Title: Maths / LinA
Tags: Def Satz LinA-I-06-Matrizen LinA-I-02-Gruppen LinA-I-05-Basen LinA-I-01-Mengen LinA-I-03-Ringe LinA-I-04-Vektorräume LinA-I-09-Diagonalisierbarkeit LinA-I-08-Determinante LinA-I-07-Basiswechsel

Prompt: [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (I)}
Das Komplement einer Vereinigung ist \hide{der Schnitt der Komplemente.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (I)}
Das Komplement einer Vereinigung ist der Schnitt der Komplemente.
\cite{Satz~1.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (II)}
Das Komplement eines Schnitts ist \hide{die Vereinigung der Komplemente.}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (II)}
Das Komplement eines Schnitts ist die Vereinigung der Komplemente.
\cite{Satz~1.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Urbild} eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Urbild} eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).
\cite{Def.~1.17}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Das \textbf{Urbild} einer Teilmenge \(B'\subset B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{die Menge \emph{aller} \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Das \textbf{Urbild} einer Teilmenge \(B'\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist die Menge \emph{aller} \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).
\[f^{-1}(B') = \{ a\in A\mid f(a) \in B'\}\]
\cite{Def.~1.17}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Die \textbf{Faser} eines Elements \(b\in B\) bezüglich einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{die Menge aller Urbilder von~\(b\).}
[/latex]
Answer3: [latex]
Die \textbf{Faser} eines Elements \(b\in B\) bezüglich einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist die Menge aller Urbilder von~\(b\).
\cite{Def.~1.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{injektiv}, wenn \hide{jedes \(b\in B\) \emph{höchstens} ein Urbild besitzt.}
\hint{Urbild}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{injektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{höchstens} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{surjektiv}, wenn \hide{jedes \(b\in B\) \emph{mindestens} ein Urbild besitzt.}
\hint{Urbild}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{surjektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{mindestens} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{bijektiv}, wenn \hide{jedes \(b\in B\) \emph{genau} ein Urbild besitzt.}
\hint{Urbild}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{bijektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{genau} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Umkehrabbildung} einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist eine \hide{Abbildung \(A\from B \noloc g\) in umgekehrter Richtung, sodass beide Kompositionen \(f\circ g \) und \(g\circ f\) jeweils die Identität sind.}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Umkehrabbildung} einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist eine Abbildung \(A\from B \noloc g\) in umgekehrter Richtung, sodass beide Kompositionen \(f\circ g \) und \(g\circ f\) jeweils die Identität sind.
\cite{Def.~1.20}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Isomorphismus von Mengen} ist eine \hide{Abbildung von Mengen, die eine Umkehrabbildung besitzt (oder: die bijektiv ist). }
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{Isomorphismus von Mengen} ist eine Abbildung von Mengen, die eine Umkehrabbildung besitzt (oder: die bijektiv ist).
\cite{Def.~1.20}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie \hide{bijektiv} ist.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie \emph{bijektiv} ist.
\cite{Satz~1.23}
[/latex]

Prompt: [latex]
Zwei Mengen sind \textbf{isomorph}, wenn \hide{es eine Bijektion\slash einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. }
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei Mengen sind \textbf{isomorph}, wenn es eine Bijektion\slash einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
\bigskip
(Äquivalente Ausdrucksweisen:\par Die Mengen haben dieselbe Kardinalität.\par Die Mengen haben dieselbe Mächtigkeit. Die Mengen sind gleich mächtig.)
\cite{Def.~1.20/Bem.~1.25}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zwei Mengen \textbf{haben dieselbe Kardinalität}, wenn \hide{es eine Bijektion\slash einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. }
[/latex]
Answer2: [latex]
Zwei Mengen \textbf{haben dieselbe Kardinalität}, wenn es eine Bijektion\slash einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
\bigskip
(Äquivalente Ausdrucksweise:\par Die Mengen sind isomorph. Die Mengen sind gleich mächtig. Die Mengen haben dieselbe Mächtigkeit.)
\cite{Def.~1.24/Bem.~1.25}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sind $X$ und $Y$ \hide{endliche} Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
\cite{Satz 1.26}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit \hide{gleich vielen } Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Relation} auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \hide{\(M\times M\). }
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Relation} auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \(M\times M\).
\cite{Def~1.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \(R_\sim\subset M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\[
x\sim y \quad\text{ bedeutet }\quad \phantom{(x,y)\in R_\sim}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \(R_\sim\subset M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\[
x\sim y \quad\text{ bedeutet }\quad (x,y)\in R_\sim
\]
\cite{Def~1.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{reflexiv}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{reflexiv}, falls
\[
x\sim x \text{ für alle } x \in M.
\]
\cite{Def~1.28}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{symmetrisch}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{symmetrisch}, falls
\[
x\sim y \quad\Leftrightarrow\quad y\sim x
\]
für alle \(x,y\in M\).
\cite{Def~1.28}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{transitiv}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{transitiv}, falls
\[
(x\sim y \text{ und } y \sim z) \quad\Rightarrow\quad x\sim z
\]
für alle \(x,y,z\in M\).
\cite{Def~1.28}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\dots\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
\cite{Def~1.28}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\dots\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\dots
\end{center}
Relation.
[/latex]

Prompt: [latex]
Die zu einer Abbildung \(f\colon M \to N\) gehörige Äquivalenzrelation auf \(M\) ist gegeben durch
\[
x\sim_f y \quad:\Leftrightarrow \quad \phantom{f(x) = f(y).}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Die zu einer Abbildung \(f\colon M \to N\) gehörige Äquivalenzrelation auf \(M\) ist gegeben durch
\[
x\sim_f y \quad:\Leftrightarrow \quad f(x) = f(y).
\]
\cite{Bsp.~iv nach Def~1.26}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Äquivalenzklasse} \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Äquivalenzklasse} \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus allen Elementen \(y\) mit \(y\sim x\).
\cite{Def.~1.28}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Quotientenmenge} \[M/\!\sim \quad\quad\text{(„\(M\) modulo \(\sim\)“)}\] einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Quotientenmenge} \[M/\!\sim \quad\quad\text{(„\(M\) modulo \(\sim\)“)}\] einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus allen Äquivalenzklassen von \(M\) bezüglich \(R_\sim\).
\cite{Def.~1.29}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Mengen}
Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Mengen}
Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen
\[
A/\!\sim_f \;\xrightarrow{\quad\cong\quad}\; f(A).
