Seminar Differentialtopologie - Wintersemester 2025/26

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Dozent

Prof. Immanuel Halupczok (Sprechzeiten: nach Vereinbarung)

Termine

Mo, 8:45-10:15, Raum 25.22.U1.74
Vorbesprechung: Mo 13.10., 14:30-16:30, Raum 25.22.U1.74 (d.h. am ersten Termin des Seminars)

Voraussetzungen

Mindestens lineare Algebra 1 und 2 und Analysis 1 und 2; Analysis 3 ist und/oder Einführung in die Topologie ist nützlich aber nicht notwendig. Das Seminar richtet sich eher an etwas erfahrenere Studierende (z.B. ab dem 5. Semester), die insbesondere schon vorher in einem (Pro-)Seminar vortragen haben.

Anmeldung

Wenn Sie Interesse haben, kontaktieren Sie mich am besten möglichst bald per Mail (gerne auch, wenn Sie noch nicht sicher sind, ob Sie teilnehmen möchten). Wenn Sie schon eine Vorstellung haben, für welches Vortragsthema Sie sich interessieren, können wir das gerne schon per Mail besprechen.

Falls am Vorbesprechungstermin noch Plätze frei sind, ist es auch möglich, sich dann vor Ort noch anzumelden.

Ablauf

Jede(r) Teilnehmer(in) hält einen 75-minütigen Vortrag zu einem vorher festgelegten Thema. Danach sind noch 15 Minuten Zeit für Fragen, Feedback und Diskussion.
Jeder Vortrag muss mindestens eine Woche vorher mit mir besprochen werden. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie Ihren Vortrag schon vollständig vorbereitet und zeitlich geplant haben. Bitte kontaktieren Sie mich rechtzeitig per Mail, um einen Termin für diese Besprechung zu vereinbaren.
In den Vorbesprechungen (s.o.) werden organisatorische Dinge geklärt, die Themen vorgestellt, Fragen beantwortet und Vortragsthemen vergeben.

Themen

Haupt-Quelle für dieses Seminar ist das Buch Topology from the Differentiable Viewpoint von Milnor. Das zentrale Thema sind glatte Untermannigfaltigkeiten von $\mathbb{R}^n$ (wie z. B. die Sphäre $S^{n-1}$). Insbesondere werden behandelt: Tangentialräume, der Satz von Sard, der Abbildungsgrad, Vektorfelder und deren Index, ...

Provisorische Liste der Vortragsthemen:

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
Glatte Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, Differentiale, Satz über inverse Funktionen.
Literatur: [Mil65, §1, bis S. 7 unten]
(Optional:) Drei abstrakte Definitionen des Tangentialraums
Geometrische, algebraische und physikalische Definition des Tangentialraums, Äquivalenz dieser Begriffe.
Literatur: [Jänich: Vektoranalysis, 2.2-2.3]
Ein-dimensionale Mannigfaltigkeiten und reguläre Werte
Klassifikation der 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, reguläre Werte, Anwendung auf den Fundamentalsatz der Algebra.
Literatur: [Mil65, Appendix und §1 ab S. 7 unten ("reguläre Werte")]
Der Satz von Sard.
Erklärung der Aussage und des Beweises.
Literatur: [Mil65, §3]
Anwendungen des Satzes von Sard
Der Satz von Brown; Untermannigfaltigkeiten mit Rand; Der Fixpunktsatz von Brouwer.
Literatur: [Mil65, §2]
Der Abbildungsgrad modulo 2
Glatte Homotopien und Isotopien; Existenz von genügend Diffeomorphismen; Der Grad modulo 2 ist wohldefiniert.
Literatur: [Mil65, §4]
Orientierte Mannigfaltigkeiten und Abbildungsgrad
Orientierungen, Grad von Brouwer, Theorem A (wohldefiniertheit vom Grad); Theorem B (Homotopien und Grad), Vektorfelder auf Sphären ("Satz vom gekämmten Igel"); Aussage des Satzes von Hopf (S. 31 unten)
Literatur: [Mil65, §5]
Vektorfelder und die Euler-Charakteristik, Teil 1
Der Index; Wohldefiniertheit vom Index (Lemmas 1 und 2); Aussage von Poincaré-Hopf; Lemmas 1, 2 und 3.
Literatur: [Mil65, §6 bis Seite 36 unten.]
Vektorfelder und Euler-Charakteristik, Teil 2
Der Index an nicht-gegenerierten Nullstellen; Theorem 1 (vereinfachte Version von Poincaré-Hopf); Berechnung der Euler-Charakteristik in Beispielen; Skizze vom Beweis von Poincaré-Hopf.
Literatur: [Mil65, §6 ab Seite 37]
Gerahmter Kobordismus und Pontryaginkonstruktion, Teil 1
Rahmungen; Kobordismus; Theorem A (Pontryagin-Mannigfaltigkeiten sind gerahmt kobordant); Produktumgebungen.
Literatur: [Mil65, §7, bis Mitte der Seite 47]
Gerahmter Kobordismus und Pontryaginkonstruktion, Teil 2
Theoreme B und C (gerahmte Kobordismusklassen entsprechen Homotopieklassen von Abbildungen); Das Theorem von Hopf.
Literatur: [Mil65, §7, ab Mitte der Seite 47]

