Mathematik für Biologiestudierende¶
Wintersemester 2025/26
- November 2025
© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Wiederholung (interaktiv)¶
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Themen heute¶
- Zufallsvariablen
- Binomialverteilung
import numpy as np
np.set_printoptions(legacy='1.21')
import seaborn as sns
sns.set_theme()
sns.set_context('talk')
import pandas as pd
Zufallsvariable¶
Diskrete Zufallsvariable¶
- Zufallsexperiment wird durchgeführt, dessen Ergebnis ein Wert ist
- Dieser Wert wird durch eine Zufallsvariable modelliert
- Zufallsvariablen heißen meist $X$, $Y$
- Mathematisch ausgedrückt: Eine Zufallsvariable ordnet jedem Elementarereignis $\omega$ eine Zahl $X(\omega)$ zu
- Beispiel 10-facher Wurf eines fairen Würfels: Die Anzahl der Sechsen definiert eine Zufallsvariable $X$
- Das Ziel ist es, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable anzugeben, ohne auf die Elementarereignisse zurückzugreifen
- Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn alle ihre Werte ganze Zahlen sind
- Andernfalls heißt sie kontinuierlich
Interpretation¶
| Wahrscheinlichkeitstheorie | Experiment |
|---|---|
| Zufallsvariable $X$ | Messvorrichtung |
| Ereignisraum $\Omega$ | Menge aller möglichen Versuchsabläufe |
| Elementarereignis $\omega$ | beobachteter Versuchsablauf |
| Wert $X(\omega)$ | beobachteter Messwert |
Beispiele für diskrete Zufallsvariable¶
- Augensumme beim Wurf zweier fairer Würfel
- Anzahl der $\alpha$-Teilchen, die in einem bestimmten Zeitraum auf einen Geiger-Müller Zähler treffen
- Alter eines einzelnen Versuchstiers in Wochen
- Anzahl der erkrankten Fische in einem Aquarium
- Anzahl der geheilten Fische bei einem Versuch
- Es ist durchaus nicht immer sofort klar, wie man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses modelliert
Beispiele für kontinuierliche Zufallsvariable¶
- Gewicht eines Versuchstiers
- Mittleres Gewicht einer Gruppe von Versuchstieren
- Mittleres Alter einer Gruppe von Versuchstieren
- Schadstoffgehalt im Blut eines Versuchstiers
Schreibweisen¶
$X$ eine Zufallsvariable auf $\Omega$. Wir schreiben zur Abkürzung (hierbei sind $a$ und $b$ irgendwelche Zahlen): \begin{align*} \{ X=a \} &= \{ \text{alle Elementarereignisse $ \omega $, für die $ X(\omega) = a $} \} \\ \{X \le a \} &= \{ \text{alle Elementarereignisse $ \omega $, für die $ X(\omega) \le a $} \} \\ \{ a < X \le b \} & = \{ \text{alle Elementarereignisse $ \omega $, für die $ a < X(\omega) \le b $} \} \end{align*}
Beispiel zur Schreibweise¶
- $X$ der Schadstoffgehalt im Blut eines Fisches, gemessen in ppm
- $P(X\ge3)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fisch mindestens 3 ppm Schadstoff im Blut hat
- Dreifacher Wurf einer fairen Münze, also $\Omega = \{ A, Z \}^3$
- $X$ bezeichne die Anzahl der Würfe mit "Adler". Dann kann $X$ die Zahlen 0,1,2 und 3 annehmen
- $\{ X = 2 \} = \{ (A,A,Z), (A,Z,A), (Z,A,A) \}$
- $P(X=2) = \displaystyle\frac38 = 0.375$
- Statt $P(X=2)$ schreibt man auch $P_X(2)$
- Dann ist $ P_X $ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den ganzen Zahlen mit den folgenden Werten $$ \begin{array}{c|cccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline \rule{0pt}{2.25ex} P_X(n) & \frac18 & \frac38 & \frac38 & \frac18 \end{array} $$
Binomialverteilung¶
Erfolgswahrscheinlichkeit¶
- $n$ unabhängige Wiederholungen eines ja/nein-Experiments
- das Ergebnis "ja" bezeichnet man als "Erfolg"
- die Wahrscheinlichkeit von "ja" sei $p$, genannt Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall
- Erfolg kann dabei alles mögliche sein
- Münze zeigt Kopf
- Saatkorn keimt
- Fisch erkrankt an einem Parasiten
Binomialkoeffizient¶
- $n$ bezeichne die Gesamtzahl der Objekte, und $k$ bezeichne die Anzahl der Züge.