\]
\cite{Satz~1.32}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine (binäre) \textbf{Verknüpfung} auf einer Menge \(M\) ist \hide{eine Abbildung \(M\times M\to M\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine (binäre) \textbf{Verknüpfung} auf einer Menge \(M\) ist eine Abbildung \(M\times M\to M\).
\cite{Def.~2.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{assoziativ}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{assoziativ}, falls gilt:
\[
x\star(y\star z) = (x\star y)\star z
\]
für alle \(x,y,z \in M\).
\cite{Def.~2.2}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{kommutativ}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{kommutativ}, falls gilt:
\[
x\star y = y\star x
\]
für alle \(x,y \in M\).
\cite{Def.~2.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{neutrales Element} einer Verknüpfung \(\star\) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{neutrales Element} einer Verknüpfung \(\star\) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt:
\[
e\star x = x = x\star e
\]
für alle \(x\in M\).
\cite{Def.~2.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(\star\) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element~\(e\).
Ein \textbf{inverses Element} zu \(x\in M\) ist ein \(y\in M\), für das gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \(\star\) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element~\(e\).
Ein \textbf{inverses Element} zu \(x\in M\) ist ein \(y\in M\), für das gilt:
\[
x\star y = e = y\star x
\]
\cite{Def.~2.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} besteht aus einer Menge \(G\) und aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} besteht aus einer Menge \(G\) und aus einer Verknüpfung
\(\star\) auf \(G\).
\cite{Def.~2.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\dots\)
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
\cite{Def.~2.3}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\dots\)
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] \(\dots\)
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Gruppe \((G,\star)\) ist \textbf{abelsch}, falls \hide{die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Gruppe \((G,\star)\) ist \textbf{abelsch}, falls die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist.
\cite{Def.~2.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
In einer Gruppe \((G,\cdot)\) ist das Inverse eines Produkts \(x\cdot y\) gegeben durch
\[
(x\cdot y)^{-1} = \hide{y^{-1}\cdot x^{-1}}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
In einer Gruppe \((G,\cdot)\) ist das Inverse eines Produkts \(x\cdot y\) gegeben durch
\[
(x\cdot y)^{-1} = y^{-1}\cdot x^{-1}
\]
\textit{--- Reihenfolge beachten!}
\cite{Satz~2.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Untergruppe} einer Gruppe \((G,\cdot)\) ist eine Teilmenge \(H\subset G\), für die gilt:
\begin{enumerate}
\item Die Verknüpfung \(\cdot\) lässt sich \hide{ einschränken zu einer Verknüpfung \(H\times H\to H\).}
\item \hide{Zusammen mit der eingeschränkten Verknüpfung ist \(H\) selbst wieder eine Gruppe.}
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Untergruppe} einer Gruppe \((G,\cdot)\) ist eine Teilmenge \(H\subset G\), für die gilt:
\begin{enumerate}
\item Die Verknüpfung \(\cdot\) lässt sich einschränken zu einer Verknüpfung \(H\times H\to H\).
\item Zusammen mit der eingeschränkten Verknüpfung ist \(H\) selbst wieder eine Gruppe.
\end{enumerate}
\cite{Def.~2.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \hide{\(1_G \in H\)}
\item \(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)
\item \(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(1_G \in H\)
\item \(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)
\item \(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~2.9}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(1_G \in H\)
\item \hide{\(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)}
\item \(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(1_G \in H\)
\item \(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)
\item \hide{\(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)}
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star)\to(H,\ast)\) ist ein \textbf{Gruppenhomomorphismus}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star)\to(H,\ast)\) ist ein \textbf{Gruppenhomomorphismus}, falls gilt:
\[
f(g_1\star g_2) = f(g_1)\ast f(g_2)
\]
für alle \(g_1,g_2 \in G\).
\cite{Def.~2.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Kern} eines Gruppenhomomorphismus \[f\colon G_1\to G_2\] besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Kern} eines Gruppenhomomorphismus \[f\colon G_1\to G_2\] besteht aus allen Elementen von \(G_1\), die auf das neutrale Element von \(G_2\) abgebildet werden.
\cite{Def.~2.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Linksnebenklasse} eines Gruppenelements \(g\) bezüglich einer Untergruppe \(H\) von \((G,\star)\) ist die Teilmenge
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Linksnebenklasse} eines Gruppenelements \(g\) bezüglich einer Untergruppe \(H\) von \((G,\star)\) ist die Teilmenge
\[
g\star H := \{g\star h \mid h\in H\}.
\]
\cite{Def.~2.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Untergruppe ist \textbf{normal}, wenn \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Untergruppe ist \textbf{normal}, wenn Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
\bigskip
(\(g\star H = H\star g\) für alle \(g\in G\).)
\cite{Def.~2.19}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die Menge aller Linksnebenklassen einer Untergruppe besitzt eine natürliche Gruppenstruktur, sofern \hide{die Untergruppe normal ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die Menge aller Linksnebenklassen einer Untergruppe besitzt eine natürliche Gruppenstruktur, sofern die Untergruppe normal ist.
\bigskip
(In diesem Fall sind Linksnebenklassen gleich Rechtsnebenklassen, und die Menge aller dieser Nebenklassen mit obiger Gruppenstruktur heißt Quotientengruppe.)
\cite{Satz \& Def.~2.21}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) einer Gruppe modulo einer normalen Untergruppe besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) einer Gruppe modulo einer normalen Untergruppe besteht aus den (Rechts = Links)\allowbreak Nebenklassen von \(H\) in \(G\).
\cite{Satz \& Def.~2.21}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{\(n\)-stellige Permutation} ist \hide{eine bijektive Abbildung}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{\(n\)-stellige Permutation} ist eine bijektive Abbildung
\[
\{1,\dots, n\} \xrightarrow{\quad\cong\quad} \{1,\dots,n\}
\]
\cite{Def~2.26}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) besteht aus \hide{allen \(n\)-stelligen Permutationen.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) besteht aus allen \(n\)-stelligen Permutationen.
\cite{Def~2.27}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) ist die Menge aller \(n\)-stelliger Permutationen zusammen mit \hide{der Komposition} als Verknüpfung.
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) ist die Menge aller \(n\)-stelliger Permutationen zusammen mit der Komposition als Verknüpfung.
