Mathematik für Biologiestudierende¶
Wintersemester 2025/26
13.01.2026
© 2026 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Wiederholung (interaktiv)¶
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- 670719
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Themen heute¶
- Multiples Testen
- Posthoc-Analyse
- Ablesung genauerer Werte
- Behandlung von
NaN - die Idee hinter ANOVA
- Heteroskedastizität
- Levene-Test
- Alexander-Govern-Test
In [1]:
import numpy as np
np.set_printoptions(legacy='1.21')
import seaborn as sns
sns.set_theme()
sns.set_context('talk')
import pandas as pd
from scipy import stats
Multiples Testen¶
- Ein Fall von Data Snooping
- Bei einem Signifikanztest zum Nivea $\alpha=0.05$ wird in 5% der Fälle die Nullhypothese fälschlich abgelehnt
- In dem Beispiel des Cartoons gibt es 20 Experimente; es ist zu erwarten, dass in einem Fall die Nullhypothese zu unrecht abgelehnt wird
- wenn wir gemäß Bonferroni korrigieren, dann müssen wir jeden einzelnen Test zum Signifikanzniveau $\frac\alpha{20}$ durchführen
- alternativ wiederholt man das Experiment mit grünen Gummibärchen
ANOVA¶
- Mit einer ANOVA wird auf Unterschiede zwischen Gruppen getestet
Post-hoc Analyse¶
- Wenn die ANOVA einen signifikanten Unterschied zwischen den Gruppen gezeigt hat, dann versucht man mit der post-hoc Analyse herauszubekommen, zwischen welchen einzelnen Gruppen signifikante Unterschiede bestehen
- Die post-hoc Analyse muss für multiple Vergleiche korrigiert werden
Beispiel Zitronen¶
In [2]:
zitronen = pd.read_csv("http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2425/zitronen.csv")
In [3]:
zitronen.head()
Out[3]:
| Vitamin_C_Gehalt | Land | |
|---|---|---|
| 0 | 494.5 | Spanien |
| 1 | 499.2 | Spanien |
| 2 | 494.3 | Spanien |
| 3 | 478.0 | Spanien |
| 4 | 500.1 | Spanien |
Die Tabelle (mit erfundenen Daten) zeigt den Vitamin C Gehalt in [mg] pro [kg] von Zitronen aus verschiedenen Ländern
In [4]:
zitronen.Land.value_counts()
Out[4]:
Land Spanien 8 Italien 8 Griechenland 8 Marokko 8 Indien 8 Name: count, dtype: int64
In [5]:
sns.displot(zitronen, x='Vitamin_C_Gehalt', hue='Land', multiple='stack');
In [6]:
spanien = zitronen[zitronen.Land=='Spanien'].Vitamin_C_Gehalt
italien = zitronen[zitronen.Land=='Italien'].Vitamin_C_Gehalt
griechenland = zitronen[zitronen.Land=='Griechenland'].Vitamin_C_Gehalt
marokko = zitronen[zitronen.Land=='Marokko'].Vitamin_C_Gehalt
indien = zitronen[zitronen.Land=='Indien'].Vitamin_C_Gehalt
In [7]:
stats.f_oneway(spanien, italien, griechenland, marokko, indien)
Out[7]:
F_onewayResult(statistic=11.873757820341998, pvalue=3.3733416696757513e-06)
Paarvergleiche¶
In [8]:
from statsmodels.sandbox.stats.multicomp import MultiComparison
In [9]:
muc = MultiComparison(zitronen.Vitamin_C_Gehalt, zitronen.Land)
In [10]:
res = muc.allpairtest(stats.ttest_ind, method='bonferroni')
res[0]
Out[10]:
| group1 | group2 | stat | pval | pval_corr | reject |
|---|---|---|---|---|---|
| Griechenland | Indien | -4.9524 | 0.0002 | 0.0021 | True |
| Griechenland | Italien | 1.113 | 0.2845 | 1.0 | False |
| Griechenland | Marokko | -3.5339 | 0.0033 | 0.0331 | True |
| Griechenland | Spanien | -1.9478 | 0.0718 | 0.7178 | False |
| Indien | Italien | 6.2008 | 0.0 | 0.0002 | True |
| Indien | Marokko | 0.3183 | 0.7549 | 1.0 | False |
| Indien | Spanien | 3.3226 | 0.005 | 0.0503 | False |
| Italien | Marokko | -4.3312 | 0.0007 | 0.0069 | True |
| Italien | Spanien | -3.3042 | 0.0052 | 0.0522 | False |
| Marokko | Spanien | 2.2786 | 0.0389 | 0.389 | False |
