Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2025/26

16.12.2025

© 2025 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

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Themen heute¶

  • Z-Test
  • Effektstärke
  • Poweranalyse beim t-Test
  • Q-Q-Plot
  • Nicht-parametrische Tests
  • Wilcoxons signed-rank-Test
In [1]:
import numpy as np
np.set_printoptions(legacy='1.21')
import seaborn as sns
sns.set_theme()
sns.set_context('talk')
import pandas as pd
from scipy import stats

Z-Test¶

  • Gegeben sind Zufallsvariable $X_1, \dots, X_n$ und $Y_1, \dots, Y_n$
  • Verteilungsvoraussetzungen:
    • Alle $X_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_1$ und bekannter Varianz $\sigma^2$
    • Alle $Y_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_2$ und bekannter Varianz $\sigma^2$
    • Die beiden Varianzen müssen also gleich und bekannt sein (unrealistisch)
  • Ziel: $\mu_1$ und $\mu_2$ sollen verglichen werden
  • $x_j$ und $ _j$ seien Realisierungen (d.h., die Daten)
  • $z_j = x_j - y_j$ seien die Differenzen
  • Bestimme arithmetischen Mittelwert $$ \overline z = \frac1n \sum_{j=1}^n z_j $$
  • Die Teststatistik ist $$ t = \frac{\overline z}\sigma \cdot \sqrt{n} $$
  • also dieselbe wie beim t-Test für verbundene Stichproben
  • Die Teststatistik wird mit einem Quantil der Standardnormalverteilung verglichen (anstelle eines Quantils der t-Verteilung mit der richtigen Anzahl an Freiheitsgraden)
  • bei großen Stichprobenumfängen ist der Unterschied gering

Effektstärke¶

  • Ein Medikament soll bei einer fortschreitenden Bewegungserkrankung die Verschlechterung aufhalten
  • 900 Patienten bekommen das Verum, weitere 900 ein Placebo
  • Zu den Zeitpunkten $t_0$ (Anfangszeitpunkt) und $t_1$ (Endzeitpunkt) wird die Beweglichkeit durch geschultes Personal auf einer Skala von 1 (schlecht) bis 100 (perfekt) eingeordnet.
In [2]:
treatment = pd.read_csv('https://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2526/treatment.csv', index_col=0)
treatment
Out[2]:
t0 t1 Treatment
0 43 35 Verum
1 63 64 Verum
2 71 66 Verum
3 64 55 Verum
4 73 73 Verum
... ... ... ...
1764 60 54 Placebo
1765 48 46 Placebo
1766 54 53 Placebo
1767 81 76 Placebo
1768 51 46 Placebo

1769 rows × 3 columns

In [3]:
treatment['Difference'] = treatment.t1 - treatment.t0
treatment
Out[3]:
t0 t1 Treatment Difference
0 43 35 Verum -8
1 63 64 Verum 1
2 71 66 Verum -5
3 64 55 Verum -9
4 73 73 Verum 0
... ... ... ... ...
1764 60 54 Placebo -6
1765 48 46 Placebo -2
1766 54 53 Placebo -1
1767 81 76 Placebo -5
1768 51 46 Placebo -5

1769 rows × 4 columns

  • In der Spalte "Difference" steht die Differenz zwischen den beiden Zeitpunkten. Idealerweise ist sie positiv, wenn das Medikament sogar zu einer Verbesserung des Zustands führt
In [4]:
sns.displot(treatment, x='Difference', hue='Treatment', bins=np.arange(-15, 8));
No description has been provided for this image
  • Der Test soll zeigen, dass die Differenz bei den Probanden mit Verum im Mittel größer als bei den anderen ist
  • Einseitiger, unverbundener Test
In [5]:
verum = treatment[treatment.Treatment=='Verum']
verum.describe()
Out[5]:
t0 t1 Difference
count 887.000000 887.000000 887.000000
mean 62.616685 58.396843 -4.219842
std 12.253146 12.486847 3.130375
min 29.000000 21.000000 -14.000000
25% 54.000000 50.000000 -6.000000
50% 62.000000 58.000000 -4.000000
75% 71.000000 67.000000 -2.000000
max 100.000000 96.000000 6.000000
In [6]:
placebo = treatment[treatment.Treatment=='Placebo']
placebo.describe()
Out[6]:
t0 t1 Difference
count 882.000000 882.000000 882.000000
mean 62.175737 57.630385 -4.545351
std 11.728762 12.272701 3.028560
min 28.000000 23.000000 -15.000000
25% 54.000000 49.000000 -7.000000
50% 62.000000 58.000000 -5.000000
75% 69.000000 65.750000 -3.000000
max 100.000000 96.000000 5.000000
  • Aus der Gruppe der Probanden mit Verum sind 13 Leute ausgeschieden
  • aus der anderen 18
In [7]:
stats.ttest_ind(verum.Difference, placebo.Difference, alternative='greater')
Out[7]:
TtestResult(statistic=2.2224928684720053, pvalue=0.01318808737727292, df=1767.0)

