Mathematisches Institut der Universität Düsseldorf Prof. Dr. H. Ratschek

WS 2005/06 02.11.2005 Blatt 2

Übungen zu Mathematische Optimierung I

5. (1P) Sei K ⊆ IR^{n} konvex mit f: IR^{n} → IR stetig differenzierbar auf K. Man zeige, daß f streng konvex auf K genau dann ist, wenn für alle x, y ∈ K mit x ≠ y gilt

f(y) > f(x) + (y − x)^{T} ∇f(x).

6. (2P) Sei f(x) = x_{1}^{3} − x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{2}^{2}, M_{1} = {x ∈ IR^{2}: x_{1} > 0, x_{2} > 0} und M_{2} = {x ∈ IR^{2}: x_{1} ≥ 0, x_{2} ≤ 0}. Überprüfen Sie unter Ausnutzung der Sätze der Vorlesung, ob f über M_{1} bzw. M_{2} relative Minimalstellen besitzt.

7. (2P) Sei f: IR^{n} → IR aus C^{2}, und K ⊆ IR^{n} möge konvex sein und einen inneren Punkt enthalten. Dann ist f über K konvex genau dann, wenn H_{f} über K positiv semidefinit ist.

8. Eine C^{1}-Funktion f: IR^{n} → IR heißt pseudokonvex, wenn für alle x, y ∈ IR^{n}

f(y) ≥ f(x) aus (y − x)^{T} ∇f(x) ≥ 0

folgt. Man zeige:

(a) (1P) Jede über dem IR^{n} konvexe Funktion ist pseudokonvex.

(b) (1P) Die Umkehrung von (a) gilt nicht.

(c) (1P) Sei f pseudokonvex und der zulässige Bereich M konvex. Ferner gelte d^{T} ∇f(x^{∗}) ≥ 0 für alle in x^{∗} ∈ M zulässigen Richtungen d. Dann ist x^{∗} globaler Minimalpunkt von f über M.

Abgabe: Mo., 07.11.2005, 14.00 Uhr