Nur vier der Paarvergleiche sind signifikant, wenn Bonferroni korrigiert wird
Dasselbe mit Bonferroni-Holm
In [11]:
res = muc.allpairtest(stats.ttest_ind, method='holm')
res[0]
Out[11]:
| group1 | group2 | stat | pval | pval_corr | reject |
|---|---|---|---|---|---|
| Griechenland | Indien | -4.9524 | 0.0002 | 0.0019 | True |
| Griechenland | Italien | 1.113 | 0.2845 | 0.5689 | False |
| Griechenland | Marokko | -3.5339 | 0.0033 | 0.0231 | True |
| Griechenland | Spanien | -1.9478 | 0.0718 | 0.2153 | False |
| Indien | Italien | 6.2008 | 0.0 | 0.0002 | True |
| Indien | Marokko | 0.3183 | 0.7549 | 0.7549 | False |
| Indien | Spanien | 3.3226 | 0.005 | 0.0302 | True |
| Italien | Marokko | -4.3312 | 0.0007 | 0.0055 | True |
| Italien | Spanien | -3.3042 | 0.0052 | 0.0302 | True |
| Marokko | Spanien | 2.2786 | 0.0389 | 0.1556 | False |
- Wenn Bonferroni-Holm korrigiert wird, dann sind sechs der Paarvergleiche signifikant
Ablesung genauerer Werte¶
- Woher bekommt man die genauen p-Werte?
res = muc.allpairtest(stats.ttest_ind), dann istreseine Liste (genauer: ein Tupel) mit zwei Einträgenres[0]ist die leserfreundlich formatierte Tabelle- die genauen Werte stehen in
res[1]
In [12]:
res[1]
Out[12]:
(array([[-4.95235073e+00, 2.12516086e-04],
[ 1.11298427e+00, 2.84460819e-01],
[-3.53387275e+00, 3.30511610e-03],
[-1.94781061e+00, 7.17760991e-02],
[ 6.20082296e+00, 2.31091193e-05],
[ 3.18345880e-01, 7.54921930e-01],
[ 3.32261512e+00, 5.03074269e-03],
[-4.33123161e+00, 6.90566981e-04],
[-3.30423221e+00, 5.21815835e-03],
[ 2.27858634e+00, 3.88961763e-02]]),
array([ True, False, True, False, True, False, True, True, True,
False]),
array([1.91264477e-03, 5.68921637e-01, 2.31358127e-02, 2.15328297e-01,
2.31091193e-04, 7.54921930e-01, 3.01844561e-02, 5.52453585e-03,
3.01844561e-02, 1.55584705e-01]),
0.005116196891823743,
0.005)
- Der erste Array ist zweidimensional und enthält die genauen Werte der Statistik und die unkorrigierten p-Werte
- für uns wichtig ist der dritte Array, der die korrigierten p-Werte in der Reihenfolge enthält in der die Paarvergleiche in der Tabelle aufgeführt sind
In [13]:
p_werte_korrigiert = res[1][2]
p_werte_korrigiert
Out[13]:
array([1.91264477e-03, 5.68921637e-01, 2.31358127e-02, 2.15328297e-01,
2.31091193e-04, 7.54921930e-01, 3.01844561e-02, 5.52453585e-03,
3.01844561e-02, 1.55584705e-01])
In [14]:
stats.f_oneway(spanien, italien, griechenland, marokko, indien).pvalue
Out[14]:
3.3733416696757513e-06
Der p-Wert der ANOVA ist kleiner als 5.0E-6. Daher ist zu diesem Signifikanzniveau nachgewiesen, dass Zitronen aus verschiedenen Ländern unterschiedliche Vitamin C Gehalte haben. Wir rechnen die post-hoc Analyse für dieses Signifikanzniveau
In [15]:
res = muc.allpairtest(stats.ttest_ind, alpha=5.0E-6, method='holm')
In [16]:
res[0]
Out[16]:
| group1 | group2 | stat | pval | pval_corr | reject |
|---|---|---|---|---|---|
| Griechenland | Indien | -4.9524 | 0.0002 | 0.0019 | False |
| Griechenland | Italien | 1.113 | 0.2845 | 0.5689 | False |
| Griechenland | Marokko | -3.5339 | 0.0033 | 0.0231 | False |
| Griechenland | Spanien | -1.9478 | 0.0718 | 0.2153 | False |
| Indien | Italien | 6.2008 | 0.0 | 0.0002 | False |
| Indien | Marokko | 0.3183 | 0.7549 | 0.7549 | False |
| Indien | Spanien | 3.3226 | 0.005 | 0.0302 | False |
| Italien | Marokko | -4.3312 | 0.0007 | 0.0055 | False |
| Italien | Spanien | -3.3042 | 0.0052 | 0.0302 | False |
| Marokko | Spanien | 2.2786 | 0.0389 | 0.1556 | False |
Keiner der Paarvergleiche ist signifikant.