Bei all den Themenvorschlägen können (und sollten) Sie sich selbst noch aussuchen, was genau Sie machen: Welche Sätze wollen Sie vorstellen? Wie viele Details von den Beweisen wollen Sie geben? Was für Beispiele wollen Sie geben? Welche Voraussetzungen aus anderen Kapiteln sollten Sie vorher erklären, damit es verständlich wird?

Termine

Bei den folgenden Terminen wird sich sicher noch einiges nach hinten verschieben...

13.10.: Vorbesprechung
20.10.: Dario: Differnzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
27.10.: Fortsetzung
3.11.: Ricarda: Ein-dimensionale Mannigfaltigkeiten und reguläre Werte
10.11.: Maxim: Der Satz von Sard
(17.11.: Seminar fällt aus)
24.11.: Fortsetzung
1.12.: Fortsetzung
8.12.: Mohamed: Anwendungen des Satzes von Sard
15.12.: Jannis: Der Abbildungsgrad modulo 2
(22.12.: Weihnachtsferien)
(29.12.: Weihnachtsferien)
5.1.: Moritz: Orientierte Mannigfaltigkeiten und Abbildungsgrad
12.1.: Immi: Vektorfelder und die Euler-Charakteristik, Teil 1
(19.1.: Seminar fällt aus)
26.1.: Immi: Vektorfelder und die Euler-Charakteristik, Teil 2
2.2.: tba

Tipps zur Vortragsvorbereitung

Ziel: netter Vortrag: Das Ziel Ihres Vortrags sollte sein, Ihr Thema so vorzustellen, dass es für die anderen Seminarteilnehmer:innen interessant ist. Mir ist es wichtig, dass die Zuhörer Spaß an Ihrem Vortrag haben, und nicht, ob irgendwelche Beweise vollständig von vorne bis hinten vorgetragen werden.
Erst selbst verstehen: Bevor Sie Ihren Vortrag planen, sollten Sie selbst Ihr Thema richtig verstanden haben. Es ist nicht möglich, einen guten Vortrag über etwas zu halten, was man selbst nicht vestanden hat. Wenn Sie Verständnisschwierigkeiten haben, unterstütze ich Sie gerne. (Dafür bin ich da.) Kontaktieren Sie mich bitte rechtzeitig.
Nicht zu viel machen: Nachdem Sie viel Zeit darin investiert haben, etwas zu vestehen, werden Sie vielleicht das Bedürfnis haben, das auch alles vorzutragen. Wahrscheinlich werden Sie aber viel mehr Material haben, als in 75 Minuten passen; Ihre Aufgabe ist also insbesondere, eine geeignete Auszuwahl zu treffen. Insbesondere sollten Sie Beweise oder technische Details weglassen, die langweilig oder (in der Kürze der Zeit) unverständlich wären. Statt dessen werden Dinge oft durch Beispiele viel verständlicher. (Sie können sich überlegen: Wie würden Sie selbst sich eine Vorlesung zu Ihrem Thema wünschen?) Ich kann gerne behilflich sein, gute Beispiele zu finden.