Tags: Fischer-02-Grundbegriffe Def Satz Fischer-03-Lineare-Abbildungen Fischer-01-Lineare-Gleichungssysteme

Prompt: [latex]
Eine Teilmenge \(L \subseteq \RR^n\) ist eine \textbf{Gerade}, wenn es Vektoren \(\vec{v}, \vec{w} \in \RR^n\) mit \hide{\(\vec w \neq \vec 0\)} gibt, sodass \(L = \vec{v} + \RR\vec{w}\).
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Teilmenge \(L \subseteq \RR^n \) ist eine \textbf{Gerade} wenn es Vektoren \(\vec{v}, \vec{w} \in \RR^n\) mit \(\vec w \neq \vec 0\) gibt, sodass \(L = \vec{v} + \RR\vec{w}\).
\cite{1.2.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zwei Vektoren \(\vec{w}, \vec{w}'\in \RR^n\) heißen \textbf{linear unabhängig}, wenn gilt:
\begin{compactenum}
\item \dots
\item \dots
\item für jedes \(\alpha \in \RR: \vec{w} \neq \alpha \vec{w}'\)
\end{compactenum}
[/latex]
Answer2: [latex]
Zwei Vektoren \(\vec{w}, \vec{w}'\in \RR^n\) heißen \textbf{linear unabhängig}, wenn gilt:
\begin{compactenum}
\item \(\vec{w} \neq \vec{0}\)
\item \(\vec{w}' \neq \vec{0}\)
\item für jedes \(\alpha \in \RR: \vec{w} \neq \alpha \vec{w}'\)
\end{compactenum}
\cite{Aufgabe 1) zu 1.3}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Zwei Vektoren \(\vec{w}, \vec{w}'\in \RR^n\) heißen \textbf{linear unabhängig}, wenn gilt:
\begin{compactenum}
\item \(\vec{w} \neq \vec{0}\)
\item \(\vec{w}' \neq \vec{0}\)
\item \dots
\end{compactenum}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Zwei Vektoren \(\vec{w}, \vec{w}'\in \RR^n\), für die gilt
\begin{compactenum}
\item \(\vec{w} \neq \vec{0}\)
\item \(\vec{w}' \neq \vec{0}\)
\item für jedes \(\alpha \in \RR: \vec{w} \neq \alpha \vec{w}'\)
\end{compactenum}
heißen \hide{\textbf{linear unabhängig}}.
[/latex]
Answer4: [latex]
Zwei Vektoren \(\vec{w}, \vec{w}'\in \RR^n\), für die gilt
\begin{compactenum}
\item \(\vec{w} \neq \vec{0}\)
\item \(\vec{w}' \neq \vec{0}\)
\item für jedes \(\alpha \in \RR: \vec{w} \neq \alpha \vec{w}'\)
\end{compactenum}
heißen \textbf{linear unabhängig}.
\cite{Aufgabe 1) zu 1.3}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Eine Matrix ist in \textbf{Zeilenstufenform}, wenn die Anzahl der führenden Nullen \hide{von Zeile zu Zeile ansteigt, bis sie nicht mehr weiter steigen kann.}
[/latex]
Answer5: [latex]
Eine Matrix ist in \textbf{Zeilenstufenform}, wenn die Anzahl der führenden Nullen von Zeile zu Zeile ansteigt, bis sie nicht mehr weiter steigen kann.
\cite{1.4.3}
[/latex]
Prompt6: [latex]
Eine \textbf{Ebene} in \(\RR^n\) ist eine Teilmenge \(E \subseteq \RR^n\) mit folgender Eigenschaft:
Es gibt Vektoren \(\vec{v}, \vec{w}, \vec{w}' \in \RR^n\) mit \hide{\(\vec{w}\) und \(\vec{w}'\) linear unabhängig}, so dass gilt:
\[
E = \vec{v}+\RR\vec{w}+\RR\vec{w}'
\]
[/latex]
Answer6: [latex]
Eine \textbf{Ebene} in \(\RR^n\) ist eine Teilmenge \(E \subseteq \RR^n\) mit folgender Eigenschaft:
Es gibt Vektoren \(\vec{v}, \vec{w}, \vec{w}' \in \RR^n\) mit \(\vec{w} \) und \(\vec{w}'\) linear unabhängig, so dass gilt:
\[E = \vec{v}+\RR\vec{w}+\RR\vec{w}'\]
\cite{1.3.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Zu den \textbf{elementaren Zeilenumformungen} zählen:
\begin{compactenum}
\item \hide{Vertauschung zweier Zeilen}
\item Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
\item Multiplikation einer Zeile mit $\lambda \in \RR, \lambda \neq 0$
\end{compactenum}
[/latex]
Answer: [latex]
Zu den \textbf{elementaren Zeilenumformungen} zählen:
\begin{compactenum}
\item Vertauschung zweier Zeilen
\item Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
\item Multiplikation einer Zeile mit $\lambda \in \RR, \lambda \neq 0$
\end{compactenum}
\cite{1.4.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Zu den \textbf{elementaren Zeilenumformungen} zählen:
\begin{compactenum}
\item Vertauschung zweier Zeilen
\item \hide{Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile}
\item Multiplikation einer Zeile mit $\lambda \in \RR, \lambda \neq 0$
\end{compactenum}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Zu den \textbf{elementaren Zeilenumformungen} zählen:
\begin{compactenum}
\item Vertauschung zweier Zeilen
\item Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
\item \hide{Multiplikation einer Zeile mit $\lambda \in \RR, \lambda \neq 0$}
\end{compactenum}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Teilmenge \(L\subseteq \RR^2\) ist eine Gerade genau dann, wenn \(a_1, a_2, b \in \RR\) existieren mit \hide{\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\)}, so dass gilt:
\[
L = \left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \RR^2 \;\middle|\; a_1x_1+a_2x_2=b \right\}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Teilmenge \(L\subseteq \RR^2\) ist eine Gerade genau dann, wenn \(a_1, a_2, b\in \RR \) mit \(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\), so dass gilt:
\[
L = \left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \RR^2 \;\middle|\; a_1x_1+a_2x_2=b \right\}
\]
\cite{1.2.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Gerade in \hide{der Ebene (\(\RR^2\))} ist die Lösungsmenge einer einzigen nicht-trivialen linearen Gleichung.
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Gerade in der Ebene (\(\RR^2\)) ist die Lösungsmenge einer einzigen nicht-trivialen linearen Gleichung.
\medskip
(Das heißt: Sie lässt sich beschreiben als eine Menge von der Form
\[
\left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \RR^2 \;\middle|\; a_1x_1+a_2x_2=b \right\}
\]
mit \(a_1, a_2, b\in \RR \) und \(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\).)
\cite{1.2.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Teilmenge \(E\subseteq \RR^3\) ist eine Ebene genau dann, wenn \(a_1, a_2, a_3, b\in \RR\) existieren mit \hide{\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\)}, so dass gilt:
\[
E = \left\{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) \in \RR^3 \;\middle|\; a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b\right\}
\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Teilmenge \(E\subseteq \RR^3\) ist eine Ebene genau dann, wenn \(a_1, a_2, a_3, b \in \RR\) existieren mit \(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\), so dass gilt:
\[
E = \left\{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) \in \RR^3 \;\middle|\; a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b\right\}
\]
\cite{1.3}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Im Raum \(\RR^3\) ist die Lösungsmenge einer einzigen nicht-trivialen linearen Gleichung
\[
\left\{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) \in \RR^3 \;\middle|\; a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b\right\}
\]
(\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix} \neq \vec{0}\)) eine \hide{Ebene}.
[/latex]
Answer4: [latex]
Im Raum \(\RR^3\) ist die Lösungsmenge einer einzigen nicht-trivialen linearen Gleichung
\[
\left\{\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right) \in \RR^3 \;\middle|\; a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b\right\}
\]
(\(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\)) eine Ebene.
\cite{1.3}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht unter elementaren \hide{Zeilen}umformungen.
[/latex]
Answer5: [latex]
Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich nicht unter elementaren Zeilenumformungen.
\cite{1.4.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie \hide{dieselben Elemente} haben.
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben.
\cite{2.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Menge $M$ ist Teilmenge einer Menge $N$, wenn gilt: \hide{}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Menge $M$ ist Teilmenge einer Menge $N$, wenn gilt:
\[
x \in M \Rightarrow x \in N
\]
\cite{2.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist eine Vorschrift, die \hide{ jedem } $x\in X$ ein eindeutiges Element $f(x)\in Y$ zuordnet.
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist eine Vorschrift, die jedem $x\in X$ ein eindeutiges Element $f(x)\in Y$ zuordnet.
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist eine Vorschrift, die jedem $x\in X$ ein \hide{eindeutiges} Element $f(x)\in Y$ zuordnet.
[/latex]
Prompt5: [latex]
Ein \textbf{Urbild} eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).}
[/latex]
Answer5: [latex]
Ein \textbf{Urbild} eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).
\cite{2.1.3}
[/latex]
Prompt6: [latex]
Das \textbf{Urbild} einer Teilmenge \(B'\subset B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{die Menge \emph{aller} \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).}
[/latex]
Answer6: [latex]
Das \textbf{Urbild} einer Teilmenge \(B'\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist die Menge \emph{aller} \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).
\[f^{-1}(B') = \{ a\in A\mid f(a) \in B'\}\]
\cite{2.1.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das \textbf{Bild} eines Elements \(a\in A\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{das Element \(f(a)\in B\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Das \textbf{Bild} eines Elements \(a\in A\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist das Element \(f(a)\in B\).
[/latex]
Prompt2: [latex]
Das \textbf{Bild} einer Teilmenge \(A'\subset A\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{ die Menge aller Bilder \(f(a')\) von Elementen \(a' \in A'\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Das \textbf{Bild} einer Teilmenge \(A'\subset A\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist die Menge aller Bilder \(f(a')\) von Elementen \(a' \in A'\).
\[f(A') = \{ f(a)\in B\mid a \in A'\}\]
\cite{2.1.3}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Die \textbf{Faser} einer Abbildung \(f\colon A\to B\) über einem Element \(b\in B\) ist \hide{die Menge aller Urbilder von~\(b\).}
[/latex]
Answer3: [latex]
Die \textbf{Faser} einer Abbildung \(f\colon A\to B\) über einem Element \(b\in B\) ist die Menge aller Urbilder von~\(b\).
\cite{2.1.3}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{injektiv}, wenn \(\dots\) \hint{Urbild}
[/latex]
Answer4: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{injektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{höchstens} ein Urbild besitzt.
\cite{2.1.4}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{surjektiv}, wenn \(\dots\) \hint{Urbild}
[/latex]
Answer5: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{surjektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{mindestens} ein Urbild besitzt.
\cite{2.1.4}
[/latex]
Prompt6: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{bijektiv}, wenn \(\dots\) \hint{Urbild}
[/latex]
Answer6: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{bijektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{genau} ein Urbild besitzt.
\cite{2.1.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie \hide{bijektiv} ist.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie \emph{bijektiv} ist.
