Géométrie algèbrique/Algebraic geometry

Un théorème du point fixe de Lefschetz en géométrie d’Arakelov

Kai KÖHLER

Mathematisches Institut, Wegelerstr. 10, D-53115 Bonn, Allemagne, E-mail: koehler@rhein.iam.uni-bonn.de

Damian ROESSLER

Institut fuer Mathematik, Unter den Linden 6, 10099 Berlin, Allemagne, E-mail: roessler@mathematik.hu-berlin.de

Résumé– On considère des variétés arithmétiques munies d’une action du schéma en groupes des n-ième racines de l’unité et on définit la K_{0}-théorie arithmétique équivariante pour ces variétés. On énonce ensuite un théorème de Riemann-Roch pour la transformation naturelle de la K_{0}-théorie arithmétique équivariante induite par la restriction au schéma des points fixes et on montre qu’il implique une version de la conjecture de Bismut d’un théorème de Riemann-Roch arithmétique équivariant.

A Lefschetz fixed point theorem in Arakelov geometry

Abstract – We consider arithmetic varieties endowed with an action of the group scheme of n-th roots of unity and we define equivariant arithmetic K_{0}-theory for these varieties. We then state a Riemann-Roch theorem for the natural transformation of equivariant arithmetic K_{0}-theory induced by the restriction to the fixed point scheme and we show that it implies a version of Bismut’s conjecture of an equivariant arithmetic Riemann-Roch theorem.

1 Préliminaires

Soit μ_{n} := Spec Z[T]/(1 − T^{n}) le schéma en groupes des n-ièmes racines de l’unité. On fixe un générateur g de μ_{n}(C). Un schéma μ_{n}-équivariant admettant une immersion fermée équivariante dans un espace projectif muni d’une action de μ_{n} sera dit μ_{n}-projectif (sur Z). Soit f : Y → Z un schéma régulier, μ_{n}-projectif et plat sur Z. On dénote par Y_{μ_{n}} le sous-schéma fermé des points fixes de Y; c’est un schéma régulier (voir [10, Prop. 3.1, p. 455]) que l’on supposera plat sur Z pour simplifier. On écrira Y (C) pour la variété analytique des points complexes de Y. Cette variété porte par construction l’action holomorphe du groupe μ_{n}(C) des n-ièmes racines de l’unité. La conjugaison complexe induit un automorphisme antiholomorphe F_{∞} de Y (C). On définit A^{p,p}(Y_{μ_{n}}) comme l’ensemble des formes différentielles complexes ω de type (p, p) sur Y_{μ_{n}}(C) satisfaisant l’équation F_{∞}^{∗}ω = (−1)^{p}ω. On pose alors Ã(Y_{μ_{n}}) := ⊕_{p≥0}(A^{p,p}(Y_{μ_{n}})/(Im∂ + Im\overline{∂})). On appelle fibré hermitien équivariant \overline{E} := (E, h, a) la donnée d’un fibré vectoriel algébrique sur Y muni d’une action a de μ_{n} relevant l’action de μ_{n} sur Y (voir [11, Par. 1]) et d’une métrique hermitienne h sur le fibré holomorphe E_{C} associé à E sur Y (C), invariante par F_{∞} et a. Si l’action de μ_{n} sur Y est triviale, on appellera simplement fibré hermitien, un fibré hermitien équivariant muni également d’une action triviale. Fixons un fibré hermitien équivariant \overline{E}. Les propriétés des schémas en groupes diagonalisables (voir [9, Par. 3.4, p. 47]) montrent que la donnée de l’action de μ_{n} sur la restriction E|_{Y_{μn}} de E à Y_{μ_{n}} est équivalente à la donnée d’une Z/(n)-graduation sur E|_{Y_{μn}}. Les termes de cette graduation sont orthogonaux entre eux. On obtient ainsi une décomposition canonique en somme directe orthogonale de fibrés hermitiens équivariants \overline{E}_{m}: \overline{E}|_{Y_{μn}} ≃ ⨁_{m∈Z/(n)} \overline{E}_{m}. Par ailleurs, écrivons Ω^{E} ∈ C^{∞}(Y (C), End(E_{C}) ⊗ A^{1,1}(Y (C))) pour la forme de courbure associée à l’unique connexion de E_{C} qui est de type (1, 0) et est compatible avec la structure hermitienne. On écrira alors ch_{g}(\overline{E}) pour la forme différentielle complexe Tr(g.exp(\frac{i}{2π} Ω^{E})) sur Y_{μ_{n}}(C), où g dénote l’automorphisme de E_{C}|_{Y_{μn} (C)} défini par l’élément g ∈ μ_{n}(C) fixé plus haut. Dénotons par \overline{E}_{m≠0} le fibré hermitien équivariant ⨁_{m∈Z/(n),m≠0} \overline{E}_{m}. On écrira alors Todd_{g}(\overline{E}) pour la forme

