Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2025/26

26.11.2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Wiederholung (interaktiv)¶

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Themen heute¶

• Integrale als Flächeninhalt
• Stammfunktionen
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integralrechnung¶

Flächeninhalt¶

• $f(x)$ eine Funktion, die keine negativen Werte annimmt
• $a$ und $b$ Intervallgrenzen
• den Inhalt der Fläche unter $f(x)$ zwischen $a$ und $b$ bezeichnet man mit $$ \int_a^b f(x) dx $$
• $ \int_a^b f(x) dx $ ist das Integral von $f(x)$ in den Grenzen von $a$ bis $b$

Skizze¶

• Funktion $f(x)$ darf nun auch negative Werte annehmen
• Dann ist $$ \int_a^b f(x) dx $$ die Differenz zwischen dem Flächeninhalt oberhalb und dem Flächeninhalt unterhalb der $x$-Achse
• $\int_a^b f(x) dx$ ist also negativ, wenn die Fläche unterhalb der $x$-Achse größer ist als die Fläche oberhalb ist
• Das Zeichen $\int_a^b$ ist das "bestimmte Integral"

Skizze¶

Der Inhalt der grünen Fläche abzüglich des Inhalts der roten Fläche ist $\int_a^b f(x) dx$

Stammfunktion¶

Falls $$ F'(x) = f(x) $$

• dann ist $f$ die Ableitung von $F$
• und $F$ ist eine Stammfunktion von $f$

• Man schreibt $$ \int f(x) dx = F(x) $$
• Das Zeichen $ \int $ ist das "unbestimmte Integral"

• Stammfunktionen sind nicht eindeutig
• Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann ist auch $F(x) + C$ eine Stammfunktion von $f(x)$, wenn $C$ eine Konstante ist
• Das liegt daran, dass $C' = 0$

Beispiel¶

• $\frac{x^2}2$ ist eine Stammfunktion von $x$, denn $(x^2)' = 2x$
• Wir schreiben $$ \int x\, dx = \frac{x^2}2 $$
• In Lehrbüchern findet man auch die Schreibweise $$ \int x\, dx = \frac{x^2}2 + C $$ um anzudeuten, dass die Stammfunktion nicht eindeutig ist

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung¶

Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$

Man schreibt $$ \int_a^b f(x) = F(x) \Bigr|_a^b $$

Beispiel $$ \int_0^5 x\, dx = \frac12 x^2 \Bigr|_0^5 = \frac12 5^2 - \frac12 0^2 = \frac{25}2 = 12.5 $$

Skizze¶

Das Dreieck füllt das Quadrat mit der Seitenlänge 5 zur Hälfte aus. Sein Flächeninhalt ist also tatsächlich gleich 12.5

Eigenschaften des Integrals¶

• Wenn $a<b<c$, dann $$ \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx $$

• Speziell $$ \int_a^a f(x) dx = 0 $$

• Viele wichtige Integrale lassen sich nicht geschlossen ausdrücken
• "geschlossen" bedeutet, dass das Integral in Termen von bereits bekannten Funktionen geschrieben wird
• Ein Beispiel für ein Integral, das nicht geschlossen ausgedrückt werden kann, ist $ \displaystyle \int e^{-x^2} dx $

• Das ist aber leider das wichtigste Integral der Statistik
• Wir sind also auf Tabellen und Computer angewiesen

Kontinuierliche Zufallsvariablen¶

Beispiele für Größen, die als kontinuierliche Zufallsvariable modelliert werden

• Längen, Massen, Volumina (Bsp: Gewichtszunahme eines Versuchstiers)
• Konzentrationen (Bsp: Vitamingehalt einer Frucht)

• Größen, die eigentlich diskret sind, bei denen die Anzahlen aber sehr hoch sind (Bsp: Keimerfolge)

Eine Zufallsvariable $X$ heißt kontinuierlich mit Dichte $f$, wenn $$ P(a \le X < b) = \int_a^b f(x) dx $$

Man bezeichnet

• $f$ als Dichte und
• $F(x) = \int_{-\infty}^x f(x) dx$ als Verteilungsfunktion von $X$

• Wenn $f$ die Dichte und $F$ die Verteilungsfunktion ist, dann ist $F$ eine Stammfunktion der Dichte
• also $$ P(a\le X<b) = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$

Wegen $ \int_a^a f(x) dx = 0 $ gilt dann auch $$ P(a\le X \le b) = P(a<X<b) = P(a<X\le b) = F(b) - F(a) $$

Konsistenzbedingung für die Dichte¶

Wenn $f$ die Dichte einer Zufallsvariablen sein kann, müssen Bedingungen erfüllt sein

$$ f(x) \ge 0 \text{ für alle $x$} $$ $$ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 $$

Standard-Normalverteilung¶

• Die Dichte der Standardnormalverteilung ist die Gaußsche Glockenkurve $$ \varphi(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \exp\!\left( -\frac{x^2}2 \right) $$
• Die Verteilungsfunktion ist $$ \Phi(u) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^u \exp\!\left( -\frac{x^2}2 \right) dx $$
• Eine explizitere Formel gibt es nicht

In scipy.stats wird die Standard-Normalverteilung als stats.norm() aufgerufen

• P.cdf(u) ist $\Phi(u)$ wie oben
• Wenn die Zufallsvariable $X$ standard-normalverteilt ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit von $\{ X < u \}$ gleich P.cdf(u) für dieses P

nice to know, aber nicht prüfungsentscheidend:

• $ schaltet um in LaTeX-Modus
• \Phi griechischer Buchstabe als LaTeX-Befehl
• in Python ist \ das Fluchtsymbol und muss selber durch das Fluchtsymbol geschützt werden

Eigenschaften der Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung¶

• $\Phi(x) > 0$ für alle $x$
• $\lim_{x\to-\infty} \Phi(x) = 0$
• $\lim_{x\to\infty} \Phi(x) = 1$
• $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ für alle $x$ (Symmetrie an $x=0$)

Beispiel¶

• Die mittlere Halmlänge eines bestimmten Grases beträgt 10cm
• Die Zufallsvariable $X$ misst den Unterschied eines einzelnen Grashalms zur mittleren Halmlänge
• Unser Modell sagt, dass $X$ standard-normalverteilt ist
• Das bedeutet: Die Halmlänge in cm wird modelliert als $10+X$

Welcher Anteil der Halme ist kürzer als 11cm?

Halmlänge < 11cm bedeutet $X<1$, also ist die gesuchte Wahrscheinlichkiet gleich

Welcher Anteil der Halme ist länger als 8cm?

Halmlänge ≥ 8cm bedeutet $X \ge -2$, also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich

Welcher Anteil der Halme hat eine Länge zwischen 8cm und 11cm?