\cite{2.1.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \hide{\(f\) ist surjektiv}
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
[/latex]
Answer2: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
\cite{2.1.4}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \hide{\(f\) ist bijektiv}
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \hide{\(f\) ist injektiv}
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
[/latex]
Answer4: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sind $X$ und $Y$ \hide{endliche} Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
\cite{2.1.4}
[/latex]
Answer: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
\cite{2.1.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit \hide{gleich vielen} Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Abbildung \(f \colon X \to Y\) ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) gibt mit \hide{\(g\circ f=\id_X\), } oder wenn \(X\) leer ist.
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Abbildung \(f \colon X \to Y\) ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) gibt mit \(g\circ f=\id_X\), oder wenn \(X\) leer ist.
\cite{2.1.5}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine Abbildung \(f \colon X \to Y\) ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) gibt mit \(g\circ f=\id_X\), oder wenn \hide{\(X\) leer ist}.
[/latex]
Prompt5: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) mit \hide{\(f \circ g=id_Y\) } gibt.
[/latex]
Answer5: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) mit \(f \circ g=id_Y\) gibt.
\cite{2.1.5}
[/latex]
Prompt6: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) mit \hide{\(g \circ f=id_X\) } und \hide{\(f \circ g = id_Y\) } gibt.
[/latex]
Answer6: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) mit \(g \circ f=id_X\) und \(f \circ g=id_Y\) gibt.
\cite{2.1.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) mit \(g \circ f=id_X\) und \(f \circ g = id_Y\) gibt. In diesem Fall ist \(g\) \hide{die Umkehrabbildung \(f^{-1}\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung \(X \leftarrow Y\;:g\) mit \(g \circ f=id_X\) und \(f \circ g = id_Y\) gibt. In diesem Fall ist \(g\) die Umkehrabbildung \(f^{-1}\).
\cite{2.1.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Graph einer Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist die Menge \hide{\[\Gamma_f := \{(x, y)\in X\times Y \mid y = f(x)\}\]}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Graph einer Abbildung \(f\colon X \to Y\) ist die Menge \[\Gamma_f := \{(x, y)\in X\times Y \mid y = f(x)\}\]
\cite{2.1.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Relation} auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Relation} auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \(M\times M\).
\cite{2.1.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(R\subset M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\[
x\sim y \quad\text{ bedeutet }\quad \phantom{(x,y)\in R}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \(R\subset M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\[
x\sim y \quad\text{ bedeutet }\quad (x,y)\in R
\]
\cite{2.1.8}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Relation \(\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{reflexiv}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Relation \(\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{reflexiv}, falls
\[
x\sim x \text{ für alle } x \in M.
\]
\cite{2.1.8}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine Relation \(\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{symmetrisch}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Eine Relation \(\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{symmetrisch}, falls
\[
x\sim y \quad\Leftrightarrow\quad y\sim x
\]
für alle \(x,y\in M\).
\cite{2.1.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Relation \(\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{transitiv}, falls
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Relation \(\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{transitiv}, falls
\[
(x\sim y \text{ und } y \sim z) \quad\Rightarrow\quad x\sim z
\]
für alle \(x,y,z\in M\).
\cite{2.1.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\(\dots\)
\end{center}
Relation.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
\cite{2.1.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\(\dots\)\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\(\dots\)\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
[/latex]
Prompt4: [latex]
Die \textbf{Äquivalenzklasse} \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(\sim\) besteht aus allen Elementen \(y\) \(\dots\)
[/latex]
Answer4: [latex]
Die \textbf{Äquivalenzklasse} \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(\sim\) besteht aus allen Elementen \(y\) mit \(y\sim x\).
\cite{2.1.8}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Die \textbf{Quotientenmenge} \[M/\!\sim \quad\quad\text{(„\(M\) modulo \(\sim\)“)}\] einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(\sim\) besteht aus \(\dots\)
[/latex]
Answer5: [latex]
Die \textbf{Quotientenmenge} \[M/\!\sim \quad\quad\text{(„\(M\) modulo \(\sim\)“)}\] einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(\sim\) besteht aus allen Äquivalenzklassen von \(M\) bezüglich \(\sim\).
\cite{2.1.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Verknüpfung} auf einer Menge \(M\) ist \hide{eine Abbildung \(M\times M\to M\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Verknüpfung} auf einer Menge \(M\) ist eine Abbildung \(M\times M\to M\).
\cite{2.2.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{assoziativ}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{assoziativ}, falls gilt:
\[
x\star(y\star z) = (x\star y)\star z
\]
für alle \(x,y,z \in M\).
\cite{2.2.2}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{kommutativ}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{kommutativ}, falls gilt:
\[
x\star y = y\star x
\]
für alle \(x,y \in M\).
\cite{2.2.2}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein \textbf{neutrales Element} einer Verknüpfung \(\star\) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Ein \textbf{neutrales Element} einer Verknüpfung \(\star\) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt:
\[
e\star x = x\star e = x
\]
für alle \(x\in M\).
\cite{2.2.2}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Sei \(\star\) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element~\(e\).
Ein \textbf{inverses Element} zu \(x\in M\) ist ein \(x'\in M\), für das gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer5: [latex]
Sei \(\star\) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element~\(e\).
Ein \textbf{inverses Element} zu \(x\in M\) ist ein \(x'\in M\), für das gilt:
\[
x\star x' = x'\star x = e.
\]
\cite{2.2.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} besteht aus einer Menge \(G\) und aus \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} besteht aus einer Menge \(G\) und aus einer Verknüpfung
\(\star\) auf \(G\).
\cite{2.2.2}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\dots\)
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
\cite{2.2.2}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\dots\)
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] \(\dots\)
\end{itemize}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Eine Gruppe \((G,\star)\) heißt abelsch, falls \hide{\[\forall a,b\in G\colon a\star b=b\star a\]}
[/latex]
Answer5: [latex]
Eine Gruppe \((G,\star)\) heißt abelsch, falls \[\forall a,b\in G\colon a\star b=b\star a\]
\cite{2.2.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \((G, \star)\) eine Gruppe, so ist das neutrale Element $e$ \hide{eindeutig} bestimmt.
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \((G, \star)\) eine Gruppe, so ist das neutrale Element $e$ eindeutig bestimmt.
\cite{2.2.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \((G, \star)\) eine Gruppe, so ist für jedes \(a \in G\) das inverse Element \hide{eindeutig} bestimmt.
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \((G, \star)\) eine Gruppe, so ist für jedes \(a \in G\) das inverse Element eindeutig bestimmt.
\cite{2.2.3}
[/latex]
Prompt3: [latex]
In einer Gruppe \((G, \cdot)\) gilt \[(a^{-1})^{-1} = \dots\]
[/latex]
Answer3: [latex]
In einer Gruppe \((G, \cdot)\) gilt \[(a^{-1})^{-1} = a\]
\cite{2.2.3}
[/latex]
Prompt4: [latex]
In einer Gruppe \((G, \cdot)\) gilt \[(a\cdot b)^{-1} = \dots\]
[/latex]
Answer4: [latex]
In einer Gruppe \((G, \cdot)\) gilt \[(a\cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1}.\]
\cite{2.2.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} einer Menge \(X\) ist die Menge \[\mathbb{S}(X) := \hide{\{X \xrightarrow{f} X \mid f \ \text{bijektiv}\}}\] zusammen mit der Komposition als Verknüpfung.
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} einer Menge \(X\) ist die Menge \[\mathbb{S}(X) := \{X \xrightarrow{f} X \mid f \ \text{bijektiv}\}\] zusammen mit der Komposition \(\circ\) als Verknüpfung.
\cite{2.2.2}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} einer Menge \(X\) ist die Menge \[\mathbb{S}(X) := \{X \xrightarrow{f} X \mid f \ \text{bijektiv}\}\] zusammen mit \hide{der Komposition \(\circ\) } als Verknüpfung.
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sei \((G, \star)\) eine Gruppe und \(a\in G\). Die \textbf{Rechtstranslation mit \(a\)} ist die Abbildung
\hide{ \begin{align*} _a\tau \colon G &\to G\\ g &\mapsto g \star a\end{align*}}
[/latex]
Answer3: [latex]
Sei \((G, \star)\) eine Gruppe und \(a\in G\). Die \textbf{Rechtstranslation mit \(a\)} ist die Abbildung
\begin{align*} _a\tau \colon G &\to G\\ g &\mapsto g \star a\end{align*}
\cite{2.2.4}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Sei \((G, \star)\) eine Gruppe und \(a\in G\). Die \textbf{Linkstranslation mit \(a\)} ist die Abbildung
\hide{\begin{align*} _a\tau \colon G &\to G\\ g &\mapsto a \star g\end{align*}}
[/latex]
Answer4: [latex]
Sei \((G, \star)\) eine Gruppe und \(a\in G\). Die \textbf{Linkstranslation mit \(a\)} ist die Abbildung
\begin{align*} _a\tau \colon G &\to G\\ g &\mapsto a \star g\end{align*}
\cite{2.2.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für jede Gruppe \((G, \star)\) und jedes \(a \in G\) sind die Links- und Rechtstranslation mit \(a\) \hide{bijektiv}.
[/latex]
Answer: [latex]
Für jede Gruppe \((G, \star)\) und jedes \(a \in G\) sind die Links- und Rechtstranslation mit \(a\) bijektiv.
\cite{2.2.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine nichtleere Menge \(G\) und eine assoziative Verknüpfung \(\star\) bilden eine Gruppe, falls für jedes \(a\in G\) die Links- und Rechtstranslationen mit \(a\) \hide{surjektiv } sind.
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine nichtleere Menge \(G\) und eine assoziative Verknüpfung \(\star\) bilden eine Gruppe, falls für jedes \(a\in G\) die Links- und Rechtstranslationen mir \(a\) surjektiv sind.
\cite{2.2.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Untergruppe} $H$ einer Gruppe $(G,\star)$ ist eine nicht-leere Teilmenge \(H \subset G\), für die gilt:
\begin{enumerate}[1.]
\item \hide{\(\forall a,b \in H\colon a \star b \in H\)}
\item \(\forall a\in H\colon a^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Untergruppe} $H$ einer Gruppe $(G,\star)$ ist eine nicht-leere Teilmenge \(H \subset G\), für die gilt:
\begin{enumerate}[1.]
\item \(\forall a,b \in H\colon a \star b \in H\)
\item \(\forall a\in H\colon a^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
\cite{2.2.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{Untergruppe} $H$ einer Gruppe $(G,\star)$ ist eine nicht-leere Teilmenge \(H \subset G\), für die gilt:
\begin{enumerate}[1.]
\item \(\forall a,b \in H\colon a \star b \in H\)
\item \hide{\(\forall a\in H\colon a^{-1} \in H\)}
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star)\to(H,\ast)\) ist ein \textbf{Homomorphismus}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star)\to(H,\ast)\) ist ein \textbf{Homomorphismus}, falls gilt:
\[
f(g_1\star g_2) = f(g_1)\ast f(g_2)
\]
für alle \(g_1,g_2 \in G\).
