1 Akkretive Operatoren¶
V §3.2: Numerischer Wertebereich
V §3.10: Halbbeschränkte und akkretive Operatoren
Unbeschränkte Operatoren in Hilberträumen sind in der Einführung in die Funktionalanalysis besprochen worden. Darauf kann verwiesen werden. Von den Problemen kann eine Auswahl vorgestellt werden. Problem 3.31 wird später verwendet.
2 Die Wurzel eines m-akkretiven Operators¶
III §5.3: Der Begriffs des determinierenden Bereichs
V §3.11: Die Wurzel eines m-akkretiven Opeartors
Der englische Begriff „core“ wird im Buch von Weidmann mit „determinierender Bereich“ übersetzt. Der Rest von Abschnitt III §5.3 ist aus der Vorlesung bekannt.
Theorem 3.35 wird später benutzt. Der Beweis zefällt in viele kleine Teile, die möglicherweise nicht alle vorgerechnet werden können.
3 Halbbeschränkte Formen¶
VI §1.1: Sesquilineare und quadratische Formen
VI §1.2: Halbbeschränkte Formen
Von den Beispielen in §1.2 sollten mindestens 1.4 und 1.5 vorgestellt werden.
4 Abgeschlossene Formen¶
VI §1.3: Abgeschlossene Formen, ohne Theoreme 1.11 und 1.16
VI §1.4: Abschließbare Formen, ohne Theorem 1.22
VI §1.6: Summen von Formen, nur Theorem 1.31
Die Beispiele 1.14, 1.15, 1.24 und 1.25 aufbauend auf 1.4 und 1.5 aus dem vorigen Vortrag, sollten vorgestellt werden
5 Der erste Darstellungssatz¶
VI §2.1: Der erste Darstellungssatz
VI §2.2: Beweis des ersten Darstellungssatzes (ohne Beweis von Theorem 1.16)
6 Die Friedrichs-Erweiterung¶
VI §1.3: Theorem 1.16 mit Beweis aus §2.2
VI §2.3: Die Friedrichs-Erweiterung
Die Friedrichs-Erweiterung ist auch für den Speziallfall symmetrischer Operatoren ein wichtiges Konzept.
In § 2.4 finden sich weitere Beispiele. Eventuell können sich die Vortragenden dieses und des nächsten Abschnitts absprechen und ein oder zwei der Beispiele aus § 2.4 bereits in diesem Vortrag vorstellen.
7 Anwendungen des ersten Darstellungssatzes¶
VI §2.4
Man sollte tatsächlich die Beispiele 2.14 bis 2.17 alle vorstellen. Sie bauen auf auf den Beispielen aus dem Vortrag über Abgeschlossene Formen. Problem 2.18 sieht interessant aus, verlangt aber Kenntnisse aus früheren Kapiteln.
8 Der zweite Darstellungssatzes¶
VI 2.6: Der zweite Darstellungssatz.
Benötigt den zweiten Vortrag. Beispiel 2.31 sollte dabei sein.
9 Polarzerlegung¶
VI 2.7: Die Polarzerlegung eines abgeschlossenen Opeartors
Inklusive des selbstadjungierten Falls
10 Differentialgleichungen und Sesquilinearformen¶
VI 4.1: Gewöhnliche Differentialgleichungen
VI 4.2: Die Dirichlet-Form und der Laplace-Opeartors
11 Schrödinger Operatoren und Sesquilinearformen¶
VI 4.3: Schrödinger-Operatoren
Alle Kapitelnummern beziehen sich auf Kato: Perturbation Theory for Linear Opeartors, als E-Book erhältlich (im VPN)