Seminar zur Modelltheorie - surreale Zahlen - Wintersemester 2023/24

Dozent

Prof. Immanuel Halupczok (Sprechzeiten: nach Vereinbarung)

Termine

Mo, 14:30-16:00, Raum 25.22.03.73
Vorbesprechung: Mo 9.10., 14:30-16:00, Raum 25.22.03.73 (d.h. am ersten Termin des Seminars)

Voraussetzungen

Einführung in die Modelltheorie

Anmeldung

Wenn Sie Interesse haben, kontaktieren Sie mich am besten möglichst bald per Mail (gerne auch, wenn Sie noch nicht sicher sind, ob Sie teilnehmen möchten). Wenn Sie schon eine Vorstellung haben, für welches Vortragsthema Sie sich interessieren, können wir das gerne schon per Mail besprechen.

Falls am Vorbesprechungstermin noch Plätze frei sind, ist es auch möglich, sich dann vor Ort noch anzumelden.

Ablauf

Jede(r) Teilnehmer(in) hält einen 75-minütigen Vortrag zu einem vorher festgelegten Thema. Danach sind noch 15 Minuten Zeit für Fragen, Feedback und Diskussion.
Jeder Vortrag muss mindestens eine Woche vorher mit mir besprochen werden. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie Ihren Vortrag schon vollständig vorbereitet und zeitlich geplant haben. Bitte kontaktieren Sie mich rechtzeitig per Mail, um einen Termin für diese Besprechung zu vereinbaren.
In den Vorbesprechungen (s.o.) werden organisatorische Dinge geklärt, die Themen vorgestellt, Fragen beantwortet und Vortragsthemen vergeben.

Termine

9.10.: Vorbesprechung
16.10.: Stefan: Definition der surrealen Zahlen
(23.10.: Seminar fällt aus)
30.10.: Florian L: Die surrealen Zahlen bilden einen angeordneten Ring
6.11.: Luca: Division von surrealen Zahlen 1
13.11.: Luca: Division von surrealen Zahlen 2
20.11.: Gedeon: Jede reelle Zahl ist surreal
27.11.: Sebastian: Größenordnungen
(4.12.: Seminar fällt aus)
11.12.: Daniel: Surreale Zahlen als Potenzreihen in $\omega$
18.12.: Jeremias: Rechnen mit Potenzreihen in $\omega$
(25.12.: 1. Weihnachtsfeiertag)
(1.1.: Neujahr)
8.1.: Immi: $\operatorname{No}$ ist reell abgeschlossen 1
15.1.: Immi: $\operatorname{No}$ ist reell abgeschlossen 2 + Vorbereitung für den Gast-Vortrag
22.1.: Dugald Macpherson (Gast): Simple groups definable in Henselian fields
Abstract: We consider a `definably almost simple group' $G$ definable in the valued field sort of a henselian valued field $K$ of characteristic 0, or more generally in certain expansions of such fields by analytic structure. The main theorem is that there is a $K$ isotropic simple algebraic group $H$ defined over $K$ such that $G$ is very close to $H(K)$. The same result holds, under a linearity assumption on $G$, if $K$ is a pure algebraically closed valued field of characteristic $p$. This is joint work with Gismatullin and Halupczok, stimulated by earlier discussions with Simonetta. It complements recent work of Halevi, Hasson and Peterzil, who show for example that any definably semisimple group $G$ interpretable in a $p$-adically closed field $K$ is (modulo a finite normal subgroup) definably isomorphic to a $K$-linear group.
29.1.: tba

Details zu den Vorträgen

Angaben in eckigen Klammern beziehen sich auf die unten stehende Literatur. Manche der Vorträge können evtl. noch geteilt werden.