\cite{2.2.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Isomorphismus} von Gruppen ist ein \hide{bijektiver } Homomorphismus.
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{Isomorphismus} von Gruppen ist ein bijektiver Homomorphismus.
\cite{2.2.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Ring} besteht aus einer Menge \(R\) sowie \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Ring} besteht aus einer Menge \(R\) sowie zwei Verknüpfungen auf \(R\): einer „Addition“ \(+\) und einer „Multiplikation“ \(\cdot\).
\cite{2.3.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist \(\dots\)
\item[(R2)] \(\cdot\) ist assoziativ.
%\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2)] \(\cdot\) ist assoziativ.
%\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
\cite{2.3.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2)] \(\dots\)
%\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2)] \(\cdot\) ist assoziativ.
% \item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] \(\dots\)
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Ring mit Eins} ist ein Ring, der \hide{ein neutrales Element \(1\) für \(\cdot\) enthält. }
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Ring mit Eins} ist ein Ring, der ein neutrales Element \(1\) für \(\cdot\) enthält.
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem \(\dots\)
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem auch die Multiplikation kommutativ ist.
\cite{2.3.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sei \((R, +,\cdot)\) ein Ring. Eine Teilmenge \(S \subset R\) heißt \textbf{Unterring}, falls $S$ eine Untergruppe von \((R,+)\) ist und \hide{ \(S\) abgeschlossen ist unter der Multiplikation.}
[/latex]
Answer3: [latex]
Sei \((R, +,\cdot)\) ein Ring. Eine Teilmenge \(S \subset R\) heißt \textbf{Unterring}, falls $S$ eine Untergruppe von \((R,+)\) ist und \(S\) abgeschlossen ist unter der Multiplikation.
\[
(\forall a,b \in S \colon a\cdot b \in S)
\]
\cite{2.3.2}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Sei \((R, +,\cdot)\) ein Ring. Eine Teilmenge \(S \subset R\) heißt \textbf{Unterring}, falls \hide{$S$ eine Untergruppe von \((R,+)\) ist } und \(S\) abgeschlossen ist unter der Multiplikation.
[/latex]
Answer4: [latex]
Sei \((R, +,\cdot)\) ein Ring. Eine Teilmenge \(S \subset R\) heißt \textbf{Unterring}, falls $S$ eine Untergruppe von \((R,+)\) ist und \(S\) abgeschlossen ist unter der Multiplikation.
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein Ring \((R, +,\cdot)\) heißt \textbf{nullteilerfrei}, wenn für \(a,b\in R\) gilt:
\hide{\[
a \cdot b = 0 \Rightarrow (a=0 \ \text{oder} \ b=0)
\]}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein Ring \((R, +,\cdot)\) heißt \textbf{nullteilerfrei}, wenn für \(a,b\in R\) gilt:
\[
a \cdot b = 0 \quad \Rightarrow \quad (a=0 \ \text{oder} \ b=0)
\]
\cite{2.3.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Abbildung \(f \colon (R,+,\cdot) \to (S,\oplus, \odot)\) heißt \textbf{Homomorphismus von Ringen}, falls \[f \colon (R,+) \to (S, \oplus)\]
ein Gruppenhomomorphismus ist und außerdem gilt:
\[ \hide{\forall a,b \in R\colon f(a\cdot b) = f(a)\odot f(b)}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung \(f \colon (R,+,\cdot) \to (S,\oplus, \odot)\) heißt \textbf{Homomorphismus von Ringen}, falls \[f \colon (R,+) \to (S, \oplus)\]
ein Gruppenhomomorphismus ist und außerdem gilt:
\[\forall a,b \in R\colon f(a\cdot b) = f(a)\odot f(b)\]
\cite{2.3.}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Abbildung \(f \colon (R,+,\cdot) \to (S,\oplus, \odot)\) heißt \textbf{Homomorphismus von Ringen}, falls \[f \colon (R,+) \to (S, \oplus)\]
\hide{ein Gruppenhomomorphismus ist} und außerdem gilt:
\[\forall a,b \in R\colon f(a\cdot b) = f(a)\odot f(b)\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Abbildung \(f \colon (R,+,\cdot) \to (S,\oplus, \odot)\) heißt \textbf{Homomorphismus von Ringen}, falls \[f \colon (R,+) \to (S, \oplus)\]
ein Gruppenhomomorphismus ist und außerdem gilt:
\[\forall a,b \in R\colon f(a\cdot b) = f(a)\odot f(b)\]
[/latex]

Prompt: [latex]
Zwei Polynome sind gleich, wenn \hide{alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.}
[/latex]
Answer: [latex]
Zwei Polynome sind gleich, wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.
\cite{2.3.5,2.3.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Grad} \(\deg(A)\) eines Polynoms \[A=\sum_{i\geq 0} a_i t^i\] ist \(\dots\)
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Grad} \(\deg(A)\) eines Polynoms \[A=\sum_{i\geq 0} a_i t^i\] ist der größte Index \(i\), für den der Koeffizient \(a_i\) ungleich Null ist.
\cite{2.3.5}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Leitkoeffizient} eines Polynoms \(A=\sum_{i\geq 0} a_i t^i\) ist \hide{der Koeffizient \(a_{\deg(A)}\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Leitkoeffizient} eines Polynoms \(A=\sum_{i\geq 0} a_i t^i\) ist der Koeffizient \(a_{\deg(A)}\).
\cite{2.3.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Gradsatz}
Das Produkt zweier Polynome ungleich Null ist wieder ungleich Null, sofern \hide{das Produkt ihrer Leitkoeffizienten ungleich Null ist. }
In diesem Fall gilt ferner:
\[
\deg(f \cdot g) = \deg(f) + \deg(g)
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Gradsatz}
Das Produkt zweier Polynome ungleich Null ist wieder ungleich Null, sofern das Produkt ihrer Leitkoeffizienten ungleich Null ist.
In diesem Fall gilt ferner:
\[
\deg(f \cdot g) = \deg(f) + \deg(g)
\]
\cite{2.3.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Gradsatz}
Das Produkt zweier Polynome ungleich Null ist wieder ungleich Null, sofern das Produkt ihrer Leitkoeffizienten ungleich Null ist.
In diesem Fall gilt ferner:
\[
\deg(f \cdot g) = \hide{\deg(f) + \deg(g)}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Gradsatz}
Das Produkt zweier Polynome ungleich Null ist wieder ungleich Null, sofern \hide{das Produkt ihrer Leitkoeffizienten ungleich Null ist.}
In diesem Fall gilt ferner:
\[
\deg(f \cdot g) = \deg(f) + \deg(g)
\]
\cite{2.3.6}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Gradsatz-Korollar}
Der Polynomring \(R[t]\) ist nullteilerfrei, sofern der kommutative Ring mit Eins \(R\) \hide{ ebenfalls nullteilerfrei ist.}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Gradsatz-Korollar}
Der Polynomring \(R[t]\) ist nullteilerfrei, sofern der kommutative Ring mit Eins \(R\) ebenfalls nullteilerfrei ist.
\cite{2.3.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Einheit} in einem Ring \(R\) mit Eins ist ein Element, das \hide{ein multiplikatives Inverses besitzt.}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Einheit} in einem Ring \(R\) mit Eins ist ein Element, das ein multiplikatives Inverses besitzt.
\cite{2.3.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Einheitengruppen} \(R^\times\) eines Rings \(R\) mit Eins ist \(\dots\)
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Einheitengruppen} \(R^\times\) eines Rings \(R\) mit Eins ist die Menge aller Einheiten zusammen mit der Multiplikation als Verknüpfung.
\cite{2.3.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(f,g\in R[t]\). Falls
\begin{quote}
der Leitkoeffizient von \(g\)\\ \hide{eine Einheit ist,}
\end{quote}
so besitzt \(f\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(
f = g\cdot q + r
\)
mit \(\deg r<\deg g\).
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(f,g\in R[t]\). Falls
\begin{quote}
der Leitkoeffizient von \(g\)\\
eine Einheit ist,
\end{quote}
so besitzt \(f\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(
f = g\cdot q + r
\)
mit \(\deg r<\deg g\).
\cite{2.3.7}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(f,g\in R[t]\). Falls der Leitkoeffizient von \(g\) eine Einheit ist, so besitzt \(f\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[\dots\]
\hfill mit \(\deg r<\deg g\).
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(f,g\in R[t]\). Falls der Leitkoeffizient von \(g\) eine Einheit ist, so besitzt \(f\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
f = g\cdot q + r
\]
\hfill mit \(\deg r<\deg g\).
\cite{2.3.7}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(f,g\in R[t]\). Falls der Leitkoeffizient von \(g\) eine Einheit ist, so besitzt \(f\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
f = g\cdot q + r
\]
\begin{center}
mit \hide{deg r < deg g}.
\end{center}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(f,g\in R[t]\). Falls der Leitkoeffizient von \(g\) eine Einheit ist, so besitzt \(f\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
f = g\cdot q + r
\]
\begin{center}
mit \(\deg r<\deg g\).
\end{center}
\cite{2.3.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \(R\) kommutativer Ring mit \(1\neq 0\).
Die Notation \(b | a\) für \(a,b \in R\) bedeutet:
\[
\hide{\exists c\in R\colon a = b\cdot c}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \(R\) kommutativer Ring mit \(1\neq 0\).
Die Notation \(b | a\) für \(a,b \in R\) bedeutet:
\[
\exists c\in R\colon a = b\cdot c
\]
\begin{center}
(``\(b\) teilt \(a\)'')
\end{center}
\cite{2.3.8}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(R\) kommutativer Ring mit \(1\neq 0\).
Ein \textbf{gemeinsamer Teiler} von \(a,b \in R\) ist ein Element \(c\) mit der Eigenschaft: \hide{\(c|a\) und \(c|b\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \(R\) kommutativer Ring mit \(1\neq 0\).
Ein \textbf{gemeinsamer Teiler} von \(a,b \in R\) ist ein Element \(c\) mit der Eigenschaft: \(c|a\) und \(c|b\).
\cite{2.3.8}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sei \(R\) kommutativer Ring mit \(1\neq 0\).
Ein \textbf{größter gemeinsamer Teiler (ggT)} von \(a,b\in R\) ist ein gemeinsamer Teiler \(c\) mit der Eigenschaft:
\hide{Jeder gemeinsame Teiler von \(a\) und \(b\) teilt \(c\).}
[/latex]
Answer3: [latex]
Sei \(R\) kommutativer Ring mit \(1\neq 0\).
Ein \textbf{größter gemeinsamer Teiler (ggT)} von \(a,b\in R\) ist ein gemeinsamer Teiler \(c\) mit der Eigenschaft:
Jeder gemeinsame Teiler von \(a\) und \(b\) teilt \(c\).
