Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2025/26

25.11.2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Wiederholung (interaktiv)¶

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Themen heute¶

• zweiseitiger Binomialtest
• Versuchsplanung für Binomialtests
• erste Ableitung
• Hoch- und Tiefpunkte
• höhere Ableitung
• Beispiel für ein Modell

Ein- und zweiseitige Tests¶

• Ein ja/nein-Experiment mit unbekannter Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ wird $n$-mal wiederholt
• Ziel: Aussage über $p$ relativ zu einem Referenzwert $p_0$
• verschiedene Nullhypothesen sind denkbar
  • $H_0 : p \ge p_0$: einseitiger unterer Test
  • $H_0 : p \le p_0$: einseitiger oberer Test
  • $H_0 : p = p_0$: zweiseitiger Test
• Die Nullhypothese $H_0 \colon p \ne p_0$ macht keinen Sinn

Beispiel zu $p \ne p_0$¶

• Aussage "es gibt keine Studie, die zeigt, dass es keinen Zusammenhang zwischen Autismus und Impfungen gibt"

• hier wäre die Nullhypothese $p \ne p_0$ mit $ p_0 = 0 $

• eine solche Studie kann es nicht geben

• die Studie müsste z.B. sicherstellen, dass die Wahrscheinlichkeit, Autismus als Folge einer Impfung zu entwickeln, kleiner als $1 : 10\,000\,000\,000$ ist

• die dafür notwendige Stichprobengröße überschreitet die Gesamtzahl aller jemals geimpften Menschen

Zweiseitiger Binomialtest zum Niveau $\alpha$¶

• Gegeben sind unabhängige $B(1, p)$-verteilte Zufallsvariable $X_1, \dots, X_n$ mit unbekanntem $p$ sowie ein Signifikanzniveau $\alpha$
• Verglichen werden soll mit einem Referenzwert $p_0$
• Getestet wird die Nullhypothese $H_0 = \{p = p_0\}$ gegen die Alternative $H_1 = \{p \ne p_0\}$
• P ist die Binomialverteilung $B_{n,p_0}$

• Der untere kritische Wert $c_1$ ist so zu wählen, dass P.cdf(c1 - 1)$\le\frac\alpha2$ und P.cdf(c1)$>\frac\alpha2$

• Der obere kritische Wert $c_2$ ist so zu wählen, dass P.cdf(c2 - 1)$<1-\frac\alpha2$ und P.cdf(c2)$\ge1-\frac\alpha2$

Entscheidungsregel¶

• Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Erfolge echt kleiner als $c_1$ oder echt größer als $c_2$ ist
• Andernfalls wir die Nullhypothese beibehalten

Der zweiseitige Binomialtest besteht also aus einem unteren und einem oberen einseitigen Binomialtest, die aber beide zum halben Signifikanzniveau durchgeführt werden

Zweiseitiger Binomialtest, Beispiel¶

• Bei 250 Würfen eines Würfels fiel 55 mal eine Sechs. Kann man zu 95% sicher sein, dass der Würfel gezinkt ist?
• Sei $p$ die unbekannte Wahrscheinlichkeit des Würfels für eine Sechs
• Zweiseitiger Binomialtest mit
  • Nullhypothese: $H_0 = \left\{ p = \frac16 \right\}$
  • Alternative: $H_1 = \left\{ p \ne \frac16 \right\}$
  • Signifikanzniveau ist $\alpha = 0.05$

Punktrechnung vor Strichrechnung

Achtung: keine Seite der HHU: https://www.spiegel.de/spiegel/print/index-2023.html

Beispiel, Fortsetzung¶

• $c_1 = 30$ und $c_2 = 54$
• Die Nullhypothese kann zum Niveau $\alpha = 0.05$ abgelehnt werden, wenn höchstens 29 oder mindestens 55 Sechsen fallen
• Bei 55 Sechsen kann die Nullhypothese also abgelehnt werden
• Wir können mit 95% Sicherheit sagen, dass der Würfel gezinkt ist

Orange Balken zeigen Fehlentscheidungen

p-Wert des zweiseitigen Tests¶

Power des zweiseitigen Tests¶

• Wir wollen erkennen können, wenn der Würfel so stark gezinkt ist, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs 20% beträgt. Was ist dann die Power des Tests?

