Title: Custom Study Session
Tags: LinA-I-06-Matrizen Satz Def

Prompt: [latex]
\textbf{Hauptsatz, Teil II}
Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch \hide{Multiplikation mit einer Matrix}.
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Answer: [latex]
\textbf{Hauptsatz, Teil II}
Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch Multiplikation mit einer Matrix.
\cite{Satz~6.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die zu einer linearen Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) gehörige Matrix ist wie folgt gegeben:
\begin{center}
\dots
\end{center}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die zu einer linearen Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) gehörige Matrix ist wie folgt gegeben:
\begin{center}
Spalte \(j\) der Matrix ist das Bild \(f(\vec v_j)\) des \(j\)-ten Standardbasisvektors.
\end{center}
\cite{Beweis zu Satz~6.4}
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Prompt: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \hide{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
[/latex]
Answer: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \emph{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
\cite{Satz~6.9}
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Prompt2: [latex]
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die durch sie definierte lineare Abbildung \hide{ein Isomorphismus ist.}
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Answer2: [latex]
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die durch sie definierte lineare Abbildung ein Isomorphismus ist.
\cite{Notiz~6.12}
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Prompt: [latex]
Der \textbf{Rang} einer Matrix ist \hide{der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.}
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Answer: [latex]
Der \textbf{Rang} einer Matrix ist der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.
\medskip
(oder: die Dimension des durch ihre Spalten erzeugten Unterraums)
\cite{Def.~6.13 (oder Satz~6.33)}
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Prompt: [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form \hide{\(A\cdot \vec x = \vec 0\).}
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Answer: [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form \(A\cdot \vec x = \vec 0\).
\cite{Def.~6.14}
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Prompt: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.}
\]
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Answer: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.
\]
\cite{Def.~6.14}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A,\vec b) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A,\vec b) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.
\]
\cite{Def.~6.14}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Lösungsraum \(\Lraum(A)\) eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum der Dimension
\[\dots\]
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Answer: [latex]
Der Lösungsraum \(\Lraum(A)\) eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum der Dimension
\[(\text{Anzahl der Unbestimmten})-\rank(A)\]
(oder, äquivalent:
\[(\text{Anzahl der Spalten von \(A\)})-\rank(A)\]
)
\cite{Satz~6.15}
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Prompt: [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\Lraum(A,\vec b) =
\phantom{
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\Lraum(A)}
}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\Lraum(A,\vec b) =
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\Lraum(A)}
\]
\cite{Satz~6.17}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] \hide{Tausche zwei Zeilen.}
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
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Prompt2: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] \hide{Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).}
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \textcolor{red}{\(\neq 0\)}.
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] \hide{Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.}
\end{description}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer \textcolor{red}{anderen}.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
[/latex]

Prompt: [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex]
Answer: [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex]
Prompt2: [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex]
Answer2: [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Rang einer Matrix ist invariant unter
\begin{center}
\dots-transformationen.
\end{center}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Rang einer Matrix ist invariant unter
\begin{center}
\emph{Zeilen- und Spalten}transformationen.
\end{center}
\cite{Korollar~6.22}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist invariant unter
\begin{center}
\dots-transformationen.
\end{center}
[/latex]
Answer: [latex]
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist invariant unter
\begin{center}
\emph{Zeilen}transformationen.
\end{center}
\cite{Korollar~6.24}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilenstufenform} (ZSF) ist eine Matrix, in der \hide{die Anzahl der führenden Nullen von Zeile zu Zeile steigt (solange sie steigen kann).}
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Answer: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilenstufenform} (ZSF) ist eine Matrix, in der die Anzahl der führenden Nullen von Zeile zu Zeile steigt (solange sie steigen kann).
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{a_1} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_2} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_3} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\[
\textcolor{red}{a_i\neq 0}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Pivot-Elemente} („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind \hide{sind jeweils die ersten Einträge jeder Zeile, die ungleich Null sind.}
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Answer2: [latex]
Die \textbf{Pivot-Elemente} („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind jeweils die ersten Einträge jeder Zeile, die ungleich Null sind.
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{a_1} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_2} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_3} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\[
\text{Pivot-Elemente: } \textcolor{red}{a_1, a_2, a_3 \,(\neq 0)}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilennormalform} (ZNF) ist eine Matrix \hide{in Zeilenstufenform, in der oberhalb jedes Pivot-Elements nur Nullen stehen.}
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Answer3: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilennormalform} (ZNF) ist eine Matrix in Zeilenstufenform, in der alle Pivot-Element \(1\) sind und oberhalb jedes Pivot-Elements nur Nullen stehen.
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Normalform} ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Eine Matrix in \textbf{Normalform} ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
\[
\begin{pmatrix}
\mathbbm{1}_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
(\(\mathbbm{1}_r = \) Einheitsmatrix\\
\phantom{(}\( 0 = \) Nullmatrix beliebiger Größe)
\cite{Def.~6.25}
[/latex]