\cite{Def~2.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Fehlstand} einer Permutation \(\sigma\in S_n\) ist \hide{eine zwei-elementige Teilmenge \(\{i,k\}\subseteq\{1,\dots, n\}\) mit}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Fehlstand} einer Permutation \(\sigma\in S_n\) ist eine zwei-elementige Teilmenge \(\{i,k\}\subseteq\{1,\dots, n\}\) mit
\begin{align*}
&& i&<k &&\text{ und } &\sigma(i) &> \sigma(k)
\end{align*}
\cite{Def~2.29}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das \textbf{Signum} einer Permutation \(\sigma\) ist gegeben durch
\[
\signum(\sigma) := \hide{(-1)^{\text{Anzahl der Fehlstände von \(\sigma\)}}}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Das \textbf{Signum} einer Permutation \(\sigma\) ist gegeben durch
\[
\signum(\sigma) := (-1)^{\text{Anzahl der Fehlstände von \(\sigma\)}}
\]
\cite{Def~2.29}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das Signum definiert einen Gruppenhomomorphismus \(S_n\to \{\pm 1\}\). Das bedeutet:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Das Signum definiert einen Gruppenhomomorphismus \(S_n\to \{\pm 1\}\). Das bedeutet:
\[
\signum(\sigma_1\circ\sigma_2) = \signum(\sigma_1)\cdot\signum(\sigma_2)
\]
\cite{Satz~2.30}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{alternierende Gruppe} \(A_n\) ist \hide{der Kern des Signums.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{alternierende Gruppe} \(A_n\) ist der Kern des Signums.
\[
A_n := \ker(\signum\colon S_n \to \{\pm 1\})
\]
\cite{Def.~2.31}
[/latex]

Prompt: [latex]
Zwei Verknüpfungen \(+\), \(\cdot\) auf einer Menge \(R\) erfüllen die \textbf{Distributivgesetze}, falls für alle \(x,y,z\in R\) gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei Verknüpfungen \(+\), \(\cdot\) auf einer Menge \(R\) erfüllen die \textbf{Distributivgesetze}, falls für alle \(x,y,z\in R\) gilt:
\[
\begin{aligned}
(x+y)\cdot z &= (x\cdot z) + (y\cdot z) \\
z\cdot (x+y) &= (z\cdot x) + (z\cdot y)
\end{aligned}
\]
\cite{Def.~3.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Ring} besteht aus einer Menge \(R\) sowie \hide{zwei Verknüpfungen auf \(R\): einer „Addition“ \(+\) und einer „Multiplikation“ \(\cdot\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Ring} besteht aus einer Menge \(R\) sowie zwei Verknüpfungen auf \(R\): einer „Addition“ \(+\) und einer „Multiplikation“ \(\cdot\).
\cite{Def.~3.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist \(\dots\)
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
\cite{Def.~3.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\dots\)
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\dots\)
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] \(\dots\)
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem auch die Multiplikation kommutativ ist.
\cite{Def.~3.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \hide{\(f(x+y) = f(x) + f(y)\)}
\item \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)
\item \(f(1) = 1\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
\item \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)
\item \(f(1) = 1\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~3.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
\item \hide{\(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)}
\item \(f(1) = 1\)
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
\item \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)
\item \hide{\(f(1) = 1\)}
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Einheit} in einem Ring \(R\) ist ein Element, das \hide{ein multiplikatives Inverses besitzt.}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Einheit} in einem Ring \(R\) ist ein Element, das ein multiplikatives Inverses besitzt.
\cite{(Def.~3.4)}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Einheitengruppen} \(R^\times\) eines Rings \(R\) ist \(\dots\)
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Einheitengruppen} \(R^\times\) eines Rings \(R\) ist die Menge aller Einheiten zusammen mit der Multiplikation als Verknüpfung.
\cite{Def.~3.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein kommutativer Ring, in dem \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein kommutativer Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
\cite{Def.~3.5}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein \hide{kommutativer} Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein \emph{kommutativer} Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
\cite{Def.~3.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
In \hide{Körpern } und in \(\ZZ\) gilt:
\[
a\cdot b = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left( a = 0 \text{ oder } b = 0 \right)
\]
[/latex]
Answer: [latex]
In Körpern und in \(\ZZ\) gilt:
\[
a\cdot b = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left( a = 0 \text{ oder } b = 0 \right)
\]
\cite{Notiz~3.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
In Körpern und in \hide{\(\ZZ\) } gilt:
\[
a\cdot b = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left( a = 0 \text{ oder } b = 0 \right)
\]
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Ring \(\ZZ/p\ZZ\) ist genau dann ein Körper, wenn \hide{\(p\) eine Primzahl ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Ring \(\ZZ/p\ZZ\) ist genau dann ein Körper, wenn \(p\) eine Primzahl ist.
(Wir schreiben dann auch \(\FF_p := \ZZ/p\ZZ\).)
\cite{Satz~3.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Polynom} mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring \(R\) ist eine Symbol der Form
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Polynom} mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring \(R\) ist eine Symbol der Form
\[
a_n X^n + \cdots + a_2 X^2 + a_1 X^1 + a_0
\]
mit \(a_n,\dots,a_2,a_1,a_0 \in R\), \(n\in\NN_0\).
\cite{Def.~3.12}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zwei Polynome sind gleich, wenn \hide{alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Zwei Polynome sind gleich, wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.
\cite{Def.~3.12}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Polynomring} \(R[X]\) über einem kommutativen Ring \(R\) besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Polynomring} \(R[X]\) über einem kommutativen Ring \(R\) besteht aus allen Polynomen mit Koeffizienten in \(R\).
\cite{Def. \& Satz 3.13}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Grad} \(\deg(A)\) eines Polynoms \[A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i \neq 0\] ist \hide{ist der größte Index \(i\), für den der Koeffizient \(a_i\) ungleich Null ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Grad} \(\deg(A)\) eines Polynoms \[A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i \neq 0\] ist der größte Index \(i\), für den der Koeffizient \(a_i\) ungleich Null ist.
\cite{Def.~3.14}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Leitkoeffizient} eines Polynoms \(A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i\) ist \hide{der Koeffizient \(a_{\deg(A)}\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Leitkoeffizient} eines Polynoms \(A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i\) ist der Koeffizient \(a_{\deg(A)}\).
\cite{Def.~3.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Gradformel}
Seien \(A,B\) Polynome ungleich Null, mit Leifkoeffizienten \(a\) und \(b\).
Falls \hide{\(a\cdot b\neq 0\)}, so ist \hide{auch \(A\cdot B\neq 0\)}, und
\[
\deg(A\cdot B) =\deg A + \deg B
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Gradformel}
Seien \(A,B\) Polynome ungleich Null, mit Leifkoeffizienten \(a\) und \(b\).
Falls \(a\cdot b\neq 0\), so ist auch \(A\cdot B\neq 0\), und
\[
\deg(A\cdot B) =\deg A + \deg B
\]
\cite{Satz~3.15}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Gradformel}
Seien \(A,B\) Polynome ungleich Null, mit Leifkoeffizienten \(a\) und \(b\).
