Title: Custom Study Session
Tags: LinA-I-09-Diagonalisierbarkeit Def Satz

Prompt: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{äquivalent}, wenn es \hide{invertierbare Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit}
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Answer: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{äquivalent}, wenn es invertierbare Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit
\[
A' = S^{-1} A T.
\]
\cite{Def.~9.1}
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Prompt2: [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{ähnlich}, wenn es \hide{eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit}
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Answer2: [latex]
Zwei quadratische Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{ähnlich}, wenn es eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit
\[
A' = T^{-1} A T.
\]
\cite{Def.~9.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Endomorphismus \(f\colon V \to V\) ist \textbf{diagonalisierbar}, falls es eine Basis \(B\) von \(V\) gibt, sodass \({}_BM_{B}(f)\) \hide{eine Diagonalmatrix ist.}
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Answer: [latex]
Ein Endomorphismus \(f\colon V \to V\) ist \textbf{diagonalisierbar}, falls es eine Basis \(B\) von \(V\) gibt, sodass \({}_{B}M_{B}(f)\) eine Diagonalmatrix ist.
\cite{Def.~9.4}
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Prompt2: [latex]
Eine quadratische Matrix ist \textbf{diagonalisierbar}, falls sie \hide{ähnlich} ist zu einer Diagonalmatrix.
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Answer2: [latex]
Eine quadratische Matrix ist \textbf{diagonalisierbar}, falls sie ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix.
\cite{Def.~9.4}
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Prompt: [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \hide{\(\vec{v}\neq0\)} existiert, der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird.
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Answer: [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \(\vec{v}\neq0\) existiert, der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:
\[f(\vec{v}) = a \cdot \vec{v}\]
\cite{Def.~9.5}
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Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \(\vec{v}\neq0\) existiert, der \hide{von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Ein \textbf{Eigenvektor} zu einem Eigenwert \(a\in K\) ist ein Vektor \(\vec{v}\neq0\), der \hide{von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:}
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Answer3: [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Ein \textbf{Eigenvektor} zu einem Eigenwert \(a\in K\) ist ein Vektor \(\vec{v}\neq0\), der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:
\[f(\vec{v}) = a \cdot \vec{v}\]
\cite{Def.~9.5}
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Prompt4: [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Der \textbf{Eigenraum von \(f\) zu \(a\)} ist der Untervektorraum
\[\mathrm{Eig}(f;a) := \hide{\left\{\vec{v}\in V \;\middle\vert\; f(\vec{v}) = a\cdot\vec{v}\right\}}\]
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Answer4: [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Der \textbf{Eigenraum von \(f\) zu \(a\)} ist der Untervektorraum
\[\mathrm{Eig}(f;a) := \left\{\vec{v}\in V \;\middle\vert\; f(\vec{v}) = a\cdot\vec{v}\right\}\]
\cite{Def.~9.5}
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Prompt: [latex]
\textbf{Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn der Vektorraum \hide{in die Eigenräume von \(f\) zerfällt.}
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Answer: [latex]
\textbf{Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn der Vektorraum in die Eigenräume von \(f\) zerfällt.
\cite{Satz~9.10}
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Prompt2: [latex]
\textbf{Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(V\) ist genau dann diagonalisierbar, wenn \(\dim V\) \hide{gleich der Summe der Dimensionen der Eigenräume ist.}
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Answer2: [latex]
\textbf{Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(V\) ist genau dann diagonalisierbar, wenn \(\dim V\) gleich der Summe der Dimensionen der Eigenräume ist.
\cite{Satz~9.10}
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Prompt: [latex]
Die \textbf{Determinante} eines Endomorphismus \(f\) ist \hide{die Determinante einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).}
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Answer: [latex]
Die \textbf{Determinante} eines Endomorphismus \(f\) ist die Determinante einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
\cite{Def.~9.11}
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Prompt: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix \(A\) ist
\[
\chi_A := \phantom{\det(A-X\cdot \mathbbm{1}_n)} \in K[X].
\]
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Answer: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix \(A\) ist
\[
\chi_f := \det(A-X\cdot \mathbbm{1}_n) \in K[X].
\]
\cite{Def.~9.13}
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Prompt2: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} eines Endomorphismus \(f\) ist \hide{das charakteristische Polynom einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Das \textbf{charakteristische Polynom} eines Endomorphismus \(f\) ist das charakteristische Polynom einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
\bigskip
(Explizit:
\[
\chi_f := \det\left({}_B M_B(f)-X\mathbbm(1)\right) \in K[X].
\]
)
\cite{Def.~9.13}
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Prompt: [latex]
Die \textbf{Spur} einer quadratischen Matrix ist \hide{die Summe der Einträge auf der Diagonale.}
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Answer: [latex]
Die \textbf{Spur} einer quadratischen Matrix ist die Summe der Einträge auf der Diagonale.
\[\mathrm{tr}((a_{ij})_{ij}) := \sum a_{ii}\]
\cite{Def.~9.18}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Spur} eines Endomorphismus \(f\) ist \hide{die Spur einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Spur} eines Endomorphismus \(f\) ist die Spur einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
\cite{Def.~9.18}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Was charakterisiert das charakteristische Polynom?}
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Answer: [latex]
\textbf{Was charakterisiert das charakteristische Polynom?}
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \(\chi_f\) sind genau die Eigenwerte von \(f\).
\cite{Satz~9.16}
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Prompt: [latex]
Die \textbf{algebraische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die \hide{Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.}
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Answer: [latex]
Die \textbf{algebraische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
\cite{Def.~9.21}
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Prompt2: [latex]
Die \textbf{geometrische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die \hide{Dimension des zugehörigen Eigenraums.}
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Answer2: [latex]
Die \textbf{geometrische Vielfachheit} eines Eigenwerts ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums.
\cite{Def.~9.21}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Vielfachheitsungleichung}
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\phantom{\leq}
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\]
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Answer: [latex]
\textbf{Vielfachheitsungleichung}
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\leq
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\]
\cite{Satz~9.22}
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Prompt2: [latex]
\textbf{Vielfachheitsungleichung}
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\phantom{\geq}
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Vielfachheitsungleichung}
Für jeden Eigenwert gilt:
\[
\ctext{10em}{algebraische Vielfachheit}
\geq
\ctext{10em}{geometrische Vielfachheit}
\]
\cite{Satz~9.22}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Algebraisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und
\item für jeden Eigenwert \hide{die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.}
\end{enumerate}
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Answer: [latex]
\textbf{Algebraisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und
\item für jeden Eigenwert die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
\end{enumerate}
\cite{Satz~9.23}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Algebraisches Diagonalisierbarkeitskriterium}
Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
\begin{enumerate}[1.]
\item das charakteristische Polynom \hide{in Linearfaktoren zerfällt}, und
\item für jeden Eigenwert die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
\end{enumerate}
[/latex]