Behandlung von NaN¶
In [17]:
pingus = sns.load_dataset('penguins')
pingus.head()
Out[17]:
| species | island | bill_length_mm | bill_depth_mm | flipper_length_mm | body_mass_g | sex | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Adelie | Torgersen | 39.1 | 18.7 | 181.0 | 3750.0 | Male |
| 1 | Adelie | Torgersen | 39.5 | 17.4 | 186.0 | 3800.0 | Female |
| 2 | Adelie | Torgersen | 40.3 | 18.0 | 195.0 | 3250.0 | Female |
| 3 | Adelie | Torgersen | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN |
| 4 | Adelie | Torgersen | 36.7 | 19.3 | 193.0 | 3450.0 | Female |
Es gibt zwei Möglichkeiten, die NaN zu entfernen
- mit
pingus.dropna()werden alle Zeilen entfernt, bei denen mindestens ein Eintrag fehlt
- mit dem folgenden Verfahren entfernen wir alle Zeilen, für die
body_mass_gkeinen Eintrag besitzt
In [18]:
pingus_mit_gewichtsangabe = pingus[pingus.body_mass_g.notna()]
In [19]:
pingus_mit_gewichtsangabe.describe()
Out[19]:
| bill_length_mm | bill_depth_mm | flipper_length_mm | body_mass_g | |
|---|---|---|---|---|
| count | 342.000000 | 342.000000 | 342.000000 | 342.000000 |
| mean | 43.921930 | 17.151170 | 200.915205 | 4201.754386 |
| std | 5.459584 | 1.974793 | 14.061714 | 801.954536 |
| min | 32.100000 | 13.100000 | 172.000000 | 2700.000000 |
| 25% | 39.225000 | 15.600000 | 190.000000 | 3550.000000 |
| 50% | 44.450000 | 17.300000 | 197.000000 | 4050.000000 |
| 75% | 48.500000 | 18.700000 | 213.000000 | 4750.000000 |
| max | 59.600000 | 21.500000 | 231.000000 | 6300.000000 |
zum Vergleich
In [20]:
pingus.dropna().describe()
Out[20]:
| bill_length_mm | bill_depth_mm | flipper_length_mm | body_mass_g | |
|---|---|---|---|---|
| count | 333.000000 | 333.000000 | 333.000000 | 333.000000 |
| mean | 43.992793 | 17.164865 | 200.966967 | 4207.057057 |
| std | 5.468668 | 1.969235 | 14.015765 | 805.215802 |
| min | 32.100000 | 13.100000 | 172.000000 | 2700.000000 |
| 25% | 39.500000 | 15.600000 | 190.000000 | 3550.000000 |
| 50% | 44.500000 | 17.300000 | 197.000000 | 4050.000000 |
| 75% | 48.600000 | 18.700000 | 213.000000 | 4775.000000 |
| max | 59.600000 | 21.500000 | 231.000000 | 6300.000000 |
In [21]:
pingus.species.value_counts()
Out[21]:
species Adelie 152 Gentoo 124 Chinstrap 68 Name: count, dtype: int64
In [22]:
gA = pingus[pingus.species=='Adelie'].body_mass_g.dropna()
gC = pingus[pingus.species=='Chinstrap'].body_mass_g.dropna()
gG = pingus[pingus.species=='Gentoo'].body_mass_g.dropna()
In [23]:
stats.f_oneway(gA, gC, gG)
Out[23]:
F_onewayResult(statistic=343.626275205481, pvalue=2.892368133377283e-82)
In [24]:
muc = MultiComparison(pingus_mit_gewichtsangabe.body_mass_g, pingus_mit_gewichtsangabe.island)
In [25]:
res = muc.allpairtest(stats.ttest_ind, method='bonferroni')
In [26]:
res[0]
Out[26]:
| group1 | group2 | stat | pval | pval_corr | reject |
|---|---|---|---|---|---|
| Biscoe | Dream | 12.9663 | 0.0 | 0.0 | True |
| Biscoe | Torgersen | 8.7781 | 0.0 | 0.0 | True |
| Dream | Torgersen | 0.0924 | 0.9265 | 1.0 | False |