- $$ \binom n k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+2) \cdot (n-k+1)} {k \cdot (k-1) \cdots 2 \cdot 1} $$ ist die Anzahl der möglichen Auswahlen von $k$ Objekten aus $n$-Objekten
- $\binom nk$ ist ein Binomialkoeffizient
- man sagt "$n$ über $k$"
Binomialverteilung¶
- $B_{n,p}(k)$ ist die Wahrscheinlichkeit von genau $k$ Erfolgen, wenn ein ja/nein-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ genau $n$-mal unabhängig wiederholt wird $$ B_{n,p}(k) = \binom nk \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$
- $B_{n,p}$ bezeichnet man als Binomialverteilung
- Die $B_{n,p}$ ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\{0,1,2,\dots,n\}$
Beispiel: fairer Würfel¶
- Erfolg: Wurf einer 6
- Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall: $p = \frac16$
- Misserfolg: Wurf 1,2,3,4,5
- Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall: $q = 1 - p = \frac56$
- Gesucht: Wahrscheinlichkeit von $A$ = {"genau 2 Erfolge bei 5 Würfen"}
- Antwort $\displaystyle B_{5,\,1/6}(2) = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \left( \frac16 \right)^2 \left( 1 - \frac16 \right)^3 = 10 \cdot \frac1{36} \cdot \frac{125}{216} = 0.1608 $
- Wie kommt das zustande?
Binomialverteilung: Beispiel¶
$e$: Erfolg, $m$: Misserfolg, $q = 1 - p$
$$\begin{array}{ccc} P(eemmm) & = \color{blue} p \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q & = \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(ememm) & = \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q & = \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(emmem) &= \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q &= \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(emmme) &= \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p &= \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(meemm) &= \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q &= \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(memem) &= \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q &= \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(memme) &= \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p &= \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(mmeem) &= \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q &= \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(mmeme) &= \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p &= \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \\ P(mmmee) &= \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{green} q \cdot \color{blue} p \cdot \color{blue} p &= \color{blue} p^2 \cdot \color{green} q^3 \end{array} $$
Wie viele Zeilen hat diese Tabelle?¶
- So viele, wie es Möglichkeiten gibt, die beiden Erfolge auf die fünf Würfe zu verteilen
- Es gibt genau $\binom52 = 10$ Möglichkeiten
- also $P(A) = 10 \cdot p^2 \cdot q^3$
from scipy import stats
P = stats.binom(5, 1/6)
P.pmf(2)
0.16075102880658423
pmfprobability mass distribution
special.binomBinomialkoeffizientstats.binomBinomialverteilung
Meeresschildkröten¶
- In einigen Gewässern Australiens finden sich in den Gelegen der Meeresschildkröten nur noch 1% männliche Eier.
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist in einem Gelege mit 50 Eiern genau ein männliches?
P = stats.binom(50, 0.01)
P.pmf(1)
0.3055586197664328
Genau zwei männliche?
P.pmf(2)
0.07561804226543027
Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich in einem Gelege mit 50 Eiern mindestens ein männliches?
- Das machen wir mit Übergang zur Komplementärwahrscheinlichkeit
- $A$ ist das gesuchte Ereignis
- $A^c$ ist dann das Ereignis, dass im Gelege überhaupt kein männliches Ei ist
- $P(A^c)$ ist gleich
P.pmf(0)
0.6050060671375365
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(A)$ ist daher
1 - P.pmf(0)
0.39499393286246354
anderer Blick auf dieselbe Frage¶
- von 100 Eiern sind 99 weiblich
- mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einem Gelege mit 50 Eiern genau 49 weibliche?
P = stats.binom(50, 0.99)
P.pmf(49)
0.30555861976643284