\cite{2.3.8}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{euklidische Algorithmus} liefert in den folgenden Ringen einen größten gemeinsamen Teiler zu je zwei Elementen \(\neq 0\):
\begin{itemize}
\item \(\ZZ\)
\item \hide{\(K[t]\) für einen Körper \(K\)}
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{euklidische Algorithmus} liefert in den folgenden Ringen einen größten gemeinsamen Teiler zu je zwei Elementen \(\neq 0\):
\begin{itemize}
\item \(\ZZ\)
\item \(K[t]\) für einen Körper \(K\)
\end{itemize}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{euklidische Algorithmus} liefert in den folgenden Ringen einen größten gemeinsamen Teiler zu je zwei Elementen \(\neq 0\):
\begin{itemize}
\item \hide{\(\ZZ\)}
\item \(K[t]\) für einen Körper \(K\)
\end{itemize}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Der \textbf{erweiterte euklidische Algorithmus} liefert in \(\ZZ\) und im Polynomring \(K[t]\) über einem Körper folgendes:
zu je zwei Elmementen \(a\) und \(b\) mit größtem gemeinsamem Teiler \(c\)
\hide{Elemente \(x,y\), für die gilt:}
\[ \hide{c = x\cdot a + y\cdot b}\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Der \textbf{erweiterte euklidische Algorithmus} liefert in \(\ZZ\) und im Polynomring \(K[t]\) über einem Körper folgendes:
zu je zwei Elmementen \(a\) und \(b\) mit größtem gemeinsamem Teiler \(c\)
Elemente \(x,y\), für die gilt:
\[ c = x\cdot a + y\cdot b\]
\cite{2.3.9}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Zu zwei teilerfremden ganzen Zahlen \(a\) und \(b\) existieren stets ganze Zahlen \(x\) und \(y\), für die gilt:
\[
x\cdot a + y\cdot b = \hide{1}
\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Zu zwei teilerfremden ganzen Zahlen \(a\) und \(b\) existieren stets ganze Zahlen \(x\) und \(y\), für die gilt:
\[
x\cdot a + y\cdot b = 1
\]
\cite{2.3.9 (erweiterter euklidischer Algorithmus)}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für ein Polynom \(f=\sum_{i=0}^{n} a_i t^i\) mit Koeffizienten in \(R\) ist die \textbf{Polynomabbildung} \(\Tilde{f}\) gegeben durch
\begin{align*}
\hide{} \\
\hide{}
\end{align*}
[/latex]
Answer: [latex]
Für ein Polynom \(f=\sum_{i=0}^{n} a_i t^i\) mit Koeffizienten in \(R\) ist die \textbf{Polynomabbildung} gegeben durch
\begin{align*}
\Tilde{f} \colon R &\to R \\
x &\mapsto \sum_{i=0}^{n} a_i\cdot x^i
\end{align*}
\cite{2.3.5}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Auswertungsabbildung} an einem festem \(x\in R\) ist gegeben durch:
\begin{align*}
ausw_x\colon R[t] &\to \hide{R} \\
f &\mapsto \hide{\Tilde{f}(x)}
\end{align*}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Auswertungsabbildung} an einem festem \(x\in R\) ist gegeben durch:
\begin{align*}
ausw_x\colon R[t] &\to R \\
f &\mapsto \Tilde{f}(x)
\end{align*}
\cite{2.3.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
\(\lambda \in R\) heißt \textbf{Nullstelle} des Polynoms \(f\), falls:
\[\hide{\Tilde{f}(\lambda) = 0}\]
[/latex]
Answer: [latex]
\(\lambda \in R\) heißt \textbf{Nullstelle} des Polynoms \(f\), falls:
\[\Tilde{f}(\lambda) = 0\]
\cite{2.3.10}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(K\) ein Körper, \(f \in K[t]\) und \(\lambda \in K\). Die \textbf{Vielfachheit} der Nullstelle \(\lambda\) ist gegeben durch das maximale \(r\in \mathbb{N}\), sodass \[\hide{f=(t-\lambda)^r\cdot g }\] für ein \(g\in R[t]\) gilt.
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \(K\) ein Körper, \(f \in K[t]\) und \(\lambda \in K\). Die \textbf{Vielfachheit} der Nullstelle \(\lambda\) ist gegeben durch das maximale \(r\in \mathbb{N}\), sodass \[f=(t-\lambda)^r\cdot g \] für ein \(g\in R[t]\) gilt.
\cite{2.3.10}
[/latex]

Prompt: [latex]
\(\lambda \in R\) ist genau dann Nullstelle von \(f \in R[t]\), wenn sich \(f\) im Polynomring \(R[t]\) zerlegen lässt als
\[
f = \hide{(t-\lambda)q.}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\(\lambda \in R\) ist genau dann Nullstelle von \(f \in R[t]\), wenn sich \(f\) im Polynomring \(R[t]\) zerlegen lässt als
\[
f = (t-\lambda)q.
\]
\cite{2.3.10}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein Polynom \(\neq 0\) über einem Körper hat höchstens \hide{\(\deg(f)\) } verschiedene Nullstellen.
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein Polynom \(\neq 0\) über einem Körper hat höchstens \hide{\(\deg(f)\) } verschiedene Nullstellen.
\cite{2.3.10}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein Polynom \(\neq 0\) über einem \hide{Körper } hat höchstens \(\deg(f)\) verschiedene Nullstellen.
[/latex]
Answer3: [latex]
Ein Polynom \(\neq 0\) über einem Körper hat höchstens \(\deg(f)\) verschiedene Nullstellen.
\cite{2.3.10}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Jedes Polynom \(\neq 0\) über einem Körper \(K\) lässt sich zerlegen als
\[
g\cdot (t-\lambda_1)^{r_1}\cdot(t-\lambda_2)^{r_2}\cdot\dots\cdot(t-\lambda_k)^{r_k},
\]
wobei \(g\in K[t]\) \hide{nullstellenfrei ist.}
[/latex]
Answer4: [latex]
Jedes Polynom \(\neq 0\) über einem Körper \(K\) lässt sich zerlegen als
\[
g\cdot (t-\lambda_1)^{r_1}\cdot(t-\lambda_2)^{r_2}\cdot\dots\cdot(t-\lambda_k)^{r_k},
\]
wobei \(g\in K[t]\) nullstellenfreien ist.
\cite{2.3.11}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Fundamentalsatz der Algebra}
Jedes \(f \in \mathbb{C}[t]\) von Grad \(\geq 1\) \hide{besitzt
eine Nullstelle. }
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Fundamentalsatz der Algebra}
Jedes \(f \in \mathbb{C}[t]\) von Grad \(\geq 1\) besitzt eine Nullstelle.
\cite{2.3.11}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Fundamentalsatz der Algebra}
Jedes \(f \in \mathbb{C}[t]\) von Grad \hide{\(\geq 1\) } besitzt
eine Nullstelle.
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Fundamentalsatz der Algebra (Korrollar)}
Jedes \(f \in \mathbb{C}[t]\) zerfällt \hide{in Linearfaktoren}.
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Fundamentalsatz der Algebra (Korrollar)}
Jedes \(f \in \mathbb{C}[t]\) zerfällt in Linearfaktoren.
\cite{2.3.11}
[/latex]

Prompt: [latex]
Jedes \(f \in \RR[t]\) hat die Form
\[ f = a\cdot g_1 \cdot\dots\cdot g_m\cdot (t-\lambda_1)^{r_1}\cdot(t-\lambda_k)^{r_k}\] mit \(g_1,\dots,g_m \in \RR[t]\) \hide{ohne Nullstellen}, \(\deg(g_i)= 2\)
[/latex]
Answer: [latex]
Jedes \(f \in \RR[t]\) hat die Form
\[ f = a\cdot g_1 \cdot\dots\cdot g_m\cdot (t-\lambda_1)^{r_1}\cdot(t-\lambda_k)^{r_k}\] mit \(g_1,\dots,g_m \in \RR[t]\) ohne Nullstellen, \(\deg(g_i)= 2\)
\cite{2.3.12}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Jedes \(f \in \RR[t]\) hat die Form
\[ f = a\cdot g_1 \cdot\dots\cdot g_m\cdot (t-\lambda_1)^{r_1}\cdot(t-\lambda_k)^{r_k}\] mit \(g_1,\dots,g_m \in \RR[t]\) ohne Nullstellen, \hide{\(\deg(g_i)= 2\)}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) ist eine abelsche Gruppe \((V,+)\) zusammen mit einer Abbildung
\[
\bullet \colon K\times V \to V,
\] sodass für alle \(\lambda,\mu\in K\) und \(\vec u, \vec v \in V\) gilt:
\begin{itemize}
\item[1)] \hide{\(\lambda \bullet (\vec u + \vec v) = (\lambda \bullet \vec u)+(\lambda \bullet \vec v)\)}
\item[2)] \((\lambda + \mu) \bullet \vec u = (\lambda \bullet \vec u ) + (\mu \bullet \vec u)\)
\item[3)] \((\lambda \mu)\bullet \vec u = \lambda \bullet (\mu \bullet \vec u)\)
\item[4)] \(1 \bullet \vec u = \vec u\)
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) ist eine abelsche Gruppe \((V,+)\) zusammen mit einer Abbildung
\[
\bullet \colon K\times V \to V,
\] sodass für alle \(\lambda,\mu\in K\) und \(\vec u, \vec v \in V\) gilt:
\begin{itemize}
\item[1)] \(\lambda \bullet (\vec u + \vec v) = (\lambda \bullet \vec u)+(\lambda \bullet \vec v)\)
\item[2)] \((\lambda + \mu) \bullet \vec u = (\lambda \bullet \vec u ) + (\mu \bullet \vec u)\)
\item[3)] \((\lambda \mu)\bullet \vec u = \lambda \bullet (\mu \bullet \vec u)\)
\item[4)] \(1 \bullet \vec u = \vec u\)
\end{itemize}
\cite{2.4.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) ist eine abelsche Gruppe \((V,+)\) zusammen mit einer Abbildung
\[
\bullet \colon K\times V \to V,
\] sodass für alle \(\lambda,\mu\in K\) und \(\vec u, \vec v \in V\) gilt:
\begin{itemize}
\item[1)] \(\lambda \bullet (\vec u + \vec v) = (\lambda \bullet \vec u)+(\lambda \bullet \vec v)\)
\item[2)] \hide{\((\lambda + \mu) \bullet \vec u = (\lambda \bullet \vec u ) + (\mu \bullet \vec u)\)}
\item[3)] \((\lambda \mu)\bullet \vec u = \lambda \bullet (\mu \bullet \vec u)\)
\item[4)] \(1 \bullet \vec u = \vec u\)
\end{itemize}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) ist eine abelsche Gruppe \((V,+)\) zusammen mit einer Abbildung
\[
\bullet \colon K\times V \to V,
\] sodass für alle \(\lambda,\mu\in K\) und \(\vec u, \vec v \in V\) gilt:
\begin{itemize}
\item[1)] \(\lambda \bullet (\vec u + \vec v) = (\lambda \bullet \vec u)+(\lambda \bullet \vec v)\)
\item[2)] \((\lambda + \mu) \bullet \vec u = (\lambda \bullet \vec u ) + (\mu \bullet \vec u)\)
\item[3)] \hide{\((\lambda \mu)\bullet \vec u = \lambda \bullet (\mu \bullet \vec u)\)}
\item[4)] \(1 \bullet \vec u = \vec u\)
\end{itemize}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) ist eine abelsche Gruppe \((V,+)\) zusammen mit einer Abbildung
\[
\bullet \colon K\times V \to V,
\] sodass für alle \(\lambda,\mu\in K\) und \(\vec u, \vec v \in V\) gilt:
\begin{itemize}
\item[1)] \(\lambda \bullet (\vec u + \vec v) = (\lambda \bullet \vec u)+(\lambda \bullet \vec v)\)
\item[2)] \((\lambda + \mu) \bullet \vec u = (\lambda \bullet \vec u ) + (\mu \bullet \vec u)\)
\item[3)] \((\lambda \mu)\bullet \vec u = \lambda \bullet (\mu \bullet \vec u)\)
\item[4)] \hide{\(1 \bullet \vec u = \vec u\)}
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein K-\textbf{Untervektorraum} von V ist eine Teilmenge \(W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \hide{\(W \neq \emptyset\)}
\item[(2)] \(W\) ist abgeschlossen unter Addition
\item[(3)] \(W\) ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein K-\textbf{Untervektorraum} von V ist eine Teilmenge \(W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \(W \neq \emptyset\)
\item[(2)] \(W\) ist abgeschlossen unter Addition
\item[(3)] \(W\) ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation
\end{itemize}
\cite{2.4.2}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein K-\textbf{Untervektorraum} von V ist eine Teilmenge \(W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \(W \neq \emptyset\)
\item[(2)] \hide{\(W\) ist abgeschlossen unter Addition}
\item[(3)] \(W\) ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation
\end{itemize}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein K-\textbf{Untervektorraum} von V ist eine Teilmenge \(W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \(W \neq \emptyset\)
\item[(2)] \(W\) ist abgeschlossen unter Addition
\item[(3)] \hide{\(W\) ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation}
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Schnitt beliebig vieler Untervektorräume ist \hide{wieder ein Untervektorraum.}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Schnitt beliebig vieler Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum.