Falls \(a\cdot b\neq 0\), so ist auch \(A\cdot B\neq 0\), und
\[
\hide{\deg(A\cdot B) =\deg A + \deg B}
\]
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls
\begin{quote}
der Leitkoeffizient von \(B\)\\ \hide{eine Einheit ist,}
\end{quote}
so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(
A = B\cdot Q + S
\)
mit \(\deg S<\deg B\).
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls
\begin{quote}
der Leitkoeffizient von \(B\)\\
eine Einheit ist,
\end{quote}
so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(
A = B\cdot Q + S
\)
mit \(\deg S<\deg B\).
\cite{Satz~3.16}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[\dots\]
\hfill mit \(\deg S<\deg B\).
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\hfill mit \(\deg S<\deg B\).
\cite{Satz~3.16}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\begin{center}
mit \hide{deg S < deg B}.
\end{center}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\begin{center}
mit \(\deg S<\deg B\).
\end{center}
\cite{Satz~3.16}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ist \(r\in R\) eine Nullstelle von \(A\in R[X]\), so ist
\[
A = \hide{(X-r)\cdot Q}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Ist \(r\in R\) eine Nullstelle von \(A\in R[X]\), so ist
\[
A = (X-r)\cdot Q
\]
für ein \(Q\in R[X]\).
\cite{Satz~3.19}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Polynom \(A\neq 0\) \hide{über einem Körper } hat höchstens \(\deg(A)\) verschiedene Nullstellen.
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Polynom \(A\neq 0\) über einem Körper hat höchstens \(\deg(A)\) verschiedene Nullstellen.
\cite{Korollar~3.20}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein Polynom \(A\neq 0\) über einem Körper hat \hide{höchstens \(\deg(A)\) } verschiedene Nullstellen.
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item \(\dots\)
\item einer „Skalarmultiplikation“ \(\cdot\colon K\times V\to V\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item einer „Addition“ \(+\colon V\times V\to V\)
\item einer „Skalarmultiplikation“ \(\cdot\colon K\times V\to V\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~4.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item einer „Addition“ \(+\colon V\times V\to V\)
\item \(\dots\)
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist \(\dots\)
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
\cite{Def.~4.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(\dots\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \(\dots\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \(\dots\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]
Prompt5: [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(\dots\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Untervektorraum} eines Vektorraums \(V\) über \(K\) ist eine Untergruppe \(U\) von \((V,+)\)\hide{, auf die sich die Skalarmultiplikation von \(V\) einschränken lässt, und die zusammen mit dieser einsgeschränkten Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum über \(K\) ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Untervektorraum} eines Vektorraums \(V\) über \(K\) ist eine Untergruppe \(U\) von \((V,+)\), auf die sich die Skalarmultiplikation von \(V\) einschränken lässt, und die zusammen mit dieser eingeschränkten Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum über \(K\) ist.
\cite{Def.~4.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\dots\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\) für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \) für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\) für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \) für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\dots\)
\item
\(s\vec u \in U \)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(\dots\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U\)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Linearkombination} von Vektoren aus einer Menge \(M\) ist \hide{eine endliche Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren:}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Linearkombination} von Vektoren aus einer Menge \(M\) ist eine endliche Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren:
\[
\overset{\mathclap{\substack{\text{Skalare}\\\downarrow}}}{s_1}
\underset{\mathclap{\substack{\uparrow\\\text{gegebene}\\\text{Vektoren}}}}{\vec v_1} + \dots + s_n {\vec v_n}
\]
(also \(n\in \NN_0\), \(s_1,\dots,s_n \in K\), \(\vec v_1,\dots,\vec v_n \in M\))
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{lineare Hülle} \(\hull{M}\) einer Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist per Definition die Menge \hide{aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(M\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{lineare Hülle} \(\hull{M}\) einer Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist per Definition die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(M\).
\[
\hull{M} = \left\{ \sum_{i=1}^n s_i \vec v_i \;\middle\vert\; n\in \NN_0, s_i \in K, \vec v_i \in M \right\}
\]
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Hülle}
Die lineare Hülle \(\hull{M}\) ist der \hide{kleinste Untervektorraum, der \(M\) enthält.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Hülle}
Die lineare Hülle \(\hull{M}\) ist der kleinste Untervektorraum, der \(M\) enthält.
\cite{Satz~4.9}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{interne Summe} von Untervektorräumen \(U_i \subset V\) ist \hide{die lineare Hülle ihrer Vereinigung:}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{interne Summe} von Untervektorräumen \(U_i \subset V\) ist die lineare Hülle ihrer Vereinigung:
\[
\sum_i U_i := \hull{\bigcup_i U_i}
\]
\cite{Def.~4.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Vektorraumhomomorphismus}\slash\\\mbox{}\hfill eine \textbf{\(K\)-lineare Abbildung}\\
ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \hide{\(f(\vec v + \vec v') = f(\vec v) + f(\vec v')\) für alle \(\vec v, \vec v' \in V\), und}
\item[(2)] \(f(s\vec v) = sf(\vec v)\) für alle \(s\in K\), \(\vec v\in V\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Vektorraumhomomorphismus}\slash\\\mbox{}\hfill eine \textbf{\(K\)-lineare Abbildung}\\
ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \(f(\vec v + \vec v') = f(\vec v) + f(\vec v')\) für alle \(\vec v, \vec v' \in V\), und
\item[(2)] \(f(s\vec v) = sf(\vec v)\) für alle \(s\in K\), \(\vec v\in V\).
\end{itemize}
\cite{Def.~4.12}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Vektorraumhomomorphismus}\slash\\\mbox{}\hfill eine \textbf{\(K\)-lineare Abbildung}\\
ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \(f(\vec v + \vec v') = f(\vec v) + f(\vec v')\) für alle \(\vec v, \vec v' \in V\), und
\item[(2)] \hide{\(f(s\vec v) = sf(\vec v)\) für alle \(s\in K\), \(\vec v\in V\).}
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Isomorphismus} ist eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\), für die \hide{eine lineare Umkehrabbildung \(V\from W \noloc g\) existiert (also \(f\circ g=\id\) und \(g\circ f=\id\)).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Isomorphismus} ist eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\), für die eine lineare Umkehrabbildung \(V\from W \noloc g\) existiert (also \(f\circ g=\id\) und \(g\circ f=\id\)).
\cite{Def.~4.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie \hide{bijektiv} ist.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie \emph{bijektiv} ist.
\cite{Satz.~4.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Monomorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Monomorphismus} ist eine \emph{injektive} lineare Abbildung.
