_1, \color{green} b_4) \\ \color{blue} a_2 & (\color{blue} a_2, \color{green} b_1) & (\color{blue} a_2, \color{green} b_2) & (\color{blue} a_2, \color{green} b_3) & (\color{blue} a_2, \color{green} b_4) \\ \color{blue} a_3 & (\color{blue} a_3, \color{green} b_1) & (\color{blue} a_3, \color{green} b_2) & (\color{blue} a_3, \color{green} b_3) & (\color{blue} a_3, \color{green} b_4) \end{array} $$

Beispiel für Produktereignis¶

Zweifacher Wurf eines Würfels \begin{align*} \Omega &= \{ 1,2,3,4,5,6\}^2 \\ &= \begin{aligned}[t] \{ &(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), \\ &(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), \\ &(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), \\ &(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), \\ &(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), \\ &(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \} \end{aligned} \end{align*}

Wahrscheinlichkeitsverteilungen¶

Konsistenzregeln¶

Für jedes Ereignis $A$ gebe es eine Zahl $P(A)$ mit

• (P1) $P(A) \ge0$ für alle $A$
• (P2) $P(\Omega) = 1$
• (P3) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, falls $A$ und $B$ disjunkte Ereignisse sind, also keine gemeinsamen Elementarereignisse enthalten

Dann ist $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega$, und $(\Omega, P)$ ist ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell eines Zufallsexperiments

Rechenregeln¶

• $P(\emptyset) = 0$
• $P(A^c) = 1 - P(A)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, wenn $A \cap B = \emptyset$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
• wenn $A \subseteq B$, dann $P(A) \le P(B)$

Laplace-Verteilung¶

Wenn $\Omega$ endlich ist, dann wird die Laplace-Verteilung auf $\Omega$ definiert durch $$ P(A) = \frac{\# A}{\#\Omega} $$ also als die Anzahl der Elementarereignisse in $A$ geteilt durch die Anzahl aller Elementarereignisse.

Beispiele¶

Wahrscheinlichkeit eines Paschs¶

• $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^2 $, also $\# \Omega = 36$

• $A = \{(1,1), (2,2), \dots, (6,6) \}$, also $\# A = 6$

• $P(A) = \frac6{36} = \frac16 = 0.1667$

Wahrscheinlichkeit der Augensumme 10 beim Wurf zweier Würfel¶

• $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^2 $, also $\# \Omega = 36$

• $A = \{(4,6), (5,5), (6,4)\} $, also $\# A = 3$

• $P(A) = \frac3{36} = \frac1{12} = 0.08333$

Diversitätsindex nach Simpson¶

Diversitätsindex¶

Beispiel: Wir haben zwei Bienenpopulationen aus je 1000 Individuen

• Population 1 umfasst 900 Honigbienen, 80 rote Mauerbienen und 20 Löcherbienen
• Population 2 umfasst 600 rote und 400 gehörnte Mauerbienen

Welche von beiden Artengemeinschaften hat die größere Artenvielfalt?

• Der Diversitätsindex nach Simpson ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei aus einer Artengemeinschaft zufällig ausgewählte Individuen derselben Art angehören.

• Je kleiner er ist, umso größer ist die Diversität.

• Es gibt auch noch andere Definitionen des Diversitätsindex. Wir verwenden immer die von Simpson.

Beispiel Population 1¶

Es gibt

Paare von Bienen

Es gibt

Paare von Honigbienen

Es gibt

Paare von Mauerbienen

Es gibt

Paare von Löcherbienen

Das bedeutet, dass es

Paare gibt, bei denen beide Bienen der selben Art angehören

• $\Omega$ ist die Menge aller Paare von Biene

• Wir haben gesehen, dass $\# \Omega = 999000$

• $A$ ist die Menge aller Paare, bei denen beide Bienen derselben Art angehören

• Wir haben gesehen, dass $\# A = 815800$

• Also ist der Diversitätsindex gleich

Jetzt dasselbe für die andere Population¶

Auch diese Population besteht aus 1000 Bienen, daher wie oben $\# \Omega = 999000$

Es gibt

Paare von roten Mauerbienen

und

Paare von gehörnten Mauerbienen

Wenn wieder $A$ die Menge aller Paare von Bienen ist, die beide derselben Art angehören, dann ist $\# A$ gleich

Der Diversitätsindex beträgt

Nach Simpson ist die zweite Artengemeinschaft diverser als die erste.

Binomialkoeffizienten¶

Fakultät¶

• In der Lottotrommel sind 49 Kugeln. Alle Kugeln werden gezogen, die Reihenfolge wird notiert. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
• Es gibt 49 Möglichkeiten für die erste Kugel, 48 für die zweite, 47 für die dritte, \dots, 2 für die 48-te (also die vorletzte), und 1 für die letzte
• Anzahl der Möglichkeiten: $$ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 $$
• Diese Zahl schreibt man $49!$
• Sprich "49 Fakultät"

• Die Zahl $$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 $$ bezeichnet man als Fakultät von $n$
• Sie gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, $n$ verschiedene Objekte anzuordnen
• Jede solche Anordnung bezeichnet man als Permutation
• Beispiele $$ 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 70! = 1.198 \cdot 10^{100} $$
• Außerdem definiert man $0! = 1$

• scipy: Bibliothek für wissenschaftliches Rechnen
• gliedert sich in Teilbibliotheken
  • eine davon ist special mit speziellen Funktionen
  • eine andere ist stats mit statistischen Funktionen

Ziehen ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge¶

• Aus der Lottotrommel werden 6 Kugeln gezogen
• Anzahl der Möglichkeiten unter Beachtung der Reihenfolge \begin{equation*} 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10 068 347 520 \end{equation*}
• Taschenrechner Taste nPr

Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge¶

• Aus der Lottotrommel werden 6 Kugeln gezogen
• Anzahl der Möglichkeiten ohne Beachtung der Reihenfolge $$ \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 983 816 $$
• Diese Zahl ist gleich $$ \frac{49!}{6! \cdot 43!} $$

• Sie heißt "49 über 6" und man schreibt sie $ \displaystyle \binom{49}6 $
• Taschenrechner: Taste nCr

Binomialkoeffizienten¶

• $n$ bezeichne die Gesamtzahl der Objekte, und $k$ bezeichne die Anzahl der Züge.
• $$ \binom nk = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+2) \cdot (n-k+1)} {k \cdot (k-1) \cdots 2 \cdot 1} $$ ist die Anzahl der möglichen Auswahlen von $k$ Objekten aus $n$-Objekten.
• Die Zahl $\binom nk$ heißt Binomialkoeffizient. Man sagt "$n$ über $k$".

weitere Beispiele für Binomialkoeffizienten¶

• Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Ecken eines Quadrats auszuwählen?

  Die Antwort ist $$ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 $$

• Möglichkeiten, 3 Elemente aus 10 auszuwählen $$ \binom{10}3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 $$

• Möglichkeiten, 7 Elemente aus 10 auszuwählen $$ \binom{10}7 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 $$

• Sieben Elemente auszuwählen heißt drei Elemente nicht auszuwählen

Rechenregeln für Binomialkoeffizienten¶

Für jedes $n$ und jedes $k \le n$ gelten

• $$ \binom n0 = 1 $$
• $$ \binom n1 = n $$
• $$ \binom nk = \binom n{n-k} $$