Prof. Dr. Nicolas Perrin: Seminar zur Algebra: endlich-dimensionale Algebren



Fakten

Zeit und Raum: Montag 14:30-16:00, 2522.00.72.

Anmeldung: Per Email an perrin@math.uni-duesseldorf.de.

Webseite: http://www.math.uni-duesseldorf.de/~perrin/SEMINARE/sem-fd-alg.html.

Das Buch: Finite-dimensional algebra von Y. Drozd und V. Kirichenko. Springer-Verlag, Berlin, 1994 kann man aus dem Netwerk der Universität auf der folgenden Webseite herunterladen

Vorkenntnisse: Um am Seminar teilnehmen zu können sind LAI, LAII empfohlen. Algebra ist ein plus aber kein muss. Dieses Seminar ist als Komplement zur Vorlesung ``Kommutative Algebra'' gedacht aber wird fast keine Gemeinsamkeit mit dieser Vorlesung haben: die Algebren werden nicht kommutativ sein.


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Was ist Ihre Aufgabe? Bitte lesen Sie was Prof. Dr. Manfred Lehn geschrieben hat: hier


Programm

Das detaillierte Programm: befindet sich hier


Einleitung

In diesem Seminar werden wir endlich-dimensionale (nicht kommutative) Algebren erforschen. Endlich-dimensionale Körpererweiterungen sind die einfachste Beispiele solcher Algebren. Die Algebren die nur invertierbare Elemente haben (Divisionsalgebren oder Schiefkörpern) sind weitere Beispiele.

Ziel des Seminars ist diese Algebren die halbeinfach sind zu klassifizieren.

Wir werden zeigen (Wedderburn-Artin Theorem), dass jede halbeinfache endlich-dimensionale Algebra zu einer Matrix-Algebra mit Koeffizienten in einer Divisionsalgebra isomorph ist. Damit ist die Klassifizierung aller halbeinfachen endlich-dimensionalen Algebren äquivalent zu der Klassifizierung aller Divisionsalgebren.

Im letzten Teil des Seminars werden wir Divisionsalgebren erforschen. Modulo Körper Erweiterung sind Divisionsalgebren isomorph zu Matrixalgebren. Wir werden am Ende des Seminars eine Gruppe definieren: die Bauergruppe die alle zentrale einfache Algebren klassifiziert. Für den Körper der reelen Zahlen werden wir diese Gruppe bestimmen.

Im ersten Teil werden wir die Grundlagen der Theorie endlich-dimnesionaler Algebren durcharbeiten: Definition, Moduln, Darstellungen, Jordan-Hölder Filtrierung und Peirce-Zerlegung.

Im zweiten Teil werden wir die halbeinfache Algebren definieren und den Satz von Weddernburn-Artin beweisen: halbeinfache Algebren sind Matrix-Algebren.

Im dritten Teil werden wir das Radikal definiren. Eine Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn das Radikal trivial ist. Wir wollen die Eigenschften des Radikal durchsuchen und verstehen wie man mit nicht halbeinfachen Algebren arbeiten kann.

Im vierten Teil werden wir Divisionsalgebren genauer betrachten. Wir werden die zentrale einfache Algebren dank der Brauergruppe klassifizieren.

Im funften Teil werden wir weitere Eigenschaften der Kurven in der Ebene betachten. Wir werden den Satz von Bezout zeigen und auch, dass eine glatte Kurve des Grades 3 eine geometrische Gruppenstruktur hat.



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