\cite{Def.~4.15}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Epimorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Epimorphismus} ist eine \emph{surjektive} lineare Abbildung.
\cite{Def.~4.15}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Endomorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer3: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Endomorphismus} ist eine lineare Abbildung mit gleichem Definitions- und Werteraum: \[V\to V\]
\cite{Def.~4.15}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Automorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer4: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Automorphismus} ist ein Vektorraum-Isomorphismus mit gleichem Definitions- und Werteraum: \[V\xrightarrow{\cong} V\]
\cite{Def.~4.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Injektivitätskriterium}
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Injektivitätskriterium}
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern trivial ist (also nur aus dem Nullvektor besteht).
\cite{Satz~4.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das \textbf{Produkt} von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist das kartesische Produkt \(\prod_i V_i\), ausgestattet mit \hide{komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.}
[/latex]
Answer: [latex]
Das \textbf{Produkt} von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist das kartesische Produkt \(\prod_i V_i\), ausgestattet mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.
\cite{Def.~4.18, 4.19}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Summe} von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist \hide{der Untervektorraum}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Summe} von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist der Untervektorraum
\[
\bigoplus_{i\in I} V_i \subseteq \prod_i V_i,
\]
der nur aus denjenigen Tuplen besteht, bei denen nur endlich viele Einträge ungleich \(\vec 0\) sind.
\cite{Def.~4.19}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Erzeugendensystem} eines Vektorraums ist ein Tupel von Vektoren, \(\dots\) \hint{Hülle}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Erzeugendensystem} eines Vektorraums ist ein Tupel von Vektoren, deren lineare Hülle der ganze Vektorraum ist.
\cite{Def.~5.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist \textbf{linear unabhängig}, falls \(\dots\) \hint{kombinieren}
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist \textbf{linear unabhängig}, falls sich die Vektoren nur auf triviale Weise zum Nullvektor linear kombinieren lassen.
\cite{Def.~5.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \textbf{Basis} eines Vektorraums ist \hide{ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine \textbf{Basis} eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
\cite{Def.~5.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Tupel von Vektoren ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(V\), wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist genau dann ein Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor aus \(V\) \emph{mindestens} eine Darstellung als Linearkombination der Vektoren des Tupels besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn jeder Vektor \emph{höchstens} eine Darstellung als Linearkombination von Vektoren des Tupels besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann eine Basis, wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann eine Basis, wenn jeder Vektor \emph{genau} eine Darstellung als Linearkombination
von Vektoren aus \(M\) besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Basis ist ein \emph{m\hide{inimales}} Erzeugendensystem.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Basis ist ein \emph{minimales} Erzeugendensystem.
\cite{Satz~5.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Basis ist ein \emph{m\hide{aximales}} linear unabhängiges Tupel.
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Basis ist ein \emph{maximales} linear unabhängiges Tupel.
\cite{Satz~5.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Dimension} eines Vektorraums ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Dimension} eines Vektorraums ist die Länge einer Basis \((\vec v_i)_{i\in I}\)
(also die „Anzahl der Elemente“ in der Basis bzw. die Kardinalität der Indexmenge \(I\)).
\cite{Def.~5.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Basisauswahlsatz}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Basisauswahlsatz}
Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.
\cite{Satz~5.7}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Basisergänzungssatz}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Basisergänzungssatz}
Jedes linear unabhängige Tupel lässt sich zu einer Basis ergänzen.
\cite{Satz~5.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Dimensionssatz}
\hint{Basen}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Dimensionssatz}
Alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Länge.
\cite{Satz~5.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Vektorraum heißt \textbf{endlich-erzeugt}, falls \hide{er ein endliches Erzeugendensystem\slash eine endliche Basis besitzt.}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Vektorraum heißt \textbf{endlich-erzeugt}, falls er ein endliches Erzeugendensystem\slash eine endliche Basis besitzt.
\medskip
(äquivalent: \textbf{endlich-dimensional})
\cite{Def.~5.9}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein linear unabhängiges Tupel eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn \hint{Länge}\hide{seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein linear unabhängiges Tupel eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.
\cite{Satz~5.13}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein Erzeugendensystem eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn \hint{Länge}\hide{seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein Erzeugendensystem eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.
\cite{Satz~5.13}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Steinitsches Austauschlemma}
Sei \((\vec b_1,\dots,\vec b_d)\) eine Basis,
\[
\vec u = s_1 \vec b_1 + \dots + s_d \vec b_d
\]
ein beliebiger Vektor. Falls \(s_k\neq 0\)\hide{, erhalten wir eine neue Basis, indem wir \(\vec b_k\) gegen \(\vec u\) austauschen.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Steinitsches Austauschlemma}
Sei \((\vec b_1,\dots,\vec b_d)\) eine Basis,
\[
\vec u = s_1 \vec b_1 + \dots + s_d \vec b_d
\]
ein beliebiger Vektor. Falls \(s_k\neq 0\), erhalten wir eine neue Basis, indem wir \(\vec b_k\) gegen \(\vec u\) austauschen.
\cite{Lemma~5.11}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Steinitsches Austauschlemma}
Sei \((\vec b_1,\dots,\vec b_d)\) eine Basis,
\[
\vec u = s_1 \vec b_1 + \dots + s_d \vec b_d
\]
ein beliebiger Vektor. Falls \hide{\(s_k\neq 0\)}, erhalten wir eine neue Basis, indem wir \(\vec b_k\) gegen \(\vec u\) austauschen.
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für Untervektorräume \(U_1\), \(U_2\) eines Vektorraums gilt:
\[
\dim (U_1 + U_2) = \phantom{\dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2)}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für Untervektorräume \(U_1\), \(U_2\) eines Vektorraums gilt:
\[
\dim (U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2)
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für einen Quotientenvektorraum gilt:
\[
\dim (V/U) = \phantom{\dim V - \dim U.}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für einen Quotientenvektorraum gilt:
\[
\dim (V/U) = \dim V - \dim U.
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
\[
\dim(V_1\oplus V_2) = \phantom{\dim(V_1) + \dim(V_2)}
\]
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
\[
\dim(V_1\oplus V_2) = \dim(V_1) + \dim(V_2)
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \dots \hint{``Minimalforderung''}
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \dots \hint{``Maximalforderung''}
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \emph{jedes} Erzeugendensystems von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist \hide{surjektiv. }
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \dots \hint{Minimalforderung}
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \dots \hint{Maximalforderung}
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \emph{jede} linear unabhängige Familie aus \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie in \(W\).
