Mathematik für Biologiestudierende¶
Wintersemester 2025/26
09.12.2025
© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Wiederholung (interaktiv)¶
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Themen heute¶
- t-Tests allgemein
- t-Test für verbundene Stichproben
- Gestapeltes und ungestapeltes Tabellenformat
- t-Test für unverbundene Stichproben
In [1]:
import numpy as np
np.set_printoptions(legacy='1.21')
import seaborn as sns
sns.set_theme()
sns.set_context('talk')
import pandas as pd
from scipy import stats
t-Test für Erwartungswerte¶
Verbundene und unverbundene Stichproben¶
Zwei Versuchsreihen liefern Messergebnisse. Der Test soll entscheiden, ob sich diese Ergebnisse signifikant unterscheiden.
Unverbundene Stichproben: Die Messerergebnisse werden an verschiedenen Populationen gewonnen.
Beispiel: 9 Maisfelder werden mit einem Bodenbakterium behandelt, 10 weitere bleiben unbehandelt. Bei allen wird der Befall mit Maiszünsler bestimmt.
Verbundene Stichproben: Beide Messungen werden an derselben Population durchgeführt.
Beispiel: Bei 10 Patienten mit Bluthochdruck wird der Blutdruck vor und nach einer Therapie bestimmt.
- verbundene Daten werden auch als messwiederholte Daten bezeichnet (engl. "repeated measure")
Teststatistik für verbundene Stichproben¶
- Ein Versuch wird $n$-mal durchgeführt
- Ein Parameter wird geändert
- Der Versuch wird mit dem geänderten Parameter mit demselben Kollektiv wiederholt
- Die Messergebnisse werden verglichen
t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben¶
- Gegeben sind Zufallsvariable $X_1, \dots, X_n$ und $Y_1, \dots, Y_n$
- Verteilungsvoraussetzungen:
- Alle $X_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_1$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
- Alle $Y_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_2$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
- Die beiden Varianzen müssen also gleich sein
- Ziel: $\mu_1$ und $\mu_2$ sollen verglichen werden
- $x_j$ und $ y_j$ seien Realisierungen (d.h. die Daten)
- $z_j = x_j - y_j$ seien die Differenzen
- Bestimme arithmetischen Mittelwert $$ \overline z = \frac1n \sum_{j=1}^n z_j $$
- und Stichprobenstreuung $$ s = \sqrt{ \frac1{n-1} \sum_{j=1}^n (z_j - \overline z)^2 } $$
Teststastik¶
- Die Teststatistik ist $$ t = \frac{\overline z}s \cdot \sqrt{n} $$
- Die Teststatistik wird mit einem Quantil der $t$-Verteilung verglichen
Die t-Verteilung¶
- Wenn kein Unterschied zwischen $X_j$ und $Y_j$ besteht, dann ist die Teststatistik für große $n$ annähernd standardnormalverteilt
- Die tatsächliche Verteilung der Teststatistik ist die $t$-Verteilung mit $(n-1)$ Freiheitsgraden
- Die $t$-Verteilung mit $f$ Freiheitsgraden ist in scipy implementiert als
stats.t(f)
In [2]:
P = stats.t(30)
Die Verteilungsfunktion heißt wie immer P.cdf
In [3]:
P.cdf(0)
Out[3]:
0.5
Das Quantil ist implementiert als P.ppf
In [4]:
P.ppf(0.95)
Out[4]:
1.6972608865939574
Zum Vergleich
In [5]:
Phi = stats.norm()
In [6]:
Phi.ppf(0.95)
Out[6]:
1.6448536269514722
- Die Quantile der t-Verteilungen sind größer als die entsprechenden Quantile der Standardnormalverteilung
- Das führt dazu, dass es schwerer ist, die Nullhypothese abzulehnen
- Das ist der Preis, den wir dafür zahlen müssen, dass wir die Varianz nicht wissen, sondern aus den Daten schätzen müssen
- Der Unterschied ist umso größer, je kleiner der Stichprobenumfang ist
Freiheitsgrade¶
Heuristisch:
- $n$ Versuche, um den Parameter $\overline z$ zu schätzen
- Jeder andere Parameter, der hilfsweise geschätzt werden muss, verringert die Zahl der Freiheitsgrade um 1
- Beim $t$-Test für verbundene Stichproben muss $s$ hilfsweise geschätzt werden
- Daher gibt es $(n-1)$ Freiheitsgrade
- Die Schätzung von $s$ verringert die Genauigkeit. Daher sind die Quantile der $t$-Verteilungen größer als die der Standardnormalverteilung.
