Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2025/26

03.02.2026

© 2026 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Wiederholung (interaktiv)¶

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Themen¶

  • ANOVA als Lineares Modell
  • Regression im exponentiellen Mpdell
  • Logistische Regression
In [1]:
import numpy as np
np.set_printoptions(legacy='1.21')
import seaborn as sns
sns.set_theme()
sns.set_context('talk')
import pandas as pd
from scipy import stats
import statsmodels.formula.api as smf  #   <-----  neu

ANOVA als Lineares Modell¶

In [2]:
zitronen = pd.read_csv("http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~braun/bio2425/zitronen.csv")
In [3]:
zitronen.head()
Out[3]:
Vitamin_C_Gehalt Land
0 494.5 Spanien
1 499.2 Spanien
2 494.3 Spanien
3 478.0 Spanien
4 500.1 Spanien
In [4]:
zitronen.Land.value_counts()
Out[4]:
Land
Spanien         8
Italien         8
Griechenland    8
Marokko         8
Indien          8
Name: count, dtype: int64
In [5]:
import statsmodels.stats.anova as smf_anova
In [6]:
formel = "Vitamin_C_Gehalt ~ Land"
modell = smf.ols(formel, zitronen)
res = modell.fit()
In [7]:
tabelle = smf_anova.anova_lm(res)
tabelle
Out[7]:
df sum_sq mean_sq F PR(>F)
Land 4.0 4378.44650 1094.611625 11.873758 0.000003
Residual 35.0 3226.56125 92.187464 NaN NaN
  • Der p-Wert ist derselbe wie in Lektion 22
  • tabelle ist ein DataFrame
  • Die Einträge unter Residual sind die Ergebnisse von Zwischenrechnungen
  • Sie werden bsp. bei der Bestimmung der Effektstärke benötigt
  • Die Nachkommastellen des p-Werts erhalten wir wie folgt
In [8]:
tabelle['PR(>F)'].Land
Out[8]:
3.3733416696760257e-06

Die gemäß Bonferroni-Holm korrigierten p-Werte für die Paarvergleiche erhalten wir wie in Lektion 22

In [9]:
from statsmodels.sandbox.stats.multicomp import MultiComparison
In [10]:
muc = MultiComparison(zitronen.Vitamin_C_Gehalt, zitronen.Land)
In [11]:
multitest = muc.allpairtest(stats.ttest_ind, method='holm')
multitest[0]
Out[11]:
Test Multiple Comparison ttest_ind FWER=0.05 method=holm alphacSidak=0.01, alphacBonf=0.005
group1 group2 stat pval pval_corr reject
Griechenland Indien -4.9524 0.0002 0.0019 True
Griechenland Italien 1.113 0.2845 0.5689 False
Griechenland Marokko -3.5339 0.0033 0.0231 True
Griechenland Spanien -1.9478 0.0718 0.2153 False
Indien Italien 6.2008 0.0 0.0002 True
Indien Marokko 0.3183 0.7549 0.7549 False
Indien Spanien 3.3226 0.005 0.0302 True
Italien Marokko -4.3312 0.0007 0.0055 True
Italien Spanien -3.3042 0.0052 0.0302 True
Marokko Spanien 2.2786 0.0389 0.1556 False

Das sind andere Zahlen als bei res.summary, weil res.summary die Treatments nur mit dem Default vergleicht und nicht untereinander

Effektstärke bei der ANOVA¶

In [12]:
tabelle
Out[12]:
df sum_sq mean_sq F PR(>F)
Land 4.0 4378.44650 1094.611625 11.873758 0.000003
Residual 35.0 3226.56125 92.187464 NaN NaN

Die Effektstärke ist der Bruch $$ \eta^2 = \frac{sum_{sq}[Land]}{sum_{sq}[Land] + sum_{sq}[Residual]} $$

In [13]:
eta2 = tabelle.sum_sq['Land'] / (tabelle.sum_sq['Land']+tabelle.sum_sq['Residual'])
eta2
Out[13]:
0.5757320234157529