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist \hide{injektiv. }
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) bildet \dots \hint{Minimalforderung}
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) bildet \dots \hint{Maximalforderung}
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) bildet \emph{jede} Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist \hide{ein Isomorphismus. }
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus\slash bijektiv.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Rang} einer linearen Abbildung ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Rang} einer linearen Abbildung ist die Dimension ihres Bildes.
\cite{Def.~5.18}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Rangformel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) gilt:
\[
\rank(f) = \phantom{\dim V - \dim(\ker f)}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Rangformel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) gilt:
\[
\rank(f) = \dim V - \dim(\ker f)
\]
\cite{Satz~5.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist \hide{wieder ein Untervektorraum.}
Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist \hide{im Allgemeinen kein Untervektorraum.}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum.
Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist im Allgemeinen kein Untervektorraum.
\cite{Satz~4.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist \hide{im Allgemeinen kein Untervektorraum.}
Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist \hide{wieder ein Untervektorraum.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist im Allgemeinen kein Untervektorraum.
Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum.
\cite{Satz~4.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ \hide{endlich-dimensionale} Vektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) ist ein Monomorphismus.
\item \(f\) ist ein Epimorphismus.
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) ist ein Monomorphismus.
\item \(f\) ist ein Epimorphismus.
\end{enumerate}
\cite{Korollar~5.19}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume \hide{derselben Dimension}, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) ist ein Monomorphismus.
\item \(f\) ist ein Epimorphismus.
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \hide{\(f\) ist ein Monomorphismus.}
\item \hide{\(f\) ist ein Epimorphismus.}
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Hauptsatz, Teil II}
Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch \hide{Multiplikation mit einer Matrix}.
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Hauptsatz, Teil II}
Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch Multiplikation mit einer Matrix.
\cite{Satz~6.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die zu einer linearen Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) gehörige Matrix ist wie folgt gegeben:
\begin{center}
\dots
\end{center}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die zu einer linearen Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) gehörige Matrix ist wie folgt gegeben:
\begin{center}
Spalte \(j\) der Matrix ist das Bild \(f(\vec v_j)\) des \(j\)-ten Standardbasisvektors.
\end{center}
\cite{Beweis zu Satz~6.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \hide{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
[/latex]
Answer: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \emph{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
\cite{Satz~6.9}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die durch sie definierte lineare Abbildung \hide{ein Isomorphismus ist.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die durch sie definierte lineare Abbildung ein Isomorphismus ist.
\cite{Notiz~6.12}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Rang} einer Matrix ist \hide{der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.}
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Rang} einer Matrix ist der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.
\medskip
(oder: die Dimension des durch ihre Spalten erzeugten Unterraums)
\cite{Def.~6.13 (oder Satz~6.33)}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form \hide{\(A\cdot \vec x = \vec 0\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form \(A\cdot \vec x = \vec 0\).
\cite{Def.~6.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.
\]
\cite{Def.~6.14}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A,\vec b) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A,\vec b) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.
\]
\cite{Def.~6.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Lösungsraum \(\Lraum(A)\) eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum der Dimension
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Der Lösungsraum \(\Lraum(A)\) eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum der Dimension
\[(\text{Anzahl der Unbestimmten})-\rank(A)\]
(oder, äquivalent:
\[(\text{Anzahl der Spalten von \(A\)})-\rank(A)\]
)
\cite{Satz~6.15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\Lraum(A,\vec b) =
\phantom{
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\Lraum(A)}
}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\Lraum(A,\vec b) =
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\Lraum(A)}
\]
\cite{Satz~6.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] \hide{Tausche zwei Zeilen.}
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] \hide{Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).}
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \textcolor{red}{\(\neq 0\)}.
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] \hide{Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.}
\end{description}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer \textcolor{red}{anderen}.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
[/latex]

Prompt: [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex]
Answer: [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex]
Prompt2: [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex]
Answer2: [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Rang einer Matrix ist invariant unter
\begin{center}
\dots-transformationen.
\end{center}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Rang einer Matrix ist invariant unter
\begin{center}
\emph{Zeilen- und Spalten}transformationen.
\end{center}
\cite{Korollar~6.22}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist invariant unter
\begin{center}
\dots-transformationen.
\end{center}
[/latex]
Answer: [latex]
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist invariant unter
\begin{center}
\emph{Zeilen}transformationen.
\end{center}
\cite{Korollar~6.24}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilenstufenform} (ZSF) ist eine Matrix, in der \hide{die Anzahl der führenden Nullen von Zeile zu Zeile steigt (solange sie steigen kann).}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilenstufenform} (ZSF) ist eine Matrix, in der die Anzahl der führenden Nullen von Zeile zu Zeile steigt (solange sie steigen kann).
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{a_1} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_2} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_3} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\[
\textcolor{red}{a_i\neq 0}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Pivot-Elemente} („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind \hide{sind jeweils die ersten Einträge jeder Zeile, die ungleich Null sind.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Pivot-Elemente} („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind jeweils die ersten Einträge jeder Zeile, die ungleich Null sind.
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{a_1} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_2} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_3} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\[
\text{Pivot-Elemente: } \textcolor{red}{a_1, a_2, a_3 \,(\neq 0)}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilennormalform} (ZNF) ist eine Matrix \hide{in Zeilenstufenform, in der oberhalb jedes Pivot-Elements nur Nullen stehen.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilennormalform} (ZNF) ist eine Matrix in Zeilenstufenform, in der alle Pivot-Element \(1\) sind und oberhalb jedes Pivot-Elements nur Nullen stehen.
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Normalform} ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Normalform} ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
\[
\begin{pmatrix}
\mathbbm{1}_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
(\(\mathbbm{1}_r = \) Einheitsmatrix\\
\phantom{(}\( 0 = \) Nullmatrix beliebiger Größe)
\cite{Def.~6.25}
[/latex]

Prompt: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}\(\dots\)\end{center}
\hfill auf Zeilennormalform bringen.
[/latex]
Answer: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}Zeilentransformationen\end{center}
\hfill auf Zeilennormalform bringen.
\cite{Satz~6.26\slash Gaußsches Eliminationsverfahren}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}\(\dots\)\end{center}
\hfill auf Normalform bringen.
[/latex]
Answer2: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}Zeilen- \emph{und} Spaltentransformationen\end{center}
\hfill auf Normalform bringen.
\cite{Satz~6.26\slash Gaußsches Eliminationsverfahren}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich \hide{der Anzahl der Pivot-Elemente.}
[/latex]
Answer: [latex]
Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich der Anzahl der Pivot-Elemente.