différentielle Todd(\overline{E}_{0}).( ∑_{i=0}^{rg(E_{m≠0})}(−1)^{i}ch_{g}(Λ^{i}(\overline{E}_{m≠0}^{∨})))^{−1}. Ici Todd(\overline{E}_{0}) est la forme de Todd associée par les formules de Chern-Weil à l’unique connexion de E_{0C} qui est de type (1, 0) et est compatible avec la structure hermitienne; Λ^{i}(\overline{E}_{m≠0}^{∨}) est la i-tième puissance extérieure du dual de \overline{E}_{m≠0}, munie de sa structure équivariante et hermitienne naturelle. Si E : 0 → E′ → E → E′′ → 0 est une suite exacte de fibrés vectoriels équivariants sur Y et \overline{E} est la donnée de E et de métriques hermitiennes invariantes par g et F_{∞} sur E′_{C}, E_{C} et E′′_{C}, on dispose d’une classe de Bott-Chern secondaire équivariante c̃h_{g}(\overline{E}) ∈ Ã(Y_{μ_{n}}) (cf. [1, VI]).

2 Le théorème

Définition. Le groupe de Grothendieck arithmétique équivariant K̂_{0}^{μ_{n}}(Y) de Y est le groupe abélien libre engendré par les éléments de Ã(Y_{μ_{n}}) et par les classes d’isomorphismes isométriques équivariants de fibrés hermitiens équivariants, soumis aux relations

(a) Pour toute suite exacte \overline{E} comme plus haut, on a c̃h_{g}(\overline{E}) = \overline{E}′ − \overline{E} + \overline{E}′′.

(b) Si η ∈ Ã(Y_{μ_{n}}) est la somme dans Ã(Y_{μ_{n}}) de η′ et η′′, alors η = η′ + η′′ dans K̂_{0}^{μ_{n}}(Y).

Choisissons maintenant une métrique de Kähler sur Y (C), invariante par μ_{n}(C) et F_{∞}. Soit ω_{Y} sa forme de Kähler. On peut alors associer à tout fibré hermitien equivariant \overline{E} sur Y sa torsion analytique equivariante T_{g}(ω_{Y} , \overline{E}) ∈ C (pour la déf., voir [8, Par. 1]). Soit (E, h, a) un fibré hermitien équivariant sur Y tel que E est acyclique et soit η ∈ Ã(Y_{μ_{n}}). On dénote par f_{∗}E le Zmodule de type fini qui est l’image directe de E, par f_{∗}a la structure équivariante de f_{∗}E héritée de E par fonctorialité et enfin on dénote par f_{∗}h la métrique de (f_{∗}(E))_{C} héritée de E par integration le long des fibres (pour la déf., voir [12, 9.2, p. 278]). On démontre qu’il existe un unique morphisme de groupes f_{∗} : K̂_{0}^{μ_{n}}(Y) → K̂_{0}^{μ_{n}}(Z), tel que f_{∗}(\overline{E} + η) = (f_{∗}E, f_{∗}a, f_{∗}h) − T_{g}(ω_{Y} , (E, a, h)) + ∫_{Y (C)} Todd_{g}(\overline{T Y_{C}})η dans K̂_{0}^{μ_{n}}(Z), pour tout fibré hermitien équivariant \overline{E} comme plus haut.