Interpretation der Effektstärke für Cohen's $\eta^2$¶

r-Wert Interpretation
0.01 geringer Effekt
0.06 mittlerer Effekt
0.14 starker Effekt

Wir haben einen sehr starken Effekt

Regression im exponentiellen Modell¶

Beispiel Covid-Erkrankungen¶

In [14]:
corona = pd.read_csv('corona.csv')
corona.head()
Out[14]:
Tag (im März) Anzahl
0 3 38
1 4 52
2 5 109
3 6 185
4 7 150
In [15]:
ax = sns.scatterplot(data=corona, x="Tag (im März)", y="Anzahl");
No description has been provided for this image
  • Das Wachstum war exponentiell
  • Es gab aber Schwankungen durch unterschiedliche Verzögerungen der Berichte der Gesundheitsämter

Halblogarithmische Darstellung¶

Bei halblogarithmischer Darstellung

  • ist die $x$-Achse linear skaliert: Gleiche absolute Zuwächse pro Längeneinheit
  • ist die $y$-Achse logarithmisch skaliert: Gleiche relative Zuwächse pro Längeneinheit
  • Das bedeutet: Der Logarithmus der Daten wird angezeigt, und die $y$-Achse wird entsprechend unterteilt
  • Exponentiell wachsende Daten liegen bei halblogarithmischer Darstellung annäherend auf einer wachsenden Geraden, exponentiell fallende auf einer fallenden Geraden
In [16]:
ax.set_yscale('log')
ax.figure
Out[16]:
No description has been provided for this image

Exponentielles Modell vs. Lineare Regression¶

  • Lineares Modell: in gleichen Zeitabständen gleiche absolute Zuwächse
  • Exponentielles Modell: in gleichen Zeitabständen gleiche relative Zuwächse
  • Biologische Wachstums- oder Abklingprozesse verlaufen meistens exponentiell
  • Aufgabe der Regression im exponentiellen Modell ist es, bei Wachstumsprozessen die Verdoppelungszeit und bei Abklingprozessen die Halbwertszeit zu bestimmen
  • Dies geschieht, indem man die Werte logarithmiert und dann deren lineare Regression berechnet

Regression im exponentiellen Modell¶

  • $x$ die Zeit, $z$ Daten, die exponentiell wachsen (bzw. abklingen)
  • Modellgleichung für Wachstumsprozess: $$ z = c \cdot e^{m\cdot x} $$
  • logarithmierte Modellgleichung $$ y = \ln(z) = \ln(c) + m \cdot x $$
  • bestimme diese Gerade durch lineare Regression
  • wenn $m < 0$, dann Abklingprozess
In [17]:
corona['logAnzahl'] = np.log(corona.Anzahl)
corona['Tag'] = corona['Tag (im März)']
In [18]:
formel = 'logAnzahl ~ Tag'
modell = smf.ols(formel, corona)
res = modell.fit()
In [19]:
res.summary()
Out[19]:
OLS Regression Results
Dep. Variable: logAnzahl R-squared: 0.960
Model: OLS Adj. R-squared: 0.958
Method: Least Squares F-statistic: 458.1
Date: Tue, 03 Feb 2026 Prob (F-statistic): 9.25e-15
Time: 10:19:40 Log-Likelihood: -2.9636
No. Observations: 21 AIC: 9.927
Df Residuals: 19 BIC: 12.02
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept 3.4410 0.151 22.728 0.000 3.124 3.758
Tag 0.2260 0.011 21.403 0.000 0.204 0.248
Omnibus: 0.968 Durbin-Watson: 1.597
Prob(Omnibus): 0.616 Jarque-Bera (JB): 0.816
Skew: -0.438 Prob(JB): 0.665
Kurtosis: 2.594 Cond. No. 34.1


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
  • m = 0.226
  • b = 3.441