• Die Wahrscheinlichkeit der richtigen Entscheidung ist $$ \sum_{k=0}^{29} B_{250,\,0.2}(k) + \sum_{k=55}^{250} B_{250,\,0.2}(k) $$

Versuchsplanung¶

Zurück zum Beispiel "Mutationen"¶

• In einer Population weist normalerweise jedes 250te Individuum eine gewisse Mutation auf.
• Bei einer Untersuchung von 2000 Individuen werden nun aber sogar 12 Träger der Mutation gefunden,
• $2000/250=8$, man hätte also 8 Träger von Mutationen erwartet

• Im Beispiel "Mutation" hatten wir für n=2000 eine Power von 32% erzielt, wenn die wahre Mutationsrate den Wert 0.006 hat
• Welche Power hätten wir für n=10000?

Der kritische Wert ist also $c=51$

• beim Stichprobenumfang n=10000 ist 0.8657 die Wahrscheinlichkeit für die richtige Entscheidung, also die Power

Frage: Bei welchem Stichprobenumfang bekommen wir eine Power von 90%¶

• Bereits gesehen: n=10000 ist zu wenig
• Dasselbe mit n=20000:

Mehr als nötig

• n=12000 reicht aus
• Genaue Wert sind hier nicht nötig, weil der Wert p=0.006 auch nur geschätzt ist
• Deswegen genügt es in der Praxis meistens, mit copy und paste ein halbes Dutzend Szenarien zu rechnen

Geht natürlich auch automatisch

Wir schauen noch einmal feiner in den interessanten Abschnitt

• Wir benötigen n=10600

• An den Stellen, wo die Kurve nach unten springt, ändert sich der kritische Wert

Differentialrechnung¶

Differentialrechnung kommt in der Biologie vor

• Bestimmung von Maxima und Minima: mehrdimensionale Kurvendiskussion
  • in der Statistik
    • Maximum-Likelihood Schätzer
    • z.B. in der Statistik linearer Modelle (Thema nach Weihnachten, passiert aber "unter der Haube")
• Bei der Modellierung von Prozessen: Dynamische Systeme
• Integrale: die Verteilungsfunktionen von kontinuierlichen Zufallsvariablen sind Integrale

Ableitung als Tangentensteigung¶

Die Ableitung einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$ gibt die Steigung der Tangente in $x$ an

Die Tangentensteigung wird durch Sekantensteigungen approximiert

$$ f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}h $$

Ableitungen wichtiger Funktionen¶

$$ \begin{align*} f(x) &= C & f'(x) &= 0 & \text{Konstante} \\[2ex] f(x) &= x^n & f'(x) &= n \cdot x^{n-1} \\[2ex] f(x) &= \frac1x & f'(x) &= -\frac1{x^2} \\[2ex] f(x) &= \exp(x) & f'(x) &= \exp(x) \\[2ex] f(x) &= \ln(x) & f'(x) &= \frac1x \end{align*} $$

• Die Funktion $C \cdot \exp(x)$ sind die einzigen Funktionen, die gleich ihrer eigenen Ableitung sind
• Das erklärt die Bedeutung der Exponentialfunktion in der Mathematik

Produktregel¶

$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) $$ Dann $$ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$

Beispiel $$ f(x) = x^3 \cdot \exp(x) $$

$$ \begin{align*} g(x) &= x^3 & h(x) &= \exp(x) \\ g'(x) & = 3x^2 & h'(x) &= \exp(x) \end{align*} $$

$$ f'(x) = 3 x^2 \cdot \exp(x) + x^3 \cdot \exp(x) $$

Kettenregel¶

$$ f(x) = g(h(x)) $$ Dann $$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Beispiel:

$$ f(x) = e^{5x} $$

\begin{align*} g(x) &= \exp(x) & h(x) &= 5x \\ g'(x) &= \exp(x) & h'(x) &= 5 \end{align*}

$$ f'(x) = 5\exp(5x) $$

Noch ein Beispiel:

