Mathematisches Institut der Universität Düsseldorf Prof. Dr. H. Ratschek

WS 2005/06 25.10.05 Blatt 1

Übungen zu Math. Opt. I

1. (2P) Man beweise die “Variante der Taylorformel” für beliebige n ≥ 1.

2. (1P) Man bestimme die Menge der zulässigen Punkte (über die Hilfsmengen Z_{1}(x) und Z_{2}(x)) für

M = {x ∈ IR^{2} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≤ 1 und x_{1}, x_{2} ≥ 0} in x = (1 0).

3. Sei f : IR^{n} → IR aus C^{k} in U(x^{∗}), x^{∗} ∈ IR^{n}, k ≥ 2. Dann sind Q_{r}(h) = (h · ∇)^{r} f(x^{∗}) (Multiindexschreibweise) für 1 ≤ r ≤ k homogene Polynome in h ∈ IR^{n} vom Grade r. Seien Q_{r}(h) für 1 ≤ r ≤ k − 1 Nullpolynome.

(a) (3P) Ist Q_{k}(h) nicht semidefinit, ist x^{∗} keine Extremalstelle.

(b) (2P) Ist Q_{k}(h) positiv definit, ist x^{∗} Minimalstelle.

4. (2P) Man suche eine Minimalstelle von

f(x) = 2x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}^{2} − 6x_{1} − 7x_{2} − 8x_{3} + 9.

Abgabe: Mo., 31.10.2005, 14.00 Uhr