\cite{2.4.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die Vereinigung beliebig vieler Untervektorräume ist \hide{im Allgemeimen \emph{kein} Untervektorraum.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Die Vereinigung beliebig vieler Untervektorräume ist im Allgemeimen \emph{kein} Untervektorraum.
\cite{2.4.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Linearkombination} von Vektoren in V ist eine endliche Summe der Form:
\[
\hide{\sum_{i=1}^n \lambda_i \bullet \vec v_i}
\]
mit \(\lambda_i \in K, \vec v_i \in V, n\in \mathbb{N}\)
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Linearkombination} von Vektoren in V ist eine endliche Summe der Form:
\[
\sum_{i=1}^n \lambda_i \bullet \vec v_i
\]
mit \(\lambda_i \in K, \vec v_i \in V, n\in \mathbb{N}\)
\cite{2.4.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der von einer Menge \(M\subset V\) \textbf{aufgespannte Untervektorraum} \(\text{span}(M)\) ist die Menge \hide{aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(M\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Der von einer Menge \(M\subset V\) \textbf{aufgespannte Untervektorraum} \(\text{span}(M)\) ist die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(M\).
\cite{2.4.4}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Die \textbf{interne Summe} von Untervektorräumen \(W_i \subset V\) \((i\in I)\) ist der Untervektorraum
\[
\sum_{i\in I} W_i := \hide{\text{span}\Big(\bigcup_{i\in I} W_i\Big)}
\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Die \textbf{intern Summe} von Untervektorräumen \(W_i \subset V\) \((i\in I)\) ist der Untervektorraum
\[
\sum_{i\in I} W_i := \text{span}\Big(\bigcup_{i\in I} W_i\Big)
\]
\cite{2.6.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der von einer Menge \(M\subset V\) aufgespannte Untervektorraum \(\text{span}(M)\) ist der \hide{kleinste} Untervektorraum, der \(M\) enthält.
[/latex]
Answer: [latex]
Der von einer Menge \(M\subset V\) aufgespannte Untervektorraum \(\text{span}(M)\) ist der kleinste Untervektorraum, der \(M\) enthält.
\cite{2.4.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der von einer Menge \(M\subset V\) aufgespannte Untervektorraum \(\text{span}(M)\) ist der kleinste Untervektorraum, der \hide{\(M\) enthält.}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Familie} von Vektoren im Vektorraum \(V\) ist ein Element \hide{eines Produkts \(\Pi_{i\in I}V\). }
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{Familie} von Vektoren im Vektorraum \(V\) ist ein Element eines Produkts \(\Pi_{i\in I}V\).
\cite{2.4.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die \textbf{Länge} einer Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I} \) ist gegeben durch \hide{die Anzahl der Elemente von \(I\). }
[/latex]
Answer2: [latex]
Die \textbf{Länge} einer Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I} \) ist gegeben durch die Anzahl der Elemente von \(I\).
\cite{2.4.4}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) ist ein \textbf{Erzeugendensystem} von V, falls
\[
\hide{\text{span}\Big(\{\vec{v}_i \mid i\in I\}\Big) = V}
\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) ist ein \textbf{Erzeugendensystem} von V, falls
\[
\text{span}\Big(\{\vec{v}_i \mid i\in I\}\Big) = V
\]
\cite{2.4.5,2.5.1}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) heißt \textbf{linear unabhängig}, wenn sie sich \hide{nur trivial zu \(\vec{0}\) } kombinieren lässt.
[/latex]
Answer4: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) heißt \textbf{linear unabhängig}, wenn sie sich nur trivial zu \(\vec{0}\) kombinieren lässt.
\cite{2.4.5,2.5.1}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Eine \textbf{Basis} ist ein linear \hide{unabhängiges } Erzeugendensystem.
[/latex]
Answer5: [latex]
Eine \textbf{Basis} ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
\cite{2.4.5,2.5.1}
[/latex]
Prompt6: [latex]
Eine \textbf{Basis} ist ein linear unabhängiges \hide{Erzeugendensystem. }
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) ist genau dann Erzeugendensystem von \(V\), wenn jeder Vektor \(\vec{v}\in V\) \hide{\emph{mindestens} } eine Darstellung als Linearkombination der \(\vec{v}_i\) hat.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) ist genau dann Erzeugendensystem von \(V\), wenn jeder Vektor \(\vec{v}\in V\) \emph{mindestens} eine Darstellung als Linearkombination der \(\vec{v}_i\) hat.
\cite{2.5.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) ist genau dann linear unabhängig, wenn jedes \(\vec{v}\in V\) \hide{\emph{höchstens} } eine Darstellung als Linearkombination der \(\vec{v}_i\) hat.
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) ist genau dann linear unabhängig, wenn jedes \(\vec{v}\in V\) \emph{höchstens} eine Darstellung als Linearkombination der \(\vec{v}_i\) hat.
\cite{2.5.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) ist genau dann eine Basis von \(V\), wenn jedes \(\vec{v}\in V\) \hide{\emph{genau} } eine Darstellung als Linearkombination der \(\vec{v}_i\) hat.
[/latex]
Answer3: [latex]
Eine Familie von Vektoren \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) ist genau dann eine Basis von \(V\), wenn jedes \(\vec{v}\in V\) \emph{genau} eine Darstellung als Linearkombination der \(\vec{v}_i\) hat.
\cite{2.5.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Basisergänzungslemma}
Sei \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) linear unabhängig.
Für jedes \[\vec{v} \in \hide{V\backslash\text{span}\Big(\{\vec{v}_i\}_{i\in I}\Big)}\] ist auch die um \(\vec v\) ergänzte Familie \((\vec{v}, \vec{v}_i)_{i\in I}\) linear unabhängig.
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Basisergänzungslemma}
Sei \((\vec{v}_i)_{i\in I}\) linear unabhängig.
Für jedes \[\vec{v} \in V\backslash\text{span}\Big(\{\vec{v}_i\}_{i\in I}\Big)\] ist auch die um \(\vec v\) ergänzte Familie \((\vec{v}, \vec{v}_i)_{i\in I}\) linear unabhängig.
\cite{2.5.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Basis ist ein m\hide{inimales } Erzeugendensystem.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.
\cite{2.5.2}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Basis ist eine \hide{maximale } linear unabhängige Familie.
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Basis ist eine maximale linear unabhängige Familie.
\cite{2.5.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Basisauswahlsatz}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Basisauswahlsatz}
Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.
\cite{2.5.3, 2.5.5}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Basisergänzungssatz}
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Basisergänzungssatz}
Jede linear unabhängige Familie lässt sich zu einer Basis ergänzen.
\cite{2.5.3, 2.5.5}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Hauptsatz der linearen Algebra, Teil I}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Hauptsatz der linearen Algebra, Teil I}
Jeder Vektorraum hat eine Basis.
\cite{2.5.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Je zwei Basen eines Vektorraums haben diesel\hide{be Länge. }
[/latex]
Answer: [latex]
Je zwei Basen eines Vektorraums haben dieselbe Länge.
\cite{2.5.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Dimension} \(\text{dim}_K(V)\) eines \(K\)-Vektorraums ist \hide{die Länge einer Basis.}
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Dimension} \(\text{dim}_K(V)\) eines \(K\)-Vektorraums ist die Länge einer Basis.
\cite{2.5.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Austauschsatz (Teil I)}
Sei
\begin{align*}
\mathcal B &= (\vec{b}_1,...,\vec{b}_d) &&\text{eine Basis,}\\
\mathcal U &= (\vec{u}_1,...,\vec{u}_l) &&\text{linear unabhängig.}
\end{align*}
Dann ist \(l \hide{\leq d.}\)
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Austauschsatz (Teil I)}
Sei
\begin{align*}
\mathcal B &= (\vec{b}_1,...,\vec{b}_d) &&\text{eine Basis,}\\
\mathcal U &= (\vec{u}_1,...,\vec{u}_l) &&\text{linear unabhängig.}
\end{align*}
Dann ist \(l \leq d\).
\cite{2.5.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Austauschsatz}
Sei
\begin{align*}
\mathcal B &= (\vec{b}_1,...,\vec{b}_d) &&\text{eine Basis,}\\
\mathcal U &= (\vec{u}_1,...,\vec{u}_l) &&\text{linear unabhängig.}
\end{align*}
Dann ist \(l \leq d\), und \hide{man kann eine neue Basis erhalten, indem man gewisse Vektoren aus \(\mathcal B\) durch die Vektoren aus \(\mathcal U\) austauscht. }
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Austauschsatz}
Sei
\begin{align*}
\mathcal B &= (\vec{b}_1,...,\vec{b}_d) &&\text{eine Basis,}\\
\mathcal U &= (\vec{u}_1,...,\vec{u}_l) &&\text{linear unabhängig.}
\end{align*}
Dann ist \(l \leq d\), und man kann eine neue Basis erhalten, indem man gewisse Vektoren aus \(\mathcal B\) durch die Vektoren aus \(\mathcal U\) austauscht.