Ein- und zweiseitige Tests¶
- Tests können ein- oder zweiseitig sein
- Es sind $\mu_1$ und $ \mu_2 $ die unbekannten wahren Erwartungswerte der beiden Stichproben
- Bei zweiseitigen Tests ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 = \mu_2\}$
- Beim einseitigen unteren Test ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 \ge \mu_2\}$, d.h. die Alternativhypothese ist $\mu_1 < \mu_2$
- Beim einseitigen oberen Test ist die Nullhypothese von der Form $H_0 = \{\mu_1 \le \mu_2\}$, d.h. die Alternativhypothese ist $\mu_1 > \mu_2$
- Entscheidung:
- $H_0 = \{\mu_1=\mu_2\} $: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $\left|t\right| > t_{n-1,\,1-\alpha/2}$
- $H_0 = \{\mu_1\le\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t > t_{n-1,\,1-\alpha}$
- $H_0 = \{\mu_1\ge\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t < -t_{n-1,\,1-\alpha}$
Beispiel Blutdrucksenker¶
- 10 Blutdruckpatienten erhalten eine Woche lang das Medikament und eine Woche lang das Placebo. Der Blutdruck am Ende der jeweiligen Behandlung wird notiert. Zwischen beiden Behandlungen vergehen zwei Wochen mit Standard-Therapie.
- Für den $j$-ten Patienten
\begin{align*} X_j &= \text{Blutdruck unter Placebo} \\ Y_j &= \text{Blutdruck unter Medikament} \\ Z_j &= X_j - Y_j \end{align*}
- Beim Blutdrucksenker interessiert nur, ob der Blutdruck tatsächlich sinkt
- Ein einseitiger Test ist angemessen
- $\mu_1 =$ Blutdruck unter Placebo, $\mu_2 =$ Blutdruck unter Medikament
- Die Nullhypothese ist $ H_0 : \mu_1 \le \mu_2 $, also ein oberer Test
- Das Signifikanzniveau ist $\alpha = 0.05$
- Die Zahl der Freiheitsgrade ist 9
Das benötigte Quantil ist
In [7]:
P = stats.t(9)
In [8]:
P.ppf(0.95)
Out[8]:
1.8331129326536335
Beispieldaten¶
In [9]:
blutdruck = pd.DataFrame()
blutdruck['Placebo'] = [168, 184, 172, 173, 150, 155, 163, 164, 151, 146]
blutdruck['Verum'] = [176, 145, 150, 163, 136, 168, 164, 139, 145, 112]
blutdruck
Out[9]:
| Placebo | Verum | |
|---|---|---|
| 0 | 168 | 176 |
| 1 | 184 | 145 |
| 2 | 172 | 150 |
| 3 | 173 | 163 |
| 4 | 150 | 136 |
| 5 | 155 | 168 |
| 6 | 163 | 164 |
| 7 | 164 | 139 |
| 8 | 151 | 145 |
| 9 | 146 | 112 |
In [10]:
ax = sns.scatterplot(data=blutdruck, x = np.arange(1, 11), y='Placebo', label='Placebo')
sns.scatterplot(data=blutdruck, x = np.arange(1, 11), y='Verum', label='Verum', ax=ax)
ax.set_ylabel("");
In [11]:
blutdruck['z'] = blutdruck.Placebo - blutdruck.Verum
blutdruck.z.describe()
Out[11]:
count 10.000000 mean 12.800000 std 17.364075 min -13.000000 25% 0.750000 50% 12.000000 75% 24.250000 max 39.000000 Name: z, dtype: float64
In [12]:
t = 12.8 / 17.3641 * np.sqrt(10)
t
Out[12]:
2.3310827540820003
Das ist größer als das Quantil: Die Nullhypothese kann abgelehnt werden. Die Wirksamkeit des Blutdrucksenkers ist zu dem angegebenen Signifikanzniveau nachgewiesen.