Die Nullhypothese, dass das Medikament nicht besser wirkt als Placebo, kann zum Signifikanzniveau $\alpha=0.015$ abgelehnt werden.

Effektstärke¶

  • Der p-Wert gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass die beobachtete Änderung auf Zufall zurückzuführen ist
  • Das ist aber nicht die einzige wichtige Kennzahl
  • Die Effektstärke gibt an, wie stark sich die Daten verändern
  • Durch große Stichprobenumfänge kann auch bei geringer Effektstärke eine signifikante Bepbachtung gemacht werden

Beim Vergleich zweier Mittelwerte wird "Cohen's d" zur Messung der Effektstärke verwendet

$$ d = \left| \frac{\overline x - \overline y}s \right| $$

wobei $\overline x$ und $\overline y$ die beiden Mittelwerte, $s$ die Stichprobenstreuung und $|a|$ den Betrag von $a$ bezeichnet.

  • Bei verbundenen Stichproben verwendet man die Stichprobenstreuung der Differenz
  • Bei unverbundenen Stichproben verwendet man die Standardabweichung der gepoolten Stichproben
In [8]:
anz_verum = verum.Difference.count()
anz_verum
Out[8]:
887
In [9]:
anz_placebo = placebo.Difference.count()
anz_placebo
Out[9]:
882
In [10]:
mean_verum = verum.Difference.mean()
mean_verum
Out[10]:
-4.219842164599775
In [11]:
mean_placebo = placebo.Difference.mean()
mean_placebo
Out[11]:
-4.545351473922903
In [12]:
std_verum = verum.Difference.std()
std_placebo = placebo.Difference.std()
In [13]:
zaehler = (anz_verum-1)*std_verum**2 + (anz_placebo-1)*std_placebo**2
nenner = anz_verum + anz_placebo - 2
sp = np.sqrt(zaehler/nenner)
sp
Out[13]:
3.0800319638117295
In [14]:
d = (mean_verum - mean_placebo) / sp
d
Out[14]:
0.10568374391812818

Die Effektstärke hat den Wert 0.11

Interpretation der Effektstärke¶

d-Wert Interpretation
0.2 geringer Effekt
0.5 mittlerer Effekt
0.8 starker Effekt

Wir haben also einen sehr geringen Effekt beobachtet

  • der niedrige p-Wert zeigt, dass das Medikament wirkt
  • das zugrundeliegende physiologische Modell ist also bestätigt
  • die geringe Effektstärke zeigt, dass die individuelle Wirkung nicht groß ist

Power-Analyse beim t-Test¶

Power: Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, wenn tatsächlich die Alternative gilt

Bauer Pillenhuber wird verdächtigt, seine Bio-Hühnchen mit Antibiotika vollzudröhnen. Wir wollen das durch Blutuntersuchungen nachweisen.

  • Es handelt sich um den Vergleich mit einem Referenzwert, also einen verbundenen t-Test
  • Er ist einseitig
  • Wie viele Tiere müssen untersucht werden?
  • Wir erwarten einen starken Effekt, sagen wir d=0.7
  • Wir verlangen ein Signifikanzniveau von $\alpha=0.01$, um niemanden zu Unrecht zu verdächtigen
In [15]:
import statsmodels.stats.power as smp
  • Die Bibliothek statsmodels enthält weitere statistische Funktionen über scipy.stats hinaus
  • die "klassischen" statistischen Funktionen befinden sich meist in scipy.stats
  • darauf aufbauende Funktionen in statsmodels
In [16]:
poweranalyse = smp.TTestPower()
In [17]:
poweranalyse.power(effect_size=0.7, alpha=0.01, nobs=10, alternative="larger")
Out[17]:
0.3306090909980096
  • nobs: number of observations
  • effect_size: erwartete Effektstärke
    • hier kann auch eine Liste angegeben werden
  • alpha: Signifikanzniveau
  • Rückgabewert: Power unter Zugrundelegung dieser Daten
  • Achtung: in statsmodels lauten die Alternativen
    • larger
    • smaller
    • two-sided (Voreinstellung)
  • bei scipy.stats sind das
    • greater
    • less
    • two-sided (Voreinstellung)