\cite{Rezept~6.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Transponierte} einer Matrix erhält man durch \hide{Vertauschen von Zeilen und Spalten.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Transponierte} einer Matrix erhält man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten.
\[
\begin{pmatrix}
a_1& a_2&a_3& a_4\\
b_1& b_2&b_3& b_4\\
c_1& c_2&c_3& c_4\\
\end{pmatrix}^T
=
\begin{pmatrix}
a_1&b_1&c_1\\
a_2&b_2&c_2\\
a_3&b_3&c_3\\
a_4&b_4&c_4
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.30}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
\[
(A\cdot B)^T = \phantom{B^T \cdot A^T}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Für Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
\[
(A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T
\]
\cite{Notiz~6.31}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Spaltenrang} einer Matrix ist \hide{die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Spalten erzeugt wird.}
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Spaltenrang} einer Matrix ist die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Spalten erzeugt wird.
\cite{Def.~6.32}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Zeilenrang} einer Matrix ist \hide{die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Zeilen erzeugt wird.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Zeilenrang} einer Matrix ist die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Zeilen erzeugt wird.
\cite{Def.~6.32}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Rangsatz} (für Matrizen)
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Für jede Matrix ist Rang = Zeilenrang = Spaltenrang.
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Rang}, wenn ihr Rang maximal, also gleich der Zahl ihrer Spalten oder gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Rang}, wenn ihr Rang maximal, also gleich der Zahl ihrer Spalten oder gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium} (Rang)
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn \hide{sie vollen Rang hat.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium} (Rang)
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat.
\cite{Satz~6.35}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \hide{Spalten}rang besitzt.
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \emph{Spalten}rang besitzt.
\cite{Satz~6.36}
Zum Beispiel sind die Spalten von
\[\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
2 & 8 & 0\\
0 & 0 & 9\\
7 & 30 & 0
\end{pmatrix}\]
linear unabhängig in \(\RR^6\).
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \hide{Zeilen}rang besitzt.
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \emph{Zeilen}rang besitzt.
\cite{Satz~6.36}
Zum Beispiel liefern die Spalten von
\[\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8\\
0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3 & 7 & 1
\end{pmatrix}\]
ein Erzeugendensystem von \(\RR^3\).
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann ein Basis, wenn es aufgefasst als Matrix \hide{invertierbar (oder, äquivalent: von vollem Rang) ist.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann ein Basis, wenn es aufgefasst als Matrix invertierbar (oder, äquivalent: von vollem Rang) ist.
\cite{Satz~6.36}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \hide{\(k\)-te Spalte} der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \(k\)-te Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
\cite{Satz~7.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_{ik}\) der \(k\)-ten Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\) sind eindeutig festgelegt durch die folgende Gleichung:
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_{ik}\) der \(k\)-ten Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\) sind eindeutig festgelegt durch die folgende Gleichung:
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_{ik} \vec c_i
\]
\cite{Satz~7.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Leibnizformel}
Die \textbf{Determinante} einer quadratischen Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\in\Mat_K(n\times n)\) ist gegeben durch:
\[
\det(A) = \phantom{\sum_{\sigma \in \mathbb{S_n}} \mathrm{sign}(\sigma)\cdot a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Leibnizformel}
Die \textbf{Determinante} einer quadratischen Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\in\Mat_K(n\times n)\) ist gegeben durch:
\[
\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sign}(\sigma)\cdot a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}
\]
\cite{Def.~8.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
\[
\det(A^T) = \phantom{\det(A)}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\[
\det(A^T) = \det(A)
\]
\cite{Notiz~8.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist \hide{multilinear} in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
\cite{Satz~8.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist \hide{alternierend} in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist \hide{normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).}
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Dass die Determinante \emph{multilinear in den Zeilen} ist, bedeutet:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}s\vec{a} + t\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
=\phantom{
{\color{blue}s}\det\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{a}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
+
{\color{blue}t}\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
}
\]
(Hier sind \(\vec a_i\), \(\vec a\), \(\vec b\) Zeilenvektoren; \(s, t \in K\).)
[/latex]
Answer4: [latex]
Dass die Determinante \emph{multilinear in den Zeilen} ist, bedeutet:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}s\vec{a} + t\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
=
{\color{blue}s}\det\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{a}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
+
{\color{blue}t}\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
\]
(Hier sind \(\vec a_i\), \(\vec a\), \(\vec b\) Zeilenvektoren; \(s, t \in K\).)
[/latex]
Prompt5: [latex]
Dass die Determinante \emph{alternierend in den Zeilen} ist, bedeutet per Definition:
\[
\phantom{\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
= 0
}
\]
\phantom{sobald zwei Zeilen gleich sind (\(\vec a_i = \vec a_j\) für zwei Indizes \(i\neq j\)).}
[/latex]
Answer5: [latex]
Dass die Determinante \emph{alternierend in den Zeilen} ist, bedeutet per Definition:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
= 0
\]
sobald zwei Zeilen gleich sind (\(\vec a_i = \vec a_j\) für zwei Indizes \(i\neq j\)).
[/latex]
Prompt6: [latex]
Weil die Determinante multilinear und alternierend in den Zeilen ist, folgt für jede Permutation der Zeilen:
\[\det\begin{pmatrix}\vec{a}_{\sigma(1)} \\ \vdots\\\vec{a}_{\sigma(n)}\end{pmatrix} = \phantom{ \mathrm{sign}(\sigma)\cdot \det\begin{pmatrix}\vec{a}_{1} \\ \vdots\\\vec{a}_n\end{pmatrix}}\]
(Hier sind \(\vec a_i\) Zeilenvektoren; \(\sigma \in S_n\).)
[/latex]
Answer6: [latex]
Weil die Determinante multilinear und alternierend in den Zeilen ist, folgt für jede Permutation der Zeilen:
\[\det\begin{pmatrix}\vec{a}_{\sigma(1)} \\ \vdots\\\vec{a}_{\sigma(n)}\end{pmatrix} = \mathrm{sign}(\sigma)\cdot \det\begin{pmatrix}\vec{a}_{1} \\\vdots\\\vec{a}_n\end{pmatrix}\]
(Hier sind \(\vec a_i\) Zeilenvektoren; \(\sigma \in S_n\).)
\cite{Satz~8.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Addieren wir zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte \dots die Determinante \dots.
[/latex]
Answer: [latex]
Addieren wir zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte ändert sich die Determinante nicht.
\cite{Erläuterung zu Satz~8.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Multiplizieren wir eine Zeile/Spalte mit einem Faktor \(s \in K\), ändert sich die Determinante \hide{genau um diesen Faktor.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Multiplizieren wir eine Zeile/Spalte mit einem Faktor \(s \in K\), ändert sich die Determinante genau um diesen Faktor.
