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Seminar Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Themen

R. W. Braun

1) Hamilton-Jacobi Gleichung

Ausarbeitung nach Evans

  • 3.2.5.c: Die charakteristischen Gleichungen der Hamilton-Jacobi Gleichung

  • 3.3.1: Die Hamiltonschen Gleichungen

2) Die Legendre Transformation und die Formel von Hopf und Lax

Ausarbeitung nach Evans, baut auf Vortrag 1 auf

  • 3.3.2 bis Beweis von Theorem 4

3) Starke Lösungen der Hamilton-Jacobi Gleichung

Ausarbeitung nach Evans, baut auf den Vorträgen 1 und 2 auf

  • 3.3.2 ab Lemma 1

4) Schwache Lösungen der Hamilton-Jacobi Gleichung

Ausarbeitung nach Evans, baut auf den Vorträgen 1 bis 3 auf

  • 3.3.3

Dieser Vortrag kann zu einer Bachelorarbeit ausgebaut werden

5) Solitonen

Ausarbeitung nach Evans

  • 4.2.1.a: Exponentiallösungen (nur so viele der Beispiele, dass der zweite Teil vollständig vorgestellt werden kann)

  • 4.2.1.b: Solitonen

Dieser Vortrag kann zu einer Bachelorarbeit ausgebaut werden

6) Die Differentialgleichung von Burgers

Ausarbeitung nach Evans

  • 4.4.1, vor allem Teil b: Herleitung einer konkreten Lösung

  • 4.5.2: Asymptotik dieser Lösung mit der Laplace-Methode

7) Potentialfunktionen

Ausarbeitung nach Evans, baut auf Vortrag 6 auf

  • 4.4.2: Die Eulerschen Gleichungen und das Bernoullische Gesetz

  • 4.4.3.a: Beispiel einer hodografischen Transformation

8) Nichtcharakteristische Flächen

Ausarbeitung nach Evans

  • 4.6.1: Nichtcharakteristische Flächen

  • 4.6.2: Reell analytische Funktionen

9) Der Satz von Cauchy-Kovalevsky

Ausarbeitung nach Evans, baut auf Vortrag 8 auf

  • 4.6.3: Beweis des Satzes von Cauchy-Kovalevsky mit der Majorisierungsmethode

Dieser Vortrag kann zu einer Bachelorarbeit ausgebaut werden

10) Beispiel einer Reaktions-Diffusions Gleichung

Ausarbeitung nach Evans

  • 4.2.1.c

11) Existenzsatz für die Lösungen der Reaktions-Diffusions Gleichung

Ausarbeitung nach Jost

  • Definition der Gleichung

  • Theorem 6.1.1: Existenzsatz, der mit dem Banachschen Fixpunktsatz gezeigt wird

  • Lemmata 6.1.1 und 6.1.2 als Beweishilfsmittel

  • Korollar 6.1.1

12) Reaktions-Diffusions Systeme

Ausarbeitung nach Jost, baut auf Vortrag 11 auf

  • Lemma 6.1.3: Vergleichssatz

  • zugehöriges Beispiel

  • Abschnitt 6.2 (die unvollständigen Beweise bleiben unvollständig)

13) Das Reaktions-Diffusions System von Turing

Ausarbeitung nach Jost, baut auf den Vorträgen 11 und 12 auf

  • Abschnitt 6.3

Dieser Vortrag kann zu einer Bachelorarbeit ausgebaut werden

14) Das Phragmén-Lindelöf Prinzip und der Hadamardsche Dreigeraden-Satz

Ausarbeitung nach Simon.

  • Theorem 3.6.8: Hadamardscher Dreikreisesatz

  • Theorem 5.1.2 und 5.1.6 und was man dazu braucht: Das Prinzip von Phragmén-Lindelöf

  • Theorem 5.2.1: Der Hadamardsche Dreigeraden-Satz

Vortrag aus dem Bereich der Funktionentheorie; nicht zur Vertiefung geeignet

15) Der Interpolationssatz von Riesz-Thorin

Ausarbeitung nach Werner, baut auf Vortrag 14 auf

  • Kapitel II.4 ohne den Beweis des Dreigeraden-Satzes

Dieser Vortrag kann zu einer Bachelorarbeit ausgebaut werden

16) Fréchet-Differenzierbarkeit von Normen

Ausarbeitung nach Werner

  • III.5.1 - III.5.3 und Beispiele

Dieser Vortrag kann zu einer Bachelorarbeit ausgebaut werden

17) Extremalstellen von Funktionalen

Ausarbeitung nach Werner, baut auf Vortrag 16 auf

  • III.5.4 - III.5.9

Literatur

  • Evans, L.: Partial Differential Equations

  • Jost, J.: Partial Differential Equations

  • Simon, B.: Basic Complex Analysis

  • Werner, D.: Einführung in die Funktionalanalysis