Par ailleurs, soit θ ∈ R. Pour s ∈ C avec s > 0, on définit ζ(θ, s) := ∑_{n≥1} \frac{cos(nθ)}{n^{s}} et η(θ, s) := ∑_{n≥1} \frac{sin(nθ)}{n^{s}}. Soit R(θ, t) la série formelle de puissances

∑_{n≥1,n impair}(2ζ′(θ, −n) + ∑_{j=1}^{n} \frac{ζ(θ, −n)}{j})\frac{t^{n}}{n!} + i. ∑_{n≥0,n pair}(2η′(θ, −n) + ∑_{j=1}^{n} \frac{η(θ, −n)}{j})\frac{t^{n}}{n!}

(voir [2]). Nous aurons besoin de R(θ, (·)) qui est l’unique classe caractéristique additive définie sur les fibrés holomorphes telle que R(θ, L) = R(θ, c^{1}(L)) pour tout fibré en droites L. Soit V un fibré vectoriel équivariant sur Y. Sur Y_{μ_{n}}(C), il existe une decomposition canonique en somme directe V_{C}|_{Y_{μn} (C)} ≃ ⊕_{k=1}^{rg(V)}V_{θ_{k}} où θ_{1}, … θ_{rg(F)} ∈ [0, 2π[ et V_{θ_{k}} est le plus grand sous-fibré de V_{C}|_{Y_{μn} (C)} sur lequel l’action relevant g agit comme multiplication par e^{iθ_{k}}. On définit R_{g}(V) := ∑_{k=1}^{rg(V)} R(θ_{k}, V_{θ_{k}}). Enfin, pour formuler le théorème du point fixe, on définit l’homomorphisme ρ : K̂_{0}^{μ_{n}}(Y) → K̂_{0}^{μ_{n}}(Y_{μ_{n}}); c’est l’unique homomorphisme qui associe à un fibré hermitien équivariant sa restriction à Y_{μ_{n}} et à un élément de Ã(Y_{μ_{n}}) ce même élément. Soit encore \overline{E} un fibré hermitien équivariant sur Y. On écrit λ_{−1}(\overline{E}) pour l’élément ∑_{i=0}^{rg(E)}(−1)^{i}Λ^{i}(\overline{E}) de K̂_{0}^{μ_{n}}(Y). Soit R(μ_{n}) le groupe de Grothendieck des Z-modules projectifs et de type fini sur Z qui sont munis d’une structure de μ_{n}-comodule. Il existe un isomorphisme canonique R(μ_{n}) ≃ Z[T]/(1 − T^{n}). On considère le corps C comme une R(μ_{n})-algèbre via l’unique morphisme d’anneaux R(μ_{n}) → C qui envoie T sur g. Soit maintenant le fibré hermitien \overline{F} tel que F_{m} = 0 si m ≠ 1 et tel que \overline{F}_{1} est le fibré trivial O_{Y_{μn}} muni de sa structure métrique triviale. On considère alors K̂_{0}^{μ_{n}}(Y_{μ_{n}}) comme une R(μ_{n})- algèbre via l’unique morphisme d’anneaux qui envoie T sur \overline{F}. On fixe maintenant un élément x ∈ K̂_{0}^{μ_{n}}(Y). On dénote par \overline{N}_{Y/Y_{μn}} le fibré normal de Y_{μ_{n}} dans Y, muni de sa structure équivariante et métrique naturelle et on dénote par f^{μ_{n}} le morphisme Y_{μ_{n}} → Z. Théorème I.

(a) L’élément (λ_{−1}(\overline{N}_{Y/Y_{μn}}^{∨})) de l’anneau K̂_{0}^{μ_{n}}(Y_{μ_{n}}) ⊗_{R(μ_{n})} C possède un inverse multiplicatif.

(b) Le diagramme

K̂_{0}^{μ_{n}}(Y) ⟶^{(λ_{−1}(\overline{N}_{Y /Yμ_{n}}^{∨}))^{−1}.(1−R_{g}(N_{Y /Yμ_{n}})).ρ(.)} K̂_{0}^{μ_{n}}(Y_{μ_{n}}) ⊗_{R(μ_{n})} C
↓ f_{∗}  ↓ f_{∗}^{μ_{n}}
K̂_{0}^{μ_{n}}(Z)  ⟶^{Id⊗1}  K̂_{0}^{μ_{n}}(Z) ⊗_{R(μ_{n})} C

commute.