Vortrag 1: Definition der surrealen Zahlen
[MM 2.1] [Gon 2 A-C] [Con, S. 3-16 und 29-30]
Original-Definition der surrealen Zahlen $\mathbf{No}$ nach Conway, inkl. Ordnungsrelation und Gleichheit
Eigenschaften der Ordnungsrelation [Con S.16]
Geburtstag einer surrealen Zahl
Beispiele (insbes. Ordinalzahlen als surreale Zahlen)
Beschreibung von $\mathbf{No}$ als Baum (siehe [Gon])
Die "einfacher-als"-Relation $\lt_s$.
Das Kofinalitäts-Theorem [MM 2.3] Das inverse Kofinalitäts-Theorem [MM 2.4]
Vortrag 2: Die surrealen Zahlen bilden einen angeordneten Ring
[MM S. 5] [Gon 3 A,B] [Con, S. 16-20]
Definition von $+, -, \cdot, 0, 1$; prüfe beispielhaft ein Wohldefiniertheit (bzw. die "Uniformitätseigenschaft") und ein paar Ringaxiome
Vortrag 3: Division von surrealen Zahlen
[MM, erste Hälfte von Thm 2.7] [Gon 3 C] [Con S. 21, 22]
$\mathbf{No}$ ist ein Körper
Evtl: Positive surreale Zahlen haben eine Wurzel
Vortrag 4: Jede reelle Zahl ist surreal
[MM, zweite Hälfte von Thm 2.7] [Gon 4 A-C] [Con, S. 23-27]
evtl. Beschreibung aller endlich langen surrealen Zahlen
$\mathbb{R} \subset \mathbf{No}$
evtl.: Welche surrealen Zahlen sind genau die reellen Zahlen?
Vortrag 5: Größenordnungungen
[Gon 5 B] [Con S. 31-32]
"Größenordnungs"-Bewertung
die Abbildung $x \mapsto \omega^x$
Vortrag 6: Surreale Zahlen als Potenzreihen in $\omega$
[MM Thm 2.10] [Gon 5 C bis S. 63] [Con S. 32-33]
Definition von Potenzreihen in $\omega$; und: Jede surreale Zahl lässt sich eindeutig als eine solche Potenzreihe schreiben (Conway-Normal-Form) [Gon Thm 5.6]
Vortrag 7: Rechnen mit Potenzreihen in $\omega$
[Gon 5 C ab S. 64]
Summen und Produkte von Potenzreihen sind "das, was man denken würde" [Gon Thm 5.7 und 5.8]; Beispiel-Anwendung: $n$-te Wurzeln von positiven surrealen Zahlen [Gon Thm 5.9]
Vortrag 8: $\mathbf{No}$ ist reell abgeschlossen
[MM Thm 2.13 (1)] [Gon 5 D] [Con 39-43]
Evtl. auch: $\mathbf{No}$ enthält alle reell abgeschlossenen Körper [MM Thm 2.13 (2)] [Con Thm 28]
Weitere Vorträge zu Themen aus [MM]...

Literatur:

[MM]: Mantova, Matusinski: Surreal Numbers with Derivation, Hardy Fields and Transseries: a Survey
Gibt einen schönen Überblick über surreale Zahlen; enthält keinerlei Beweise oder Details, gibt aber Referenzen an
[Con]: Conway: On Numbers and Games
Die Originalquelle. Gibt's nicht elektronisch, aber dafür auch auf deutsch. (Die obigen Seitenangaben beziehen sich auf die englische Version.) Ist etwas weniger präzise als typische mathematische Bücher; das macht es aber auch leichter zu lesen.
[Gon]: Gonshor: An introduction to the theory of surreal numbers
Alles präzise; dafür auch sehr lang.
[Knu]: Insel der Zahlen eine zahlentheoretische Genesis im Dialog
Die Definition der surrealen Zahlen in eine Geschichte verpackt.

Tipps zur Vortragsvorbereitung

Das Ziel Ihres Vortrags sollte sein, Ihr Thema so vorzustellen, dass es für die anderen Seminarteilnehmer interessant ist. Mir ist es wichtig, dass die Zuhörer Spaß an Ihrem Vortrag haben, und nicht, ob irgendwelche Beweise vollständig von vorne bis hinten vorgetragen werden. (Das wichtigste, was Sie selbst dabei lernen sollten, ist nicht die Mathematik, sondern wie man mathematische Vorträge hält.)
Bevor Sie Ihren Vortrag planen, sollten Sie selbst Ihr Thema richtig verstanden haben. Es ist nicht möglich, einen guten Vortrag über etwas zu halten, was man selbst nicht vestanden hat. Wenn Sie Verständnisschwierigkeiten haben, kann ich Sie unterstützen; kontaktieren Sie mich bitte rechtzeitig.
Nachdem Sie viel Zeit darin investiert haben, etwas zu vestehen, werden Sie vielleicht das Bedürfnis haben, das auch alles vorzutragen. Wahrscheinlich werden Sie aber viel mehr Material haben, als in 75 Minuten passen; Ihre Aufgabe ist also inbesondere, eine geeignete Auszuwahl zu treffen. Insbesondere sollten Sie Beweise oder technische Details weglassen, die langweilig oder (in der Kürze der Zeit) unverständlich wären. Statt dessen werden Dinge oft durch Beispiele viel verständlicher. (Sie können sich überlegen: Wie würden Sie selbst sich eine Vorlesung zu Ihrem Thema wünschen?)