\cite{2.5.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für die Dimension eines Untervektorraums \(W \subset V\) gilt:
\[\hide{\dim W \leq \dim V}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Für die Dimension eines Untervektorraums \(W \subset V\) gilt:
\[\dim W \leq \dim V\]
\cite{2.5.5}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Für einen Untervektorraum \(W\) eines \emph{endlich erzeugten} Vektroraums \(V\) gilt:
\[\dim W = \dim V \Leftrightarrow \hide{W = V}\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Für einene Untervektorraum \(W\) eines endlich erzeugten Vektroraums \(V\) gilt:
\[\dim W = \dim V \Leftrightarrow W = V\]
\cite{2.5.5}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Dimensionsformel für Unterräume}
Für endlich-dimensionale Untervektorräume \(W_1,W_2 \subset V\) gilt:
\[\dim(W_1+W_2) = \hide{\dim W_1 +\dim W_2 - \dim (W_1 \cap W_2)}\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Dimensionsformel für Unterräume}
Für endlich-dimensionale Untervektorräume \(W_1,W_2 \subset V\) gilt:
\[\dim(W_1+W_2) = \dim W_1 +\dim W_2 - \dim (W_1 \cap W_2)\]
\cite{2.6.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Basis eines Untervektorraums berechnen}
Sei \(W = \text{span}(\vec{v}_1,...,\vec{v}_m) \subseteq K^d\).
\begin{enumerate}
\item Fasse die (Spalten-)Vektoren \(\vec{v}_i\) zu einer Matrix \(A\) zusammen.
\item Bringe \(A\) mit \hide{elementaren Spaltenumformungen } auf \hide{Spaltenstufenform } \(\tilde A\).
\item Eine Basis von \(W\) ist gegeben durch die von \(\vec{0}\) verschiedenen Spalten von \(\tilde A\).
\end{enumerate}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Basis eines Untervektorraums berechnen}
Sei \(W = \text{span}(\vec{v}_1,...,\vec{v}_m) \subseteq K^d\).
\begin{enumerate}
\item Fasse die (Spalten-)Vektoren \(\vec{v}_i\) zu einer Matrix \(A\) zusammen.
\item Bringe \(A\) mit elementaren Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform \(\tilde A\).
\item Eine Basis von \(W\) ist gegeben durch die von \(\vec{0}\) verschiedenen Spalten von \(\tilde A\).
\end{enumerate}
\cite{2.5.7}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Basis eines Untervektorraums berechnen}
Sei \(W = \text{span}(\vec{v}_1,...,\vec{v}_m) \subseteq K^d\).
\begin{enumerate}
\item Fasse die (Spalten-)Vektoren \(\vec{v}_i\) zu einer Matrix \(A\) zusammen.
\item Bringe \(A\) mit elementaren Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform \(\tilde A\).
\item Eine Basis von \(W\) ist gegeben durch \hide{ die von \(\vec{0}\) verschiedenen Spalten von \(\tilde A\).}
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{K-lineare Abbildung} ist ein \hide{Gruppenhomomorphismus}
\[
F\colon (V,+) \to (W, +)
\]
der zusätzlich \(\forall \lambda \in K, \forall \vec{v}\in V:
\)
\[
F(\lambda\cdot\vec{v}) = \lambda\cdot F(\vec{v})
\]
erfüllt.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{K-lineare Abbildung} ist ein Gruppenhomomorphismus
\[
F\colon (V,+) \to (W, +)
\]
der zusätzlich \(\forall \lambda \in K, \forall \vec{v}\in V:
\)
\[
F(\lambda\cdot\vec{v}) = \lambda\cdot F(\vec{v})
\]
erfüllt.
\cite{3.1.2}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{K-lineare Abbildung} ist ein Gruppenhomomorphismus
\[
F\colon (V,+) \to (W, +)
\]
der zusätzlich \(\forall \lambda \in K, \forall \vec{v}\in V:
\)
\[
\hide{F(\lambda\cdot\vec{v}) = \lambda\cdot F(\vec{v})}
\]
erfüllt.
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Isomorphismus} ist eine \hide{bijektive K-lineare Abbildung. }
[/latex]
Answer3: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Isomorphismus} ist eine bijektive K-lineare Abbildung.
\cite{3.1.2}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Endomorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer4: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Endomorphismus} ist eine lineare Abbildung mit gleichem Definitions- und Werteraum: \[V\to V\]
\cite{3.1.2}
[/latex]
Prompt5: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Automorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex]
Answer5: [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Automorphismus} ist ein Vektorraum-Isomorphismus mit gleichem Definitions- und Werteraum: \[V\xrightarrow{\cong} V\]
\cite{3.1.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das \textbf{Bild} einer \(K\)-linearen Abbildung \(F\colon V \to W\) ist
\[\mathrm{Im}(F) := \hide{F(V) \subset W}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Das \textbf{Bild} einer \(K\)-linearen Abbildung \(F\colon V \to W\) ist
\[\mathrm{Im}(F) := F(V) \subset W\]
\cite{3.2.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Kern} einer \(K\)-linearen Abbildung \(F\colon V \to W\) ist
\[\mathrm{Ker}(F) := \hide{F^{-1}(\vec{0}) \subset V}\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Kern} einer \(K\)-linearen Abbildung \(F\colon V \to W\) ist
\[\mathrm{Ker}(F) := F^{-1}(\vec{0}) \subset V\]
\cite{3.2.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für eine \(K\)-lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) gilt:
\[F \ \text{surjektiv} \Leftrightarrow \mathrm{Im}(F) = \hide{W}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Für eine \(K\)-lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) gilt:
\[F \ \text{surjektiv} \Leftrightarrow \mathrm{Im}(F) = W\]
\cite{3.2.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Für eine \(K\)-lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) gilt:
\[F \ \text{injektiv} \Leftrightarrow \mathrm{Ker}(F) = \hide{\{\vec{0}\}}\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Für eine \(K\)-lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) gilt:
\[F \ \text{injektiv} \Leftrightarrow \mathrm{Ker}(F) = \{\vec{0}\}\]
\cite{3.2.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist surjektiv.
\item \(F\) bildet \hide{eine Basis von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).}\hint{``Minimalforderung''}
\item \(F\) bildet \emph{jedes} Erzeugendensystems von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist surjektiv.
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\item \(F\) bildet \emph{jedes} Erzeugendensystems von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist surjektiv.
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\item \(F\) bildet \hide{\emph{jedes} Erzeugendensystems von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).}\hint{``Maximalforderung''}
\end{itemize}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist \hide{surjektiv. }
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\item \(F\) bildet \emph{jedes} Erzeugendensystems von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt4: [latex]
\textbf{Bilder von linear unabhängiger Familien}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist injektiv.
\item \(F\) bildet \hide{\emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.}
\hint{Minimalforderung}
\item \(F\) bildet \emph{jede} linear unabhängige Familie aus \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie in \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer4: [latex]
\textbf{Bilder von linear unabhängiger Familien}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist injektiv.
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.
\item \(F\) bildet \emph{jede} linear unabhängige Familie aus \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie in \(W\).
\end{itemize}
\cite{3.2.1}
[/latex]
Prompt5: [latex]
\textbf{Bilder von linear unabhängiger Familien}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist injektiv.
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.
\item \(F\) \hide{bildet \emph{jede} linear unabhängige Familie aus \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie in \(W\).}
\hint{Maximalforderung}
\end{itemize}
[/latex]
Prompt6: [latex]
\textbf{Bilder von linear unabhängiger Familien}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist \hide{injektiv. }
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.
\item \(F\) bildet \emph{jede} linear unabhängige Familie aus \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie in \(W\).
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist ein Isomorphismus.
\item \(F\) bildet \hide{\emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).}
\hint{Minimalforderung}
\item \(F\) bildet \emph{jede} Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Bilder von linear unabhängiger Familien}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist ein Isomorphismus.
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\item \(F\) bildet \emph{jede} Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist ein Isomorphismus.
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\hint{Minimalforderung}
\item \(F\) bildet \hide{\emph{jede} Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).}\hint{``Maximalforderung''}
\end{itemize}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist \hide{ein Isomorphismus. }
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\hint{Minimalforderung}
\item \(F\) bildet \emph{jede} Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Bilder von linear unabhängiger Familien}
Für eine lineare Abbildung \(F\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(F\) ist ein Isomorphismus\slash bijektiv.
\item \(F\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\item \(F\) bildet \emph{jede} Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Sei \(F\colon V\to W\) linear.
Ist
\begin{align*}
&(\vec{v}_1, ..., \vec{v}_k) && \text{Basis von } \mathrm{Ker}(F) \text{ und }\\
&(\vec{w}_1,...,\vec{w}_r) && \text{Basis von } \mathrm{Im}(F),
\end{align*}
so ist für beliebige \(\vec{u}_i \in F^{-1}(\vec{w}_i)\)
\[\hide{(\vec{v}_1,...,\vec{v}_k,\vec{u}_1,...,\vec{u}_r)}\]
Basis von \(V\).
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Sei \(F\colon V\to W\) linear.
Ist
\begin{align*}
&(\vec{v}_1, ..., \vec{v}_k) && \text{Basis von } \mathrm{Ker}(F) \text{ und }\\
&(\vec{w}_1,...,\vec{w}_r) && \text{Basis von } \mathrm{Im}(F),
\end{align*}
so ist für beliebige \(\vec{u}_i \in F^{-1}(\vec{w}_i)\) \[(\vec{v}_1,...,\vec{v}_k,\vec{u}_1,...,\vec{u}_r)\]
Basis von \(V\).
\cite{3.2.4}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Sei \(F\colon V\to W\) linear.
Ist
\begin{align*}
&(\vec{v}_1, ..., \vec{v}_k) && \text{Basis von } \mathrm{Ker}(F) \text{ und }\\
&(\vec{w}_1,...,\vec{w}_r) && \text{Basis von } \mathrm{Im}(F),
\end{align*}
so ist für beliebige \(\vec{u}_i \hide{\in F^{-1}(\vec{w}_i)}\)
\[(\vec{v}_1,...,\vec{v}_k,\vec{u}_1,...,\vec{u}_r)\]
Basis von \(V\).