Grafische Bestimmung der Power in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang¶

In [18]:
poweranalyse.plot_power(effect_size=[0.5,0.7], alpha=0.01, nobs=np.arange(2,100), 
                         alternative='larger');
No description has been provided for this image

Wir sollten 35 Hühner untersuchen

In [19]:
poweranalyse.power(effect_size=0.7, alpha=0.01, nobs=35, alternative='larger')
Out[19]:
0.9502228587369882

Power-Analyse für unverbundene t-Tests¶

  • Wir wollen wissen, ob auf sandigem Boden das Verhältnis von Kiefern zu Fichten ein anderes als auf lehmigem ist
  • Wir erwarten einen mittleren Effekt
  • Wir wählen den Standardwert $\alpha=0.05$
  • Es handelt sich um einen unverbundenen Test
  • Sie wählen $n_1$ sandige und $n_2=n_1$ lehmige Waldparzellen aus
  • Wie groß müssen $n_1$ und $n_2$ sein?
In [20]:
poweranalyse = smp.TTestIndPower()  # Ind = Independent
In [21]:
poweranalyse.plot_power(effect_size=[0.5], alpha=0.05, nobs=np.arange(2,150));
No description has been provided for this image

Wir müssen ca 105 Parzellen von jeder Sorte ansehen, um eine Power von knapp 95% zu erreichen

In [22]:
poweranalyse.power(effect_size=0.5, alpha=0.05, nobs1=105, ratio=1)
Out[22]:
0.9501287033889152
  • ratio ist das Verhältnis $\frac{n_2}{n_1}$
  • Man plant eigentlich immer mit ratio=1
  • Dann kann man diese Angabe bei poweranalyse.power weglassen

Ausschnittsvergrößerung aus dem Bild¶

In [23]:
poweranalyse.plot_power(effect_size=[0.5], alpha=0.05, nobs=np.arange(90,120));
No description has been provided for this image

Normalverteilungsannahmen¶

t-Test zum Vergleich zweier Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben¶

  • Gegeben sind Zufallsvariable $X_1, \dots, X_n$ und $Y_1, \dots, Y_n$
  • Verteilungsvoraussetzungen:
    • Alle $X_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_1$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
    • Alle $Y_j$ sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert $\mu_2$ und unbekannter Varianz $\sigma^2$
    • Die beiden Varianzen müssen also gleich sein
  • Ziel: $\mu_1$ und $\mu_2$ sollen verglichen werdenm

Q-Q-Plot¶

Wie überprüfen wir die Gültigkeit der Verteilungsannahme?

  • Mit dem Quantil-Quantil-Plot kann man auf graphischem Wege beurteilen, ob Messwerte Realisierungen einer normalverteilten Zufallsvariablen sind
  • Man trägt dazu auf der $x$-Achse die Quantile der Standardnormalverteilung und auf der $y$-Achse die Quantile der Beobachtungsdaten auf
  • Wenn diese Punkte annähernd auf einer Geraden liegen, sind die Daten näherungsweise normalverteilt, ansonsten nicht
  • es gibt auch Testverfahren, um auf Normalverteilungsannahmen zu testen
  • nicht ganz klar, wie sinnvoll das ist

Beispiel¶

In [24]:
import statsmodels.api as sm
In [25]:
pp = sm.ProbPlot(treatment.t0)
pp.qqplot();
No description has been provided for this image

Wunderbar normalverteilt

Beispiel Galapagos Inseln¶

Ein Datensatz zum Buch "Linear Models with Python" von Faraway

In [26]:
galapagos = pd.read_csv("https://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2526/galapagos.csv")
galapagos.head()
Out[26]:
Island Species Area Elevation Nearest Scruz Adjacent
0 Baltra 58 25.09 346 0.6 0.6 1.84
1 Bartolome 31 1.24 109 0.6 26.3 572.33
2 Caldwell 3 0.21 114 2.8 58.7 0.78
3 Champion 25 0.10 46 1.9 47.4 0.18
4 Coamano 2 0.05 77 1.9 1.9 903.82
  • echte Daten von 30 Galapagos-Inseln
  • für jede Galapagos-Insel wurde erhoben
    • Species: Anzahl verschiedener (Säuge)tierarten
    • Area: Fläche
    • Elevation: höchster Punkt
    • Nearest: Abstand zur nächsten Insel
    • Scruz: Entfernung von Santa Cruz
    • Adjacent: Fläche der nächstgelegenen Insel
In [27]:
pp = sm.ProbPlot(galapagos.Area)
pp.qqplot();
No description has been provided for this image