Die Regressionsgerade für die logarithmierten Daten ist $$ y = 0.226 \cdot x + 3.441 $$

In [20]:
tage = np.arange(3, 24)
gerade = 0.226*tage + 3.441
In [21]:
titel = "Die logarithmierten Daten zusammen mit ihrer Regressionsgerade"
ax2 = sns.scatterplot(x=corona.Tag, y=corona.logAnzahl)
sns.lineplot(x=tage, y=gerade)
ax2.set_title(titel);
No description has been provided for this image
In [22]:
titel = "Die exponentierte Regressionskurve in halblogarithmischer Darstellung"
sns.lineplot(x=tage, y=np.exp(gerade), ax=ax)
ax.set_title(titel)
ax.figure
Out[22]:
No description has been provided for this image
In [23]:
titel = "Die exponentierte Regressionskurve in linearer Darstellung"
ax.set_title(titel)
ax.set_yscale('linear')
ax.figure
Out[23]:
No description has been provided for this image

Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit¶

(aus Lektion 2)

  • Modell eines Wachstumsprozesses $$ z = c \cdot e^{m\cdot x} $$
  • Verdoppelungszeit $t$ bestimmt durch $$ e^{m\cdot t} = 2 $$
  • Also $$ t = \frac{\ln 2}m $$
  • Bei Abklingprozessen ist $m < 0$, dann ist $$ t = -\frac{\ln 2}m $$ die Halbwertszeit

Im Beispiel Covid¶

In [24]:
m = 0.226
In [25]:
t = np.log(2) / m
t
Out[25]:
3.067022922831616

Die Verdoppelungszeit betrug 3.07 Tage

In [26]:
sns.regplot(corona, x="Anzahl", y="Tag (im März)", logx=True);
No description has been provided for this image

Logistische Regression¶

  • Wenn die abhängige Variable nur die Werte 0 und 1 annehmen kann, kann eine logistische Regression durchgeführt werden
  • Meistens steht dann 0 für "Nein" und 1 für "Ja"
In [27]:
titanic = sns.load_dataset('titanic')
titanic.head()
Out[27]:
survived pclass sex age sibsp parch fare embarked class who adult_male deck embark_town alive alone
0 0 3 male 22.0 1 0 7.2500 S Third man True NaN Southampton no False
1 1 1 female 38.0 1 0 71.2833 C First woman False C Cherbourg yes False
2 1 3 female 26.0 0 0 7.9250 S Third woman False NaN Southampton yes True
3 1 1 female 35.0 1 0 53.1000 S First woman False C Southampton yes False
4 0 3 male 35.0 0 0 8.0500 S Third man True NaN Southampton no True
In [28]:
formel = "survived ~ sex + age + embark_town + C(pclass)"
  • pclass wird durch eine Zahl angegeben
  • C(pclass) bedeutet, dass diese Variable trotzdem kategoriell verstanden werden soll
In [29]:
modell = smf.logit(formel, titanic)
res = modell.fit()