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Sei \(F\colon V\to W\) linear und \(V\) endlich-dim. Es gilt:
\[ \dim V = \hide{\dim(\mathrm{Ker}F)+\dim(\mathrm{Im}F)}\]
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Sei \(F\colon V\to W\) linear und \(V\) endlich-dim. Es gilt:
\[ \dim V = {\dim(\mathrm{Ker}F)+\dim(\mathrm{Im}F)}\]
\cite{3.2.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Rang} einer linearen Abbildung ist gegeben durch:
\[\text{Rang}F := \hide{\dim(\mathrm{Im}(F)}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Rang} einer linearen Abbildung ist gegeben durch:
\[\text{Rang}F := {\dim(\mathrm{Im}(F)})\]
\cite{3.2.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sind \(V\) und \(W\) \emph{endlich}-dimensionale Vektorräume \emph{derselben} Dimension und ist \(F\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, so sind äquivalent:
\begin{compactenum}
\item[(i)] \hide{\(F\) injektiv}
\item[(ii)] \(F\) surjektiv
\item[(iii)] \(F\) Isomorphismus
\end{compactenum}
[/latex]
Answer: [latex]
Sind \(V\) und \(W\) \emph{endlich}-dimensionale Vektorräume \emph{derselben} Dimension und ist \(F\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, so sind äquivalent:
\begin{compactenum}
\item[(i)] \(F\) injektiv
\item[(ii)] \(F\) surjektiv
\item[(iii)] \(F\) Isomorphismus
\end{compactenum}
\cite{3.2.4, Korollar~3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sind \(V\) und \(W\) \emph{endlich}-dimensionale Vektorräume \emph{derselben} Dimension und ist \(F\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, so sind äquivalent:
\begin{compactenum}
\item[(i)] \(F\) injektiv
\item[(ii)] \hide{\(F\) surjektiv}
\item[(iii)] \(F\) Isomorphismus
\end{compactenum}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sind \(V\) und \(W\) \hide{\emph{endlich}-dimensionale Vektorräume \emph{derselben} Dimension } und ist \(F\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, so sind äquivalent:
\begin{compactenum}
\item[(i)] \hide{\(F\) injektiv}
\item[(ii)] \(F\) surjektiv
\item[(iii)] \(F\) Isomorphismus
\end{compactenum}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \(\sim\) eine Äquivalenzrelation auf einer Menge \(X\).
Die Fasern der Quotientenabbildung \[X\to X/\sim\] sind die \hide{Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \(\sim\) eine Äquivalenzrelation auf einer Menge \(X\).
Die Fasern der Quotientenabbildung \[X\to X/\sim\] sind die Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\).
\cite{Vorlesung 15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für eine Abbildung \(f\colon X\to Y\) ist die Äquivalenzrelation \(\sim_f\) definiert als:
\[x_1\sim_f x_2 \quad:\Leftrightarrow\quad \hide{f(x_1) = f(x_2)}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Für eine Abbildung \(f\colon X\to Y\) ist die Äquivalenzrelation \(\sim_f\) definiert als:
\[x_1\sim_f x_2 \quad:\Leftrightarrow\quad f(x_1) = f(x_2)\]
\cite{Vorlesung 15}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die Äquivalenzklassen von \(\sim_f\) sind die \hide{nicht-leeren Fasern } der Abbildung \(f\).
[/latex]
Answer2: [latex]
Die Äquivalenzklassen von \(\sim_f\) sind die nicht-leeren Fasern der Abbildung \(f\).
% Für jedes \(x\in f^{-1}(y)\) gilt also \([x]=f^{-1}\).
\cite{Vorlesung 15}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Mengen}
Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Mengen}
Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen
\[
A/\!\sim_f \;\xrightarrow{\quad\cong\quad}\; f(A).
\]
\cite{Vorlesung 15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Nebenklassen} einer Untergruppe \(H\) einer abelschen Gruppe \((G,+)\) sind die Teilmenge der Form
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Nebenklassen} einer Untergruppe \(H\) einer abelschen Gruppe \((G,+)\) sind die Teilmenge der Form
\[
g + H := \{g+h \mid h\in H\}.
\]
\cite{Vorlesung 15}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Die Nebenklassen einer Untergruppe \(H\) einer abelschen Gruppe \((G,+)\) sind die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation
\[x_1 \sim_H x_2 :\Leftrightarrow \hide{x_1-x_2 \in H}\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Die Nebenklassen einer Untergruppe \(H\) einer abelschen Gruppe \((G,+)\) sind die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation
\[x_1 \sim_H x_2 :\Leftrightarrow x_1-x_2 \in H\]
\cite{Vorlesung 15}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Sei \((G,+)\) eine abelsche Gruppe, \(H\) eine Untergruppe. Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) hat als Elemente die \hide{Nebenklassen \([g]\) von \(H\) in \(G\).}
[/latex]
Answer3: [latex]
Sei \((G,+)\) eine abelsche Gruppe, \(H\) eine Untergruppe. Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) hat als Elemente die Nebenklassen von \(H\) in \(G\).
\bigskip
(Notation für die Nebenklassen: \([g]\) oder \(g + H\))
\cite{Vorlesung 15}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Sei \((G,+)\) eine abelsche Gruppe, \(H\) eine Untergruppe. Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) ist die Menge der Nebenklassen von \(H\) zusammen mit der Verknüpfung
\[[x]+[y] := \hide{[x+y]}\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Sei \((G,+)\) eine abelsche Gruppe, \(H\) eine Untergruppe. Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) ist die Menge der Nebenklassen von \(H\) zusammen mit der Verknüpfung
\[[x]+[y] := [x+y]\]
\cite{Vorlesung 15}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{affiner Raum} über einem Untervektorraum \mbox{\(U\subset V\)} ist eine N\hide{ebenklassen von \(U\) in \((V,+)\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{affiner Raum} über einem Untervektorraum \mbox{\(U\subset V\)} ist eine Nebenklassen von \(U\) in \((V,+)\).
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{affiner Raum} über einem Untervektorraum \mbox{\(U\subset V\)} ist eine Teilmenge von \(V\) der Form
\[
\hide{\vec v + U = \{\vec v + \vec u \mid \vec u \in U\}}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{affiner Raum} über einem Untervektorraum \mbox{\(U\subset V\)} ist eine Teilmenge von \(V\) der Form
\[
\vec v + U = \{\vec v + \vec u \mid \vec u \in U\}
\]
für ein festes \(\vec v\in V\).
\cite{3.2.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Quotientenvektorraum} \(V/U\) hat als Elemente die \hide{affinen Räume \(\vec v + U\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Quotientenvektorraum} \(V/U\) hat als Elemente die affinen Räume \(\vec v + U\).
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(V\) ein Vektorraum, \(U\) ein Untervektorraum. Die \textbf{Quotientenvektorraum} \(V/U\) ist die Quotientengruppe zusammen mit der Skalarmultiplikation
\[\lambda \cdot [\vec{v}] := \hide{[\lambda \vec{v}]}\]
\bigskip
(Notation: \([\vec v] = \vec v + U\))
[/latex]
Answer2: [latex]
Sei \(V\) ein Vektorraum, \(U\) ein Untervektorraum. Die \textbf{Quotientenvektorraum} \(V/U\) ist die Quotientengruppe zusammen mit der Skalarmultiplikation
\[\lambda \cdot [\vec{v}] := [\lambda \vec{v}]\]
\bigskip
(Notation: \([\vec v] = \vec v + U\))
\cite{3.2.7}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Vektorräume}
Jede K-lineare Abbildung \(F\colon V\longrightarrow W\) induziert einen Vektorraumisomorphismus
\[\dots\]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Vektorräume}
Jede K-lineare Abbildung \(F\colon V\longrightarrow W\) induziert einen Vektorraumisomorphismus
\[
V/\mathrm{Ker}(F) \;\xrightarrow{\quad\cong\quad}\; \mathrm{Im}(F).
\]
\cite{3.2.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei K ein Körper. Das \textbf{Produkt} einer \(m\times n\)-Matrix \(A=(a_{ij})_{i,j}\) mit einem Vektor \(\vec{x}=(x_k)_k \in K^n\) ist gegeben durch:
\[
A\cdot\vec{x} = \hide{\Big(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\Big)_{i=1,...,m}\in K^m}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sei K ein Körper. Das \textbf{Produkt} einer \(m\times n\)-Matrix \(A=(a_{ij})_{i,j}\) mit einem Vektor \(\vec{x}=(x_k)_k \in K^n\) ist gegeben durch:
\[
A\cdot\vec{x} = \Big(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\Big)_{i=1,...,m}\in K^m
\]
\cite{3.1.1(c)}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die durch eine Matrix \(A\) definierte lineare Abbildung \(F_A\) ist gegeben durch \hide{das Produkt mit \(A\):}
[/latex]
Answer: [latex]
Die durch eine Matrix \(A\) definierte lineare Abbildung \(F_A\) ist gegeben durch das Produkt mit \(A\):
\begin{align*}
F_A\colon K^n\to K^m \\ \vec{x} \mapsto A\cdot\vec{x}
\end{align*}
(für eine \(m\times n\)-Matrix A.)
\cite{3.1.1(c)}
[/latex]

Prompt: [latex]
Zu \(K\)-Vektorräumen \(V\) und \(W\) ist der \textbf{Abbildungsraum}
\[
\Hom_K(V,W) := \hide{\Big\{V\xrightarrow{\; F \;}W \mid F \text{ \(K\)-linear}\Big\}.}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Seien \(V\) und \(W\) \(K\)-Vektorräume, so ist der \textbf{Abbildungsraum}
\[
\Hom_K(V,W) := \Big\{V\xrightarrow{\; F \;}W \mid F \text{ \(K\)-linear}\Big\}.
\]
\cite{3.1.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Endomorphismenring} eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist
\[
\Hom_K(V) := \hide{\Hom_K(V,V).}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Endomorphismenring} eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist
\[
\Hom_K(V) := \Hom_K(V,V).
\]
\cite{3.1.4}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Abbildungsraum \(\Hom_K(V,W)\) ist ein \(K\)-Vektor\-raum bezüglich „punktweiser“ Addition und Skalarmultiplikation:
\begin{itemize}
\item[]\((F+G)(\vec{v}) := \hide{F(\vec{v})+G(\vec{v})}\)
\item[]\((\lambda \cdot F)(\vec{v}) := \lambda \cdot F(\vec{v})\)
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Abbildungsraum \(\Hom_K(V,W)\) ist ein \(K\)-Vektor\-raum bezüglich „punktweiser“ Addition und Skalarmultiplikation:
\begin{itemize}
\item[]\((F+G)(\vec{v}) := F(\vec{v})+G(\vec{v})\)
\item[]\((\lambda \cdot F)(\vec{v}) := \lambda \cdot F(\vec{v})\)
\end{itemize}
\cite{3.1.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der Abbildungsraum \(\Hom_K(V,W)\) ist ein \(K\)-Vektor\-raum bezüglich „punktweiser“ Addition und Skalarmultiplikation:
\begin{itemize}
\item[]\((F+G)(\vec{v}) := F(\vec{v})+G(\vec{v})\)
\item[]\((\lambda \cdot F)(\vec{v}) := \hide{\lambda \cdot F(\vec{v})}\)
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Matrizenraum \(M(m\times n, K)\) ist ein \(K\)-Vektor\-raum bezüglich:
\begin{itemize}
\item[] \((a_{ij})_{i,j}+(b_{ij})_{i,j} := \hide{ (a_{ij}+b_{ij})_{i,j}}\)
\item[] \(\lambda\cdot (a_{ij})_{i,j} := (\lambda\cdot a_{ij})_{i,j}\)
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
Der Matrizenraum \(\mathrm{M}(m\times n, K)\) ist ein \(K\)-Vektor\-raum bezüglich:
\begin{itemize}
\item[] \((a_{ij})_{i,j}+(b_{ij})_{i,j} := (a_{ij}+b_{ij})_{i,j}\)
\item[] \(\lambda\cdot (a_{ij})_{i,j} := (\lambda\cdot a_{ij})_{i,j}\)
\end{itemize}
\cite{2.4.1(b)}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der Matrizenraum \(\mathrm{M}(m\times n, K)\) ist ein \(K\)-Vektor\-raum bezüglich:
\begin{itemize}
\item[] \((a_{ij})_{i,j}+(b_{ij})_{i,j} := (a_{ij}+b_{ij})_{i,j}\)
\item[] \(\lambda\cdot (a_{ij})_{i,j} := \hide{(\lambda\cdot a_{ij})_{i,j}}\)
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen
\begin{align*}
A &= (a_{ij})_{i,j} \in M(l\times m, K) \text{ und }\\
B &= (b_{ij})_{i,j} \in M(m\times n; K)
\end{align*}
ist gegeben durch
\[
A \cdot B := \Big(\sum_{j=1}^m \hide{a_{ij} b_{jk}}\Big)_{i,k}\in M(l\times n, K)
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen
\begin{align*}
A &= (a_{ij})_{i,j} \in M(l\times m, K) \text{ und }\\
B &= (b_{ij})_{i,j} \in M(m\times n; K)
\end{align*}
ist gegeben durch
\[
A \cdot B := \Big(\sum_{j=1}^m a_{ij} b_{jk}\Big)_{i,k}\in M(l\times n, K)
\]
\cite{3.5.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \hide{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
[/latex]
Answer: [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \emph{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
\cite{3.5.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \textbf{lineares Gleichungssystem} ist eine Gleichung der Form \hide{\(A\cdot \vec x = \vec b\).}
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \textbf{lineares Gleichungssystem} ist eine Gleichung der Form \(A\cdot \vec x = \vec b\) (für eine Matrix \(A\) und Vektoren \(\vec x\) und \(\vec b\)).