Klar nicht normalverteilt

Nicht-parametrische Tests¶

Beispiel für Situationen, in denen man nicht-parametrische Tests macht:

  • Wenn die Verteilungsannahmen nicht erfüllt sind
  • Wenn die Stichprobenumfänge zu klein sind

Vergleich zweier Mediane¶

  • Bei Zufallsvariablen, die nicht normalverteilt sind, ist der Erwartungswert oft bedeutungslos
  • Man vergleicht dann besser die Mediane
In [28]:
galapagos.Area.describe()
Out[28]:
count      30.000000
mean      261.708667
std       864.110519
min         0.010000
25%         0.257500
50%         2.590000
75%        59.237500
max      4669.320000
Name: Area, dtype: float64

Vergleich zweier Erwartungswerte bzw. zweier Mediane¶

Vergeich parametrisch nicht-parametrisch
mit Referenzwert t-Test für verbundene Stichproben Wilcoxon-Test
vorher-nachher t-Test für verbundene Stichproben Wilcoxon-Test
verschiedene Populationen t-Test für unverbundene Stichproben Mann-Whitney-U-Test
was wird verglichen? Erwartungswert Median

Wilcoxon-Signed-Rank-Test¶

  • Den Wilcoxon Test verwendet man zum Vergleich der Mediane verbundener Datensätze, wenn die Normalverteilungsannahme nicht gesichert ist
  • Bei normalverteilten Daten ist der Wilcoxon-Test ebenfalls zulässig, aber meist etwas schwächer

Als Beispiel rechnen wir die Schadstoffkonzentration auch noch einmal als Wilcoxon-Signed-Rank-Test

In [29]:
u = "https://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2324/data/schadstoffe.csv"
schadstoffe = pd.read_csv(u, index_col=0)
schadstoffe.head()
Out[29]:
Messstelle Konzentration
0 5 0.000867
1 3 0.000490
2 1 0.000589
3 1 0.000950
4 4 0.001152
  • Wir vergleichen die Konzentration mit dem Referenzwert 0.08
In [30]:
res = stats.wilcoxon(schadstoffe.Konzentration, 0.0008, alternative="greater")
res
Out[30]:
WilcoxonResult(statistic=2169.0, pvalue=0.004229703509534525)

Zum Vergleich:

In [31]:
stats.ttest_rel(schadstoffe.Konzentration, 0.0008, alternative="greater")
Out[31]:
TtestResult(statistic=2.768040010585661, pvalue=0.0035114445640696246, df=79)
  • Der Unterschied der p-Werte ist gering
  • Der Wert der Statistik ist verschieden, weil der Test völlig anders arbeitet

Effektstärke beim Wilcoxon-Test¶

  • beim Wilcoxon-Test bestimmt man die Effektstärke mit Cohen's r
  • dazu ist es erforderlich, den Test noch einmal mit method="approx" zu rechnen, um die z-Statistik zu bekommen
  • Formel $$ r = \frac{|z|}{\sqrt n} $$
  • hierbei ist $z$ der Wert der z-Statistik
  • und $n$ der Stichprobenumfang
In [32]:
res = stats.wilcoxon(schadstoffe.Konzentration, 0.0008, alternative="greater", method="approx")
res
Out[32]:
WilcoxonResult(statistic=2169.0, pvalue=0.004229703509534525)
In [33]:
res.zstatistic
Out[33]:
2.6331616685404655
In [34]:
n = schadstoffe.Konzentration.count()
n
Out[34]:
80
In [35]:
r = abs(res.zstatistic / np.sqrt(n))
r
Out[35]:
0.2943964243301625

Interpretation der Effektstärke für Cohen's r¶

r-Wert Interpretation
0.1 geringer Effekt
0.3 mittlerer Effekt
0.5 starker Effekt

Wir haben also einen mittleren Effekt beobachtet