Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf - Mathematisches Institut - Vorlesung über partielle Differenzialgleichungen II

Vorlesung über partielle Differenzialgleichungen II (WiSe 2018/19)

Die Vorlesung wird gehalten von Apl. Prof. Dr. Axel Grünrock.

Verantwortlich für die Übungen ist: Apl. Prof. Dr. Axel Grünrock .

Zeit und Ort: Mo., 10.30-12.30 Uhr in 2522.03.73 und Mi., 14.30-16.30 Uhr in 2522.03.73

Inhalt: Zunächst gibt es noch einen Nachtrag zur Vorlesung PDE I, in dem wir uns mit inhomogenen linearen und semilinearen Gleichungen auf der Basis der Halbgruppentheorie beschäftigen. Der Hauptteil der Vorlesung wird lineare und semilineare Wellengleichungen im engeren Sinne (klassische Wellen- , Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen) zum Gegenstand haben. Klassische Integraldarstellungen der Lösungen des Cauchy-Problems für die lineare Gleichung sollen ebenso zum Beweis von Raum-Zeit-Abschätzungen vom Strichartz-Typ herangezogen werden, wie Fourierdarstellungen. Als Hilfsmittel aus der harmonischen Analysis spielt hierbei die Methode der stationären Phase eine wichtige Rolle. Beispielhaft werden einige semilineare Probleme behandelt, bei denen die Strichartz-Abschätzungen allein schon zu lokaler Wohlgestelltheit führen. Um die Struktur der Nichtlinearitäten in die Untersuchung mit einbeziehen und ausnutzen zu können, verwenden wir Klainerman-Machedon-Bourgain-Normen, sehr ähnlich zu dem Vorgehen bei dispersiven Gleichungen.
Leistungsnachweis: Die erfolgreiche Teilnahme an der Veranstaltung wird durch eine (voraussichtlich mündliche) Prüfung am Semesterende nachgewiesen.

Das Vorlesungsmanuskript wird im Lauf des Semesters erstellt und ist dann hier erhätlich.

Kapitel 4. Nachtrag zur Vorlesung PDG I

Kapitel 1. Zur Einführung

1	Gleichungen und Anfangswertprobleme

Kapitel 2. Lineare Gleichungen

2.3 Der Satz von Lumer-Phillips 2.4 Adjungierte Operatoren und der Satz von Stone

2.1	Integraldarstellungen der Lösungen
2.2	Stationäre Phase und time decay
2.3	Strichartz-Abschätzungen
2.3.1	Für die Klein-Gordon-Gleichung
2.3.2	Für die Wellengleichung

Kapitel 3. Semilineare Probleme

3.3 Die Schrödinger-Gleichung in L^2(Omega, C)

3.1	Anwendungen der Strichartz-Abschätzungen
3.2	Wave Sobolev spaces

Die Übungen zur Vorlesung sind immer freitags, 12:30-14:00 Uhr in 2522.00.81. Übungsbeginn ist am 26.10.2018. (3. SW.) Abgabe der Aufgabenblätter stets montags in der Vorlesung, beginnend mit dem 22.10.2018. (Das erste Aufgabenblatt erscheint dann also am Montag, dem 15.10.2018.) Abgabe zu zweit ist erwünscht.

Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10 Beachten Sie bitte die Korrektur in A 20, Teil (b) und P7, Teil (e)!
Blatt 11
Blatt 12

Dozent:

Di 16.00-17.00 Uhr in 25.22.03.48 (oder n.V.)

Cazenave, Thierry; Haraux, Alain: Introduction to semilinear Evolution Equations
Sauvigny, Friedrich: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik 1
Hörmander, Lars: The analysis of linear partial differential operators I
Selberg, Sigmund; Lecture Notes
Selberg, Sigmund; Multilinear space-time estimates and applications to local existence theory for nonlinear wave equations (PhD, Thesis)

Loukas Grafakos: Classical Fourier Analysis
Stein, Elias: Oscillatory Integrals in Fourier Analysis, in Beijing Lectures in Harmonic Analysis, 1986

Letzte Änderung: 30.01.2019