\cite{3.3.1}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein lineares Gleichungssytem der Form \hide{\(A\cdot \vec x = \vec 0\).}
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein lineares Gleichungssytem der Form \(A\cdot \vec x = \vec 0\).
\cite{3.3.1}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\mathrm{Lös}(A,\vec b) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.}
\]
[/latex]
Answer3: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\mathrm{Lös}(A,\vec b) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.
\]
\cite{3.3.1}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\mathrm{Lös}(A) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.}
\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\mathrm{Lös}(A) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.
\]
\cite{3.3.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Geometrische Struktur des Lösungsraums}
\(\mathrm{Lös}(A) \subset K^n\) ist \hide{ein Untervektorraum.}
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Geometrische Struktur des Lösungsraums}
\(\mathrm{Lös}(A) \subset K^n\) ist ein Untervektorraum.
\cite{3.3.1 / 3.3.3 (2)}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Dimensions des Lösungsraums}
Für \(A \in M(m\times n; K)\) gilt
\[\dim_K(\mathrm{Lös}(A)) = \hide{n - \mathrm{Rang}(A)}\]
[/latex]
Answer2: [latex]
\textbf{Dimensions des Lösungsraums}
Für \(A \in M(m\times n; K)\) gilt
\[\dim_K(\mathrm{Lös}(A)) = n - \mathrm{Rang}(A)\]
\cite{3.3.1 / 3.3.3 (2)}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Rang einer Matrix}
\(\mathrm{Rang}(A) := \hide{\dim(\text{Im}(F_A))}\)
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Rang einer Matrix}
\(\mathrm{Rang}(A) := \dim(\text{Im}(F_A))\)
\cite{3.3.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\mathrm{Lös}(A,\vec b) =
\phantom{
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\mathrm{Lös}(A)}
}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\mathrm{Lös}(A,\vec b) =
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\mathrm{Lös}(A)}
\]
(\(\mathrm{Lös}(A,\vec b)\) ist also ein affiner Raum unter \(\mathrm{Lös}(A)\).)
\cite{3.3.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex]
Answer: [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex]
Prompt2: [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex]
Answer2: [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{3.7.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \(A\in M(n \times n)\). \(A\) ist \textbf{invertierbar}, falls \(A^{-1} \in M(n \times n)\) existiert mit
\[
\hide{A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = E_n}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Sei \(A\in M(n \times n)\). \(A\) ist \textbf{invertierbar}, falls \(A^{-1} \in M(n \times n)\) existiert mit
\[
{A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = E_n}
\]
\cite{3.5.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
\(A\) invertierbar \(\Leftrightarrow F_A\) \hide{ist ein Isomorphismus.}
[/latex]
Answer: [latex]
\(A\) invertierbar \(\Leftrightarrow F_A\) ist ein Isomorphismus.
\cite{3.5.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[
(F_A)^{-1} = F_{\hide{A^{-1}}}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[
(F_A)^{-1} = F_{A^{-1}}
\]
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium}
Eine Matrix \(A \in M(n\times n; K)\) ist invertierbar \(\Leftrightarrow\) \(\mathrm{Rang}(A) \hide{ = n}\)
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium}
Eine Matrix \(A \in M(n\times n; K)\) ist invertierbar \(\Leftrightarrow\) \(\mathrm{Rang}(A) = n\)
\cite{3.5.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der Rang einer Matrix ändert sich nicht bei Multiplikation mit \hide{invertierbaren Matrizen}.
[/latex]
Answer: [latex]
Der Rang einer Matrix ändert sich nicht bei Multiplikation mit invertierbaren Matrizen.
\cite{3.3.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ändern \hide{den Rang } einer Matrix nicht.
[/latex]
Answer2: [latex]
Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ändern den Rang einer Matrix nicht.
\cite{3.3.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix ist in \textbf{Zeilennormalform}, wenn sie in Zeilenstufenform ist und außerdem gilt:
\begin{itemize}
\item \hide{Alle Pivot-Elemente sind \(1\).}
\item In den Spalten mit Pivot-Elementen sind alle anderen Einträge \(0\).
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Matrix ist in \textbf{Zeilennormalform}, wenn sie in Zeilenstufenform ist und außerdem gilt:
\begin{itemize}
\item Alle Pivot-Elemente sind \(1\).
\item In den Spalten mit Pivot-Elementen sind alle anderen Einträge \(0\).
\end{itemize}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Matrix ist in \textbf{Zeilennormalform}, wenn sie in Zeilenstufenform ist und außerdem gilt:
\begin{itemize}
\item Alle Pivot-Elemente sind \(1\).
\item \hide{In den Spalten mit Pivot-Elementen sind alle anderen Einträge \(0\).}
\end{itemize}
[/latex]
Prompt3: [latex]
\textbf{Normalform} einer Matrix:
[/latex]
Answer3: [latex]
\textbf{Normalform} einer Matrix:
\[\begin{pmatrix}
\;\;\begin{matrix}
1 & 0 & & 0 \\
0 & 1 & & 0 \\
& & \ddots & \\
0 & 0 & & 1 &\\
\end{matrix}
&
\begin{matrix}
0 &\dots & 0 \\
0 &\dots & 0 \\
\vdots & & \vdots \\
0 &\dots & 0
\end{matrix}
\\
\\
\begin{matrix}
0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 0
\end{matrix}
&
\begin{matrix}
0 & \dots & 0 \\
\vdots & & \vdots \\
0 & \dots & 0
\end{matrix}
\end{pmatrix}\]
[/latex]

Prompt: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch (endlich viele) elementare...
\begin{itemize}
\item \emph{Zeilen}umformungen auf \hide{\emph{Zeilen}normalform} \\ bringen.
\item \emph{Spalten}umformungen auf \hide{\emph{Spalten}normalform} \\ bringen.
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch (endlich viele) elementare...
\begin{itemize}
\item \emph{Zeilen}umformungen auf \emph{Zeilen}normalform bringen.
\item \emph{Spalten}umformungen auf \emph{Spalten}normalform bringen.
\end{itemize}
\cite{3.3.3}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch endlich viele elementare
\begin{center}
\hide{Zeilen- \emph{und} Spaltenumformungen}
\end{center}
auf Normalform bringen.
[/latex]
Answer2: [latex]
Jede Matrix lässt sich durch endlich viele elementare
\begin{center}
Zeilen- \emph{und} Spaltenumformungen
\end{center}
auf Normalform bringen.
\cite{3.3.3}
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{erweiterte (Koeffizienten-)Matrix} eines linearen Gleichungssystems \(A \vec{x} = \vec{b}\) ist \hide{\((A,\vec{b})\)}.
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{erweiterte (Koeffizienten-)Matrix} eines linearen Gleichungssystems \(A \vec{x} = \vec{b}\) ist \((A,\vec{b})\).
\cite{1.4.1}
[/latex]

Prompt: [latex]
Geht die Koeffizientenmatrix \((\Tilde{A}, \Tilde{\vec{b}})\) aus \((A, \vec{b})\) durch elementare Zeilenumformungen hervor, so gilt:
\[ \mathrm{Lös}(\Tilde{A}, \Tilde{\vec{b}}) = \hide{\mathrm{Lös}(A, \vec{b})}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Geht die Koeffizientenmatrix \((\Tilde{A}, \Tilde{\vec{b}})\) aus \((A, \vec{b})\) durch elementare Zeilenumformungen hervor, so gilt:
\[ \mathrm{Lös}(\Tilde{A}, \Tilde{\vec{b}}) = \mathrm{Lös}(A, \vec{b})\]
\cite{3.3.3 (5)}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Geht die Koeffizientenmatrix \((\Tilde{A}, \Tilde{\vec{b}})\) aus \((A, \vec{b})\) durch elementare \hide{Zeilen}umformungen hervor, so gilt:
\[ \mathrm{Lös}(\Tilde{A}, \Tilde{\vec{b}}) = \mathrm{Lös}(A, \vec{b})\]
[/latex]

Prompt: [latex]
Die \textbf{Transponierte} einer \(m\times n\) Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\) ist die \(n\times m\)-Matrix \[^tA := \hide{(a_{ji})_{i,j}}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Die \textbf{Transponierte} einer \(m\times n\) Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\) ist die \(n\times m\)-Matrix \[^tA := (a_{ji})_{i,j}\]
\cite{3.1.1 (a)}
[/latex]

Prompt: [latex]
Für die Transponierte \(^tA\) einer Matrix \(A\) gilt:
\[
^t(^tA) = \hide{A}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Für die Transponierte \(^tA\) einer Matrix \(A\) gilt:
\[
^t(^tA) = A
\]
\cite{3.1.1 (a)}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Für die Transponierte \(^tA\) einer Matrix \(A\) gilt:
\begin{align*}
^t(A+B) &= \hide{{}^tA + ^tB}\\
&\phantom{= {}^tB + {}^tA)}
\end{align*}
[/latex]
Answer2: [latex]
Für die Transponierte \(^tA\) einer Matrix \(A\) gilt:
\begin{align*}
^t(A+B) &= {}^tA + ^tB\\
(&= {}^tB + {}^tA)
\end{align*}
\cite{3.1.1 (a)}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Für die Transponierte \(^tA\) einer Matrix \(A\) gilt:
\begin{align*}
^t(A\cdot