Prompt: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}\(\dots\)\end{center}
\hfill auf Zeilennormalform bringen.
[/latex]
Answer: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}Zeilentransformationen\end{center}
\hfill auf Zeilennormalform bringen.
\cite{Satz~6.26\slash Gaußsches Eliminationsverfahren}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}\(\dots\)\end{center}
\hfill auf Normalform bringen.
[/latex]
Answer2: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}Zeilen- \emph{und} Spaltentransformationen\end{center}
\hfill auf Normalform bringen.
\cite{Satz~6.26\slash Gaußsches Eliminationsverfahren}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich \hide{der Anzahl der Pivot-Elemente.}
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Answer: [latex]
Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich der Anzahl der Pivot-Elemente.
\cite{Rezept~6.27}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Transponierte} einer Matrix erhält man durch \hide{Vertauschen von Zeilen und Spalten.}
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Answer: [latex]
Die \textbf{Transponierte} einer Matrix erhält man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten.
\[
\begin{pmatrix}
a_1& a_2&a_3& a_4\\
b_1& b_2&b_3& b_4\\
c_1& c_2&c_3& c_4\\
\end{pmatrix}^T
=
\begin{pmatrix}
a_1&b_1&c_1\\
a_2&b_2&c_2\\
a_3&b_3&c_3\\
a_4&b_4&c_4
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.30}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
\[
(A\cdot B)^T = \phantom{B^T \cdot A^T}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Für Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
\[
(A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T
\]
\cite{Notiz~6.31}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Spaltenrang} einer Matrix ist \hide{die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Spalten erzeugt wird.}
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Answer: [latex]
Der \textbf{Spaltenrang} einer Matrix ist die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Spalten erzeugt wird.
\cite{Def.~6.32}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Zeilenrang} einer Matrix ist \hide{die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Zeilen erzeugt wird.}
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Answer2: [latex]
Der \textbf{Zeilenrang} einer Matrix ist die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Zeilen erzeugt wird.
\cite{Def.~6.32}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Rangsatz} (für Matrizen)
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Für jede Matrix ist Rang = Zeilenrang = Spaltenrang.
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.}
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Answer: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
\cite{Def.~6.34}
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Prompt2: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Rang}, wenn ihr Rang maximal, also gleich der Zahl ihrer Spalten oder gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
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Answer3: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Rang}, wenn ihr Rang maximal, also gleich der Zahl ihrer Spalten oder gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium} (Rang)
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn \hide{sie vollen Rang hat.}
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Answer: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium} (Rang)
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat.
\cite{Satz~6.35}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \hide{Spalten}rang besitzt.
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Answer: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \emph{Spalten}rang besitzt.
\cite{Satz~6.36}
Zum Beispiel sind die Spalten von
\[\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
2 & 8 & 0\\
0 & 0 & 9\\
7 & 30 & 0
\end{pmatrix}\]
linear unabhängig in \(\RR^6\).
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \hide{Zeilen}rang besitzt.
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Answer2: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \emph{Zeilen}rang besitzt.
\cite{Satz~6.36}
Zum Beispiel liefern die Spalten von
\[\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8\\
0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3 & 7 & 1
\end{pmatrix}\]
ein Erzeugendensystem von \(\RR^3\).
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann ein Basis, wenn es aufgefasst als Matrix \hide{invertierbar (oder, äquivalent: von vollem Rang) ist.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann ein Basis, wenn es aufgefasst als Matrix invertierbar (oder, äquivalent: von vollem Rang) ist.
\cite{Satz~6.36}
[/latex]