Title: Custom Study Session
Tags: LinA-I-08-Determinante Satz Def

Prompt: [latex]
\textbf{Leibnizformel}
Die \textbf{Determinante} einer quadratischen Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\in\Mat_K(n\times n)\) ist gegeben durch:
\[
\det(A) = \phantom{\sum_{\sigma \in \mathbb{S_n}} \mathrm{sign}(\sigma)\cdot a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}}
\]
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Answer: [latex]
\textbf{Leibnizformel}
Die \textbf{Determinante} einer quadratischen Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\in\Mat_K(n\times n)\) ist gegeben durch:
\[
\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sign}(\sigma)\cdot a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}
\]
\cite{Def.~8.1}
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Prompt: [latex]
\[
\det(A^T) = \phantom{\det(A)}
\]
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Answer: [latex]
\[
\det(A^T) = \det(A)
\]
\cite{Notiz~8.3}
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Prompt: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist \hide{multilinear} in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
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Answer: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
\cite{Satz~8.4}
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Prompt2: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist \hide{alternierend} in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist \hide{normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).}
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Dass die Determinante \emph{multilinear in den Zeilen} ist, bedeutet:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}s\vec{a} + t\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
=\phantom{
{\color{blue}s}\det\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{a}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
+
{\color{blue}t}\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
}
\]
(Hier sind \(\vec a_i\), \(\vec a\), \(\vec b\) Zeilenvektoren; \(s, t \in K\).)
[/latex]
Answer4: [latex]
Dass die Determinante \emph{multilinear in den Zeilen} ist, bedeutet:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}s\vec{a} + t\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
=
{\color{blue}s}\det\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{a}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
+
{\color{blue}t}\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
\]
(Hier sind \(\vec a_i\), \(\vec a\), \(\vec b\) Zeilenvektoren; \(s, t \in K\).)
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Prompt5: [latex]
Dass die Determinante \emph{alternierend in den Zeilen} ist, bedeutet per Definition:
\[
\phantom{\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
= 0
}
\]
\phantom{sobald zwei Zeilen gleich sind (\(\vec a_i = \vec a_j\) für zwei Indizes \(i\neq j\)).}
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Answer5: [latex]
Dass die Determinante \emph{alternierend in den Zeilen} ist, bedeutet per Definition:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
= 0
\]
sobald zwei Zeilen gleich sind (\(\vec a_i = \vec a_j\) für zwei Indizes \(i\neq j\)).
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Prompt6: [latex]
Weil die Determinante multilinear und alternierend in den Zeilen ist, folgt für jede Permutation der Zeilen:
\[\det\begin{pmatrix}\vec{a}_{\sigma(1)} \\ \vdots\\\vec{a}_{\sigma(n)}\end{pmatrix} = \phantom{ \mathrm{sign}(\sigma)\cdot \det\begin{pmatrix}\vec{a}_{1} \\ \vdots\\\vec{a}_n\end{pmatrix}}\]
(Hier sind \(\vec a_i\) Zeilenvektoren; \(\sigma \in S_n\).)
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Answer6: [latex]
Weil die Determinante multilinear und alternierend in den Zeilen ist, folgt für jede Permutation der Zeilen:
\[\det\begin{pmatrix}\vec{a}_{\sigma(1)} \\ \vdots\\\vec{a}_{\sigma(n)}\end{pmatrix} = \mathrm{sign}(\sigma)\cdot \det\begin{pmatrix}\vec{a}_{1} \\\vdots\\\vec{a}_n\end{pmatrix}\]
(Hier sind \(\vec a_i\) Zeilenvektoren; \(\sigma \in S_n\).)
\cite{Satz~8.4}
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Prompt: [latex]
Addieren wir zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte \dots die Determinante \dots.
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Answer: [latex]
Addieren wir zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte ändert sich die Determinante nicht.
\cite{Erläuterung zu Satz~8.4}
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Prompt2: [latex]
Multiplizieren wir eine Zeile/Spalte mit einem Faktor \(s \in K\), ändert sich die Determinante \hide{genau um diesen Faktor.}
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Answer2: [latex]
Multiplizieren wir eine Zeile/Spalte mit einem Faktor \(s \in K\), ändert sich die Determinante genau um diesen Faktor.
\cite{Erläuterung zu Satz~8.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Multiplikationssatz}
Für \(A,B \in \Mat_K(n\times n)\) gilt:
\[\det(A\cdot B) = \hide{\det A \cdot \det B}\]
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Answer: [latex]
\textbf{Multiplikationssatz}
Für \(A,B \in \Mat_K(n\times n)\) gilt:
\[\det(A\cdot B) = \det A \cdot \det B\]
\cite{Satz~8.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium}
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det(A) \hide{\neq 0}\).
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Answer: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium}
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det(A) \neq 0\).
\cite{Korollar~8.8}
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Prompt2: [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[\det(A^{-1}) = \hide{\det(A)^{-1}}\]
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Answer2: [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\]
\cite{Korollar~8.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left(\phantom{(-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})}\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.
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Answer: [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left((-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.
\cite{Def.~8.10}
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Prompt2: [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left((-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man \hide{Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Geschlossene Formel für inverse Matrix}
\[
A^{-1} = \phantom{\frac{1}{\det{A}} \cdot A^\#}
\]
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Answer: [latex]
\textbf{Geschlossene Formel für inverse Matrix}
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det{A}} \cdot A^\#
\]
\cite{Korollar~8.12}
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