\cite{Erläuterung zu Satz~8.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Multiplikationssatz}
Für \(A,B \in \Mat_K(n\times n)\) gilt:
\[\det(A\cdot B) = \hide{\det A \cdot \det B}\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Multiplikationssatz}
Für \(A,B \in \Mat_K(n\times n)\) gilt:
\[\det(A\cdot B) = \det A \cdot \det B\]
\cite{Satz~8.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium}
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det(A) \hide{\neq 0}\).
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium}
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det(A) \neq 0\).
\cite{Korollar~8.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[\det(A^{-1}) = \hide{\det(A)^{-1}}\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\]
\cite{Korollar~8.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left(\phantom{(-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})}\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left((-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.
\cite{Def.~8.10}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left((-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man \hide{Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Geschlossene Formel für inverse Matrix}
\[
A^{-1} = \phantom{\frac{1}{\det{A}} \cdot A^\#}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Geschlossene Formel für inverse Matrix}
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det{A}} \cdot A^\#
\]
\cite{Korollar~8.12}
[/latex]

Prompt: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{äquivalent}, wenn es \hide{invertierbare Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit}
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{äquivalent}, wenn es invertierbare Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit
\[
A' = S^{-1} A T.
\]
\cite{Def.~9.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{ähnlich}, wenn es \hide{eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit}
[/latex]
Answer2: [latex]
Zwei quadratische Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{ähnlich}, wenn es eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit
\[
A' = T^{-1} A T.
\]
\cite{Def.~9.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Endomorphismus \(f\colon V \to V\) ist \textbf{diagonalisierbar}, falls es eine Basis \(B\) von \(V\) gibt, sodass \({}_BM_{B}(f)\) \hide{eine Diagonalmatrix ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Endomorphismus \(f\colon V \to V\) ist \textbf{diagonalisierbar}, falls es eine Basis \(B\) von \(V\) gibt, sodass \({}_{B}M_{B}(f)\) eine Diagonalmatrix ist.
\cite{Def.~9.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine quadratische Matrix ist \textbf{diagonalisierbar}, falls sie \hide{ähnlich} ist zu einer Diagonalmatrix.
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine quadratische Matrix ist \textbf{diagonalisierbar}, falls sie ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix.
\cite{Def.~9.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \hide{\(\vec{v}\neq0\)} existiert, der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird.
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \(\vec{v}\neq0\) existiert, der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:
\[f(\vec{v}) = a \cdot \vec{v}\]
\cite{Def.~9.5}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \(\vec{v}\neq0\) existiert, der \hide{von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Ein \textbf{Eigenvektor} zu einem Eigenwert \(a\in K\) ist ein Vektor \(\vec{v}\neq0\), der \hide{von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:}
[/latex]
Answer3: [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Ein \textbf{Eigenvektor} zu einem Eigenwert \(a\in K\) ist ein Vektor \(\vec{v}\neq0\), der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:
\[f(\vec{v}) = a \cdot \vec{v}\]
\cite{Def.~9.5}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Der \textbf{Eigenraum von \(f\) zu \(a\)} ist der Untervektorraum
\[\mathrm{Eig}(f;a) := \hide{\left\{\vec{v}\in V \;\middle\vert\; f(\vec{v}) = a\cdot\vec{v}\right\}}\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Der \textbf{Eigenraum von \(f\) zu \(a\)} ist der Untervektorraum
\[\mathrm{Eig}(f;a) := \left\{\vec{v}\in V \;\middle\vert\; f(\vec{v}) = a\cdot\vec{v}\right\}\]
\cite{Def.~9.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn der Vektorraum \hide{in die Eigenräume von \(f\) zerfällt.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn der Vektorraum in die Eigenräume von \(f\) zerfällt.
\cite{Satz~9.10}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(V\) ist genau dann diagonalisierbar, wenn \(\dim V\) \hide{gleich der Summe der Dimensionen der Eigenräume ist.}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(V\) ist genau dann diagonalisierbar, wenn \(\dim V\) gleich der Summe der Dimensionen der Eigenräume ist.
\cite{Satz~9.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Determinante} eines Endomorphismus \(f\) ist \hide{die Determinante einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Determinante} eines Endomorphismus \(f\) ist die Determinante einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
\cite{Def.~9.11}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix \(A\) ist
\[
\chi_A := \phantom{\det(A-X\cdot \mathbbm{1}_n)} \in K[X].
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix \(A\) ist
\[
\chi_f := \det(A-X\cdot \mathbbm{1}_n) \in K[X].
\]
\cite{Def.~9.13}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} eines Endomorphismus \(f\) ist \hide{das charakteristische Polynom einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} eines Endomorphismus \(f\) ist das charakteristische Polynom einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
\bigskip
(Explizit:
\[
\chi_f := \det\left({}_B M_B(f)-X\mathbbm(1)\right) \in K[X].
\]
)
\cite{Def.~9.13}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Spur} einer quadratischen Matrix ist \hide{die Summe der Einträge auf der Diagonale.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Spur} einer quadratischen Matrix ist die Summe der Einträge auf der Diagonale.
\[\mathrm{tr}((a_{ij})_{ij}) := \sum a_{ii}\]
\cite{Def.~9.18}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Spur} eines Endomorphismus \(f\) ist \hide{die Spur einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Spur} eines Endomorphismus \(f\) ist die Spur einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
\cite{Def.~9.18}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Was charakterisiert das charakteristische Polynom?}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Was charakterisiert das charakteristische Polynom?}
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \(\chi_f\) sind genau die Eigenwerte von \(f\).
\cite{Satz~9.16}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{algebraische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die \hide{Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{algebraische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
\cite{Def.~9.21}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{geometrische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die \hide{Dimension des zugehörigen Eigenraums.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{geometrische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums.
\cite{Def.~9.21}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Vielfachheitsungleichung}
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\phantom{\leq}
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Vielfachheitsungleichung}
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\leq
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\]
\cite{Satz~9.22}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Vielfachheitsungleichung}
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\phantom{\geq}
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Vielfachheitsungleichung}
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\geq
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\]
\cite{Satz~9.22}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Algebraisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und
\item für jeden Eigenwert \hide{die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.}
\end{enumerate}
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Answer: [latex]
\textbf{Algebraisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und
\item für jeden Eigenwert die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
\end{enumerate}
\cite{Satz~9.23}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Algebraisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom \hide{in Linearfaktoren zerfällt}, und
\item für jeden Eigenwert die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
\end{enumerate}
[/latex]