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.451318
         Iterations 6
  • Im Gegensatz zu smf.ols ist smf.logit nichtlinear
  • Im Hintergrung läuft ein nichtlineares Optimierungsprogramm ab
  • Wir sehen die Statusmeldung des Optimierungsprogramms
In [30]:
res.summary()
Out[30]:
Logit Regression Results
Dep. Variable: survived No. Observations: 712
Model: Logit Df Residuals: 705
Method: MLE Df Model: 6
Date: Tue, 03 Feb 2026 Pseudo R-squ.: 0.3312
Time: 10:19:41 Log-Likelihood: -321.34
converged: True LL-Null: -480.45
Covariance Type: nonrobust LLR p-value: 1.013e-65
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
Intercept 4.0368 0.431 9.371 0.000 3.193 4.881
sex[T.male] -2.5158 0.209 -12.020 0.000 -2.926 -2.106
embark_town[T.Queenstown] -0.8142 0.568 -1.434 0.152 -1.927 0.299
embark_town[T.Southampton] -0.4937 0.267 -1.850 0.064 -1.017 0.029
C(pclass)[T.2] -1.1446 0.291 -3.938 0.000 -1.714 -0.575
C(pclass)[T.3] -2.4096 0.291 -8.275 0.000 -2.980 -1.839
age -0.0361 0.008 -4.677 0.000 -0.051 -0.021
In [31]:
anfrage = pd.DataFrame()
anfrage['sex'] = ['male', 'male', 'female']
anfrage['embark_town'] = ['Southampton', 'Southampton', 'Southampton']
anfrage['age'] = [35, 45, 45]
anfrage['pclass'] = [1,2,3]
anfrage
Out[31]:
sex embark_town age pclass
0 male Southampton 35 1
1 male Southampton 45 2
2 female Southampton 45 3
In [32]:
res.get_prediction(anfrage).summary_frame()
Out[32]:
predicted se ci_lower ci_upper
0 0.441399 0.054207 0.339307 0.548697
1 0.149196 0.030443 0.098769 0.219110
2 0.379875 0.059188 0.272391 0.500592

Beispiel Klausurergebnis und Übungspunkte¶

  • Die abhängige Variable ist ein Klausurergebnis: bestanden ja (=1) und nein (=0)
  • Die abhängige Variable ist kategoriell
  • muss aber als 0 und 1 kodiert sein
  • Erklärende Variablen können quantitativ oder kategoriell sein
  • im Beispiel: In die Klausur eingebrachte Übungspunkte ksp
  • quantitativ von 0 bis 6
In [33]:
kl = pd.read_csv('bsp_logit.csv')
kl.head()
Out[33]:
bestanden ksp
0 0 6.0
1 1 6.0
2 0 3.0
3 1 6.0
4 0 6.0
In [34]:
formel = "bestanden ~ ksp"
modell = smf.logit(formel, kl)
res = modell.fit()

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.480427
         Iterations 6
In [35]:
res.summary()
Out[35]:
Logit Regression Results
Dep. Variable: bestanden No. Observations: 184
Model: Logit Df Residuals: 182
Method: MLE Df Model: 1
Date: Tue, 03 Feb 2026 Pseudo R-squ.: 0.1364
Time: 10:19:41 Log-Likelihood: -88.399
converged: True LL-Null: -102.36
Covariance Type: nonrobust LLR p-value: 1.267e-07
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
Intercept -1.1447 0.470 -2.434 0.015 -2.066 -0.223
ksp 0.5044 0.100 5.024 0.000 0.308 0.701
  • Der Einfluss der Übungspunkte auf das Klausurergebnis ist hochsignifikant
In [36]:
anfrage = pd.DataFrame()
anfrage['ksp'] = np.linspace(0, 6, 50)
sns.lineplot(x=anfrage.ksp, y=res.get_prediction(anfrage).summary_frame()['predicted']);
No description has been provided for this image

Wir sehen nur einen kleinen Ausschnitt aus der logistischen Kurve. Wir ergänzen den Datenbereich der erklärenden Daten um unsinnige Werte, um die Gestalt der logistische Kurve zu zeigen

In [37]:
anfrage = pd.DataFrame()
anfrage['ksp'] = np.linspace(-10, 15, 150)
sns.lineplot(x=anfrage.ksp, y=res.get_prediction(anfrage).summary_frame()['predicted']);
No description has been provided for this image
  • Die logistische Kurve ist $$ y = \frac1{1+e^{-b - m \cdot x}} $$
  • Logistische Regression findet die optimale Annäherung an die Datenpunkte durch eine logistische Kurve

jitter: Verwackeln der Datenpunkte, damit sich mehrere Punkte beim scatterplot nicht gegenseitig verdecken

In [38]:
sns.regplot(kl, x='ksp', y='bestanden', logistic=True, y_jitter=0.08, x_jitter=0.2, marker='.');
No description has been provided for this image

Morgen Probeklausur¶