3 Une application à la géométrie diophantienne

Soit \overline{V} un Z-module hermitien. Le Z-module V forme un réseau dans le R-espace vectoriel V_{C}^{+} qui est le sous-ensemble de V ⊗_{Z} C invariant par la conjugaison F_{∞}. On appelle covolume de \overline{V} et on écrit covol(\overline{V}) pour le volume du quotient V_{C}^{+}/V, calculé avec la forme volume héritée de la métrique de V_{C}^{+}. Soit \overline{E} := (E, a, h) un fibré hermitien équivariant sur Y. On suppose E acyclique. L’élément (f_{∗}E, f_{∗}a, f_{∗}h) est alors représenté dans K̂_{0}^{μ_{n}}(Z) par le μ_{n}-comodule hermitien \overline{Γ(E)} des sections globales de E. On se propose de calculer en terme de classes caractéristiques arithmétiques (pour la définition de ce terme, voir [7]) le covolume de \overline{Γ(E)}_{m}, pour chaque m ∈ Z/(n). Lemme.Il existe un unique morphisme de R(μ_{n})-modules mlcovol : K̂_{0}^{μ_{n}}(Z) → C, qui associe à un μ_{n}-comodule hermitien \overline{V} le nombre complexe ∑_{m∈Z/(n)} − log(covol(\overline{V}_{m})).g^{m} et à η ∈ Ã(Z) le nombre complexe correspondant. Soit h : X → Z un schéma régulier, quasi-projectif et plat sur Z. Par le symbole ĈH(X), on dénote l’anneau de Chow arithmétique de X (voir [6]). A chaque fibré hermitien \overline{V} sur X, on peut associer son caractère de Chern arithmétique ĉh(\overline{V}) ∈ ĈH(X) ⊗_{Z} Q (voir [7]). Pour chaque métrique de Kähler sur X(C), il existe un élément T̂odd(\overline{T h}) ∈ ĈH(X) ⊗_{Z} Q, qui correspond à la classe de Todd arithmétique du fibré tangent lorsque h est un morphisme lisse (voir [5, Prop. 1, p. 504]). Il existe aussi un morphisme de groupes d̂eg : ĈH(X) → R à valeurs réelles, appelé le degré arithmétique (voir [4, 2.5]). Dans les prochaines définition et théorème, E n’est pas nécessairement acyclique. Définition.Le caractère de Chern arithmétique équivariant de \overline{E} est l’élément ĉh_{μ_{n}}(\overline{E}) := ∑_{m∈Z/(n)} ĉh(\overline{E}_{m}) ⊗ g^{m} de ĈH(Y_{μ_{n}}) ⊗_{Z} C.

Le prochain théorème est une version de la conjecture de Bismut d’un théorème de Riemann-Roch arithmétique équivariant (voir [2]). Théorème II.L’égalité de nombres complexes

mlcovol(f_{∗}E, f_{∗}a, f_{∗}h)−T_{g}(ω_{Y} , \overline{E}) = d̂eg(( ∑_{i=0}^{rg(N_{Y /Yμ_{n}}^{∨})}(−1)^{i}ĉh_{μ_{n}}(Λ^{i}(\overline{N}_{Y/Y_{μn}}^{∨})))^{−1}.T̂odd(\overline{T f^{μ_{n}}}).ĉh_{μ_{n}}(\overline{E}))−

∫_{Y_{μn} (C)} Todd_{g}(T Y_{C})ch_{g}(E)R_{g}(T Y_{C})

est vérifiée. On suppose maintenant que E est acyclique. On remarque qu’il existe une immersion de schémas en groupes μ_{n/pgcd(n,m)} → μ_{n} pour tout m ∈ Z/(n). Le schéma Y ainsi que le fibré E sont ainsi naturellement μ_{n/pgcd(n,m)}-équivariants. Pour tout m, on choisit g^{m} comme générateur de μ_{n/pgcd(n,m)}(C); on peut alors appliquer le théorème précèdent à chacun des μ_{n/pgcd(n,m)} successivement et on obtient un système de n équations lineaires, qui est maximal et dont les inconnues sont les nombres log(covol(\overline{Γ(E)_{l}})) (l ∈ Z/(n)). On peut donc les déterminer explicitement.

References

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