Automatische Auswertung mit stats¶
In [13]:
stats.ttest_rel(blutdruck.Placebo, blutdruck.Verum, alternative="greater")
Out[13]:
TtestResult(statistic=2.331086069657434, pvalue=0.02233380789226441, df=9)
In [14]:
res = stats.ttest_rel(blutdruck.Placebo, blutdruck.Verum, alternative="greater")
res.statistic # Die Teststatistik
Out[14]:
2.331086069657434
In [15]:
res.pvalue # Der p-Wert
Out[15]:
0.02233380789226441
Der p-Wert ist kleiner als das Signifikanzniveau $\alpha=0.05$, also kann $H_0$ abgelehnt werden
In [16]:
res.df # Die Anzahl der Freiheitsgrade
Out[16]:
9
Vergleich mit einem Referenzwert¶
Das ist der Spezialfall, bei dem der zweite Datensatz für alle Einträge gleich dem Referenzwert ist
Beispiel
- Ein Betrieb leitet Abwasser ein. Die Konzentration eines bestimmten Schadstoffes darf 0.08% nicht überschreiten
- An fünf Messstellen werden insgesamt 80 Proben entnommen
- Wenn zum Signifikanzniveau $\alpha=0.01$ nachgewiesen ist, dass der Schadstoffgehalt über dem Referenzwert 0.08% liegt, dann wird der Betrieb vom Ordnungsamt geschlossen
In [17]:
u = "https://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2324/data/schadstoffe.csv"
In [18]:
schadstoffe = pd.read_csv(u, index_col=0)
In [19]:
schadstoffe.head()
Out[19]:
| Messstelle | Konzentration | |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 0.000867 |
| 1 | 3 | 0.000490 |
| 2 | 1 | 0.000589 |
| 3 | 1 | 0.000950 |
| 4 | 4 | 0.001152 |
Als zweites Argument von stats.ttest_rel wird nun der Referenzwert angegeben
In [20]:
res = stats.ttest_rel(schadstoffe.Konzentration, 0.0008, alternative="greater")
res
Out[20]:
TtestResult(statistic=2.768040010585661, pvalue=0.0035114445640696246, df=79)
In [21]:
res.pvalue
Out[21]:
0.0035114445640696246
Zum Signifikanzniveau $\alpha=0.01$ ist die Überschreitung der Grenzwerte nachgewiesen
t-Test für unverbundene Stichproben¶
- Ein Versuch wird $n_1$-mal durchgeführt
- Ein Parameter wird geändert
- Der Versuch wird mit dem geänderten Parameter $n_2$-mal mit einem anderen Kollektiv wiederholt
- Die Messergebnisse werden verglichen
- Da die Stichproben unverbunden sind, ist $n_1 \ne n_2$ möglich
t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte bei unverbundenen Stichproben¶
- Gegeben sind Zufallsvariable $X_1, \dots, X_{n_1}$ und $Y_1, \dots, Y_{n_2}$
- Verteilungsvoraussetzungen
- Die $X_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_1$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
- Die $Y_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_2$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
- Ziel: $\mu_1$ und $\mu_2$ sollen verglichen werden
- $x_j$ und $y_j$ seien Realisierungen
- Bestimme arithmetische Mittelwerte $$ \overline x = \frac1{n_1} \sum_{j=1}^{n_1} x_j \text{ und } \overline y = \frac1{n_2} \sum_{j=1}^{n_2} y_j $$
- und Stichprobenstreuungen $$ s_x = \sqrt{ \frac1{n_1-1} \sum_{j=1}^{n_1} (x_j - \overline x)^2 } \text{ und } s_y = \sqrt{ \frac1{n_2-1} \sum_{j=1}^{n_2} (y_j - \overline y)^2 } $$
Standardabweichung der gepoolten Stichproben¶
- Bestimme die Standardabweichung der gepoolten Stichproben
$$ s_p = \sqrt{ \frac{(n_1-1) \cdot s_x^2 + (n_2 - 1) \cdot s_y^2}{n_1 + n_2 - 2} } $$
Teststatistik¶
Die Teststatistik ist
$$ t = \frac{\overline x - \overline y}{s_p} \sqrt{\frac{n_1 \cdot n_2}{n_1 + n_2}} $$
Entscheidungsregel¶
- Bestimme zugehörige Quantile der $t$-Verteilung
\begin{align*} &t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha/2} && \text{beim zweiseitigen Test} \\ &t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha} && \text{bei einem einseitigen Test} \end{align*}
- Entscheidungsregel
- $H_0 = \{\mu_1=\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $\left|t\right| > t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha/2}$
- $H_0 = \{\mu_1\le\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t > t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha}$
- $H_0 = \{\mu_1\ge\mu_2\}$: Die Nullhypothese $H_0$ wird abgelehnt, wenn $t < -t_{n_1+n_2-2,\,1-\alpha}$
