Prof. Dr. Nicolas Perrin: Seminar zur Algebraischen Topologie: algebraische Kurven



Fakten

Zeit und Raum: Mittwoch 10:30-12:00, 2522.03.73.

Anmeldung: Per Email an perrin@math.uni-duesseldorf.de.

Webseite: http://www.math.uni-duesseldorf.de/~perrin/AGI/sem-ag1.html.

Das Buch: Algebraic curves, An Introduction to Algebraic Geometry von William Fulton ist online verfügbar: hier.

Vorkenntnisse: Um am Seminar teilnehmen zu können sind LAI, LAII und Algebra empfohlen. Dieses Seminar ist als Komplement zur Vorlesung Einfüuhrung in die algebraische Geometrie gedacht. Algebraische Geometrie ist nicht als Vorkenntnis notwendig.


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Programm

Das detaillierte Programm: befindet sich hier


Einleitung

In diesem Seminar werden wir die einfachste algebraische Varietäten studieren: algebraische Kurven in der Ebene. Eine algebraische Varietät ist eine Menge die als Menge aller Nullstellen von Polynome definiert ist. Algebraische Geometrie bewschäftigt sich mit algebraischen Varietäten. Algebraische Kurven in der Ebene sind dank einem Polynom definiert. Beispiele von algebraischen Kurven sind Geraden und Kegelschnitte. Kurven die dank einem Polynom des Grades 3 definiert sind, sind auch wichtig und haben eine geometrischen Gruppenstruktur. Wir wollen auch die glattheit und die Singularitäten von Kurven in der Ebene betrachten und die Anzahl von Punkten im Schnitt von zwei Kurven bestimmen (Satz von Bezout).

Im ersten Teil werden wir die algebraische Teilmengen definieren und studieren. Wir werden eine Korrespondenz zwischen Ideale und algebraische Teilmengen erstellen und diese Mengen dank die Eigenschaften des Ideals studieren.

Im zweiten Teil werden wir die Funktionen und die Abbildungen zwischen algebraische Teilmengen definieren und studiren. In diesem Abschnitt geht man tiefer in die kommutative Algebra.

Im dritten Teil werden wir die lokale Eigenschaten der Kurven studieren. Insbesondere werde wir glatte und singuläre Kurve defnieren und die Vielfachheit von Punkten und Schnitte definieren.

Im vierten Teil werden wir der projektive Raum einführen und die projektive Varietäten. Diese Varietät haben einen Vorteil: die sind kompakt (die unendliche algebraische Teilmengen sind nicht kompakt). Wir werden projektive und affine Varietäten vergleichen.

Im funften Teil werden wir weitere Eigenschaften der Kurven in der Ebene betachten. Wir werden den Satz von Bezout zeigen und auch, dass eine glatte Kurve des Grades 3 eine geometrische Gruppenstruktur hat.



Letzte Änderung: 13.07.2014.