$$ f(x) = 2^x $$

\begin{align*} g(x) &= \exp(x) & h(x) &= \ln(2) \cdot x \\ g'(x) &= \exp(x) & h'(x) &= \ln(2) \end{align*}

$$ f'(x) = \ln(2) \cdot \exp(\ln(2) \cdot x) = \ln(2) \cdot 2^x $$

Ableitungsregeln¶

Hierbei ist $C$ eine Konstante

Beispiel¶

$f(x) = x^2 \cdot \exp(-x)$

\begin{align*} f'(x) &= \left(x^2\right)' \cdot \exp(-x) + x^2 \cdot \left( \exp(-x) \right)' & & \text{Produktregel} \\ &= 2x \cdot \exp(-x) + x^2 \cdot(-1) \cdot \exp(-x) & & \text{Kettenregel} \\ &= \left( 2x - x^2 \right) \cdot \exp(-x) & & \text{Distributivgesetz} \end{align*}

Qualitatives Verhalten¶

• wenn $f'(x)>0$, dann wächst die Funktion
• wenn $f'(x)<0$, dann fällt sie

Beispiel: Inflation¶

• die Inflationsrate ist die Ableitung des Preises nach der Zeit

• seit unvordenklichen Zeiten ist die Inflationsrate positiv: Preise steigen
• in 2022 stieg auch die Inflationsrate: Preise steigen noch schlimmer
• in 2024 ist die Inflationsrate gefallen (2.5% Inflation statt 10%): Preise steigen
• aber nicht mehr ganz so schlimm

Qualitatives Verhalten¶

• wenn $f'(x)>0$, dann wächst die Funktion
• wenn $f'(x)<0$, dann fällt sie

Das bedeutet: Für einen Hoch- oder Tiefpunkt $x_0$ von $f$ gilt $f'(x_0)=0$.

Höhere Ableitungen¶

• Die Ableitung der Ableitung nennt man zweite Ableitung und schreibt $f''(x)$ dafür
• Zweite Ableitungen treten in der Physik (als Beschleunigung) und überhaupt bei dynamischen Systemen auf
• "Die Inflation hat sich abgeschwächt" bedeutet: "Die zweite Ableitung der Konsumentenpreise ist negativ"

Beispiel¶

$$ f(x) = x^2 \cdot \exp(-x) $$

$$ f'(x) = \left( 2x - x^2 \right) \cdot \exp(-x) $$

\begin{align*} f''(x) &= \left( 2 - 2x \right) \cdot \exp(-x) + \left( 2x - x^2 \right) (-1) \exp(-x) && \text{Produktregel} \\ &= \left( 2 - 4x + x^2 \right) \cdot \exp(-x) \end{align*}

Wir zeichnen $f''$ in das zuvor erzeugte Bild hinein

Beispiel: Konzentrationen in einer Zelle¶

• Die Konzentration eines bestimmten Proteins in einer Zelle zum Anfangszeitpunkt $t=0$ beträgt $0\frac{\mu g}{m\ell}$
• Zuerst steigt sie schnell mit $0.8\frac{\mu g}{m\ell\cdot s}$
• Nach 2 Sekunden steigt die Konzentration nicht mehr, das Protein wird von da an exponentiell abgebaut

Modell¶

$$ f(t) = A \cdot t \cdot \exp(-b\cdot t) $$

\begin{align*} f'(t) &= A \cdot \exp(-b \cdot t) + A \cdot t \cdot(-b) \cdot \exp(-b \cdot t) \\ &= (A - Abt) \cdot \exp(-b \cdot t) \end{align*}

Wir haben zwei Gleichungen

• f'(0) = 0.8
• f'(2) = 0

Einsetzen

• $f'(0) = A$, also $A=0.8$

• $f'(2) = 0$, also $ (A - 2Ab) \cdot \exp(-2b) = 0 $

• $\exp(-2b)$ ist nicht Null, also muss $ A - 2Ab = 0$ gelten, d.h. $b=0.5$

Unser Modell ist also

$$ f(t) = 0.8t \cdot \exp(-0.5t) $$

• Maximum bei $t=2$, das ist eine der Ausgangsgleichungen
• Wert dort