Title: Custom Study Session
Tags: LinA-I-07-Basiswechsel Satz

Prompt: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \hide{\(k\)-te Spalte} der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \(k\)-te Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
\cite{Satz~7.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_{ik}\) der \(k\)-ten Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\) sind eindeutig festgelegt durch die folgende Gleichung:
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_{ik}\) der \(k\)-ten Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\) sind eindeutig festgelegt durch die folgende Gleichung:
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_{ik} \vec c_i
\]
\cite{Satz~7.4}
[/latex]