Beispiel Maiszünsler¶
- Der Maiszünsler soll mit einem Bodenbakterium bekämpft werden
- Die Befallsraten (in Larven pro Quadratmeter) wurden gemessen
- Zum Signifikanzniveau $\alpha = 0.05$ soll nachgewiesen werden, dass der Besatz mit dem Bodenbakterium den Befall mit Larven des Maiszünslers verringert
- Es handelt sich um einen einseitigen, unverbundenen Test
Wide-Format und Long-Format¶
- Long-Format deutsch: "gestapelt"
- Wide-Format deutsch: "ungestapelt"
- bei verbundenen Stichproben verwendet man das ungestapelte Format
Die Tabelle blutdruck ist eine Tabelle im ungestapelten Format
In [22]:
blutdruck
Out[22]:
| Placebo | Verum | z | |
|---|---|---|---|
| 0 | 168 | 176 | -8 |
| 1 | 184 | 145 | 39 |
| 2 | 172 | 150 | 22 |
| 3 | 173 | 163 | 10 |
| 4 | 150 | 136 | 14 |
| 5 | 155 | 168 | -13 |
| 6 | 163 | 164 | -1 |
| 7 | 164 | 139 | 25 |
| 8 | 151 | 145 | 6 |
| 9 | 146 | 112 | 34 |
- dabei sind die Daten der Individuen zeilenweise notiert
- bei unverbundenen Stichproben macht das keinen Sinn, weil für die unterschiedlichen Parameterwerte unterschiedliche Individuen untersucht werden
- die Tabelle enthält stattdessen eine Spalte mit dem Parameterwert
Aufbau einer Tabelle im gestapelten Format¶
In [23]:
behandelt = pd.DataFrame()
behandelt['Befall'] = [61 , 60 , 62 , 58 , 75 , 63 , 52 , 66 , 59]
behandelt['Behandlung'] = 'ja'
behandelt
Out[23]:
| Befall | Behandlung | |
|---|---|---|
| 0 | 61 | ja |
| 1 | 60 | ja |
| 2 | 62 | ja |
| 3 | 58 | ja |
| 4 | 75 | ja |
| 5 | 63 | ja |
| 6 | 52 | ja |
| 7 | 66 | ja |
| 8 | 59 | ja |
In [24]:
unbehandelt = pd.DataFrame()
unbehandelt['Befall'] = [55 , 69 , 64 , 70 , 75 , 70 , 83 , 69 , 75 , 69]
unbehandelt['Behandlung'] = 'nein'
unbehandelt
Out[24]:
| Befall | Behandlung | |
|---|---|---|
| 0 | 55 | nein |
| 1 | 69 | nein |
| 2 | 64 | nein |
| 3 | 70 | nein |
| 4 | 75 | nein |
| 5 | 70 | nein |
| 6 | 83 | nein |
| 7 | 69 | nein |
| 8 | 75 | nein |
| 9 | 69 | nein |
In [25]:
mais = pd.concat([behandelt, unbehandelt], ignore_index=True)
mais.head(12)
Out[25]:
| Befall | Behandlung | |
|---|---|---|
| 0 | 61 | ja |
| 1 | 60 | ja |
| 2 | 62 | ja |
| 3 | 58 | ja |
| 4 | 75 | ja |
| 5 | 63 | ja |
| 6 | 52 | ja |
| 7 | 66 | ja |
| 8 | 59 | ja |
| 9 | 55 | nein |
| 10 | 69 | nein |
| 11 | 64 | nein |
ignore_index=Trueerstellt einen neuen Index- ohne diese Option würden die beiden vorhandenen Indices verwendet; das ergäbe aber keinen gültigen Index
In [26]:
sns.displot(data=mais, x='Befall', hue='Behandlung', multiple='stack');
In [27]:
behandelt.describe()
Out[27]:
| Befall | |
|---|---|
| count | 9.000000 |
| mean | 61.777778 |
| std | 6.280481 |
| min | 52.000000 |
| 25% | 59.000000 |
| 50% | 61.000000 |
| 75% | 63.000000 |
| max | 75.000000 |
In [28]:
unbehandelt.describe()
Out[28]:
| Befall | |
|---|---|
| count | 10.000000 |
| mean | 69.900000 |
| std | 7.324995 |
| min | 55.000000 |
| 25% | 69.000000 |
| 50% | 69.500000 |
| 75% | 73.750000 |
| max | 83.000000 |
In [29]:
zaehler = 9*7.325**2 + 8*6.281**2
nenner = 17
std_pool = np.sqrt( zaehler / nenner )
std_pool
Out[29]:
6.853544866366173
In [30]:
faktor = 10*9 / (10+9)
faktor
Out[30]:
4.7368421052631575
In [31]:
t = (61.778 - 69.9) / std_pool * np.sqrt(faktor)
t
Out[31]:
-2.579242516807668
Das ist die Teststatistik
- Wir machen den Test zum Signifikanzniveau $\alpha=0.05$
- Die Zahl der Freiheitsgrade ist 17
- Das benötigte Quantil ist
In [32]:
P = stats.t(17)
P.ppf(0.95)
Out[32]:
1.7396067260750672
Es gilt $t < -t_{17,0.95}$, also wird die Nullhypothese abgelehnt
Auswertung mit scipy.stats¶
In [33]:
stats.ttest_ind(behandelt.Befall, unbehandelt.Befall, alternative="less")
Out[33]:
TtestResult(statistic=-2.5793982980797687, pvalue=0.009746177193200247, df=17.0)
Der p-Wert ist 0.01
Zusammenfassung: t-Tests mit scipy.stats¶
stats.ttest_rel(x,y,alternative)t-Test für verbundene Stichproben (engl: related)stats.ttest_ind(x,y,alternative)t-Test für unverbundene Stichproben (engl: independent)- x, y: Daten
- alternative: entweder
less,greaterodertwo-sided