Was hat ANOVA mit Varianzen bzw. Stichprobenstreuungen zu tun?¶
ANOVA: "Analysis of Variance"
Wir gehen zurück zum Beispiel Schadstoffkonzentration
In [27]:
u_schad = "https://www.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2324/data/schadstoffe.csv"
schadstoffe = pd.read_csv(u_schad, index_col=0)
schadstoffe.head()
Out[27]:
| Messstelle | Konzentration | |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 0.000867 |
| 1 | 3 | 0.000490 |
| 2 | 1 | 0.000589 |
| 3 | 1 | 0.000950 |
| 4 | 4 | 0.001152 |
In [28]:
g1 = schadstoffe[schadstoffe.Messstelle==1].Konzentration
g2 = schadstoffe[schadstoffe.Messstelle==2].Konzentration
g3 = schadstoffe[schadstoffe.Messstelle==3].Konzentration
g4 = schadstoffe[schadstoffe.Messstelle==4].Konzentration
g5 = schadstoffe[schadstoffe.Messstelle==5].Konzentration
In [29]:
schadstoffe.Konzentration.std()
Out[29]:
0.00034083567416156316
In [30]:
g1.std()
Out[30]:
0.0003088278193577403
In [31]:
g2.std()
Out[31]:
0.0004360906113112883
In [32]:
g3.std()
Out[32]:
0.00033459177573784817
In [33]:
g4.std()
Out[33]:
0.00032047637643428304
In [34]:
g5.std()
Out[34]:
0.0003095504974203532
Die Stichprobenstreuung des gesamten Datensatzes ist ungefähr dieselbe wie die jeder einzelnen Gruppe
In [35]:
ax = sns.boxplot(schadstoffe, y="Konzentration", x="Messstelle");
In [36]:
sns.boxplot(schadstoffe, y="Konzentration", ax=ax)
ax.figure
Out[36]:
Jetzt dasselbe mit den Pinguinen¶
In [37]:
pingus_mit_gewichtsangabe.body_mass_g.std()
Out[37]:
801.9545356980955
In [38]:
gA.std()
Out[38]:
458.5661259101348
In [39]:
gC.std()
Out[39]:
384.3350813871914
In [40]:
gG.std()
Out[40]:
504.11623665709163
- Die Stichprobenstreuung im gesamten Datensatz ist größer als in den einzelnen Gruppen.
- Der Unterschied kommt daher, dass sich die Gruppenmittelwerte stärker unterscheiden, als sich das durch Variation innerhalb der Gruppen erklären lässt
In [41]:
ax = sns.boxplot(pingus_mit_gewichtsangabe, y='body_mass_g', x='species');
In [42]:
sns.boxplot(pingus_mit_gewichtsangabe, y="body_mass_g", ax=ax)
ax.figure
Out[42]:
- der Boxplot zeigt den Interquartilabstand und nicht die Streuung
- unsere Daten sind aber normalverteilt, daher verhalten sind Streuung und Interquartilabstand ähnlich
- in der tatsächlich benutzen Formel kommt anstelle der Stichprobenstreuung die Varianz vor, daher der Name "Analysis of Varianz"
Heteroskedastizität¶
- Die ANOVA vergleicht die Varianzen innerhalb der einzelnen Gruppen mit der Varianz im gesamten Datensatz, um die Unterschiede zwischen den Gruppen zu untersuchen
- À priori geht das erstmal nur, wenn die Varianzen innerhalb der Gruppen gleich sind
- Ein Datensatz ist heteroskedastisch, wenn die verschiedenen Gruppen unterschiedliche Varianz haben
- Sonst ist er homoskedastisch
Der Levene-Test¶
Der Levene-Test testet auf Gleichheit der Varianzen
Beispiel¶
Drei verschiedene Lehrmethoden werden angewandt. Die Ergebnisse der Probandinnen und Probanden im Abschlusstest werden verglichen. Führen verschiedene Lehrmethoden zu unterschiedlichen Ergebnissen?
In [43]:
la = [42, 115, 73, 58, 64, 100, 112, 112, 52, 70,
152, 215, 176, 97, 145, 100, 82, 94, 165, 97]
lb = [165, 165, 152, 173, 225, 173, 136, 145, 188, 155,
197, 233, 236, 264, 200, 252, 258, 212, 145, 273]
lc = [236, 185, 339, 255, 264, 325, 267, 215, 233, 295,
255, 264, 224, 245, 248, 309, 264, 273, 294, 230]
Test auf Heteroskedastizität
In [44]:
stats.levene(la, lb, lc)
Out[44]:
LeveneResult(statistic=0.6457341109631508, pvalue=0.5280694573759905)
- Der p-Wert ist 0.53. Die Daten sind homoskedastisch.
- Wir können also mit der ANOVA fortfahren
In [45]:
stats.f_oneway(la, lb, lc)
Out[45]:
F_onewayResult(statistic=67.41573785674238, pvalue=9.5327270117002e-16)
Beispiel: Barsche¶
Es werden Barsche gleichen Alters verglichen
In [46]:
barsche = pd.read_csv('barsche.csv')
barsche.head()
Out[46]:
| Art | Länge | |
|---|---|---|
| 0 | gestreift | 9.890006 |
| 1 | gestreift | 9.343944 |
| 2 | gestreift | 9.867069 |
| 3 | gestreift | 10.302781 |
| 4 | gestreift | 10.066964 |
In [47]:
sns.boxplot(data=barsche, x="Art", y="Länge");
Sieht heteroskedastisch aus.
In [48]:
ds = barsche[barsche.Art=='gestreift'].Länge
dl = barsche[barsche.Art=='gefleckt'].Länge
db = barsche[barsche.Art=='blau'].Länge
dr = barsche[barsche.Art=='braun'].Länge
In [49]:
stats.levene(ds, dl, dr, db)
Out[49]:
LeveneResult(statistic=13.459492972830807, pvalue=1.3472893996510424e-07)
Probleme beim Test auf Heteroskedastizität¶
- Die Nullhypothese beim Levene-Test ist
$H_0$: Die Daten sind homoskedastisch
- Ein Hypothesentest "beweist" nie die Nullhypothese
- bei starken Indizien dagegen lehnt er sie ab
- bei starken Indizien dafür behält er sie bei
- bei unklaren Indizien behält er sie auch bei
- um zu erkennen, ob der Levene-Test Heteroskedastizität überhaupt erkennen kann, wäre eine Poweranalyse für den Levene-Test nötig, das ist aber unrealistisch
- auch das andere Extrem ist möglich: Der Stichprobenumfang ist so groß, dass kleine Unterschiede schon signifikant werden
👁️eyeballing (scharfes Hinsehen)
Alexander-Govern-Test¶
Wenn die Daten heteroskedastisch, aber normalverteilt sind, dann rechnet man einen Alexander-Govern-Test
In [50]:
stats.alexandergovern(ds, dl, dr, db)
Out[50]:
AlexanderGovernResult(statistic=113.40810114676775, pvalue=2.02668339537414e-24)
Im homoskedastischen Fall ist der Alexander-Govern-Tests natürlich ebenfalls zulässig, sein p-Wert ist dann aber meist schlechter als der von f_oneway
In [51]:
stats.alexandergovern(la, lb, lc)
Out[51]:
AlexanderGovernResult(statistic=56.82538049315829, pvalue=4.576415099851209e-13)
Zum Vergleich
In [52]:
stats.f_oneway(la, lb, lc)
Out[52]:
F_onewayResult(statistic=67.41573785674238, pvalue=9.5327270117002e-16)
Für die Posthoc-Analyse des Alexander-Govern-Tests benötigt man den Welch-Test, mit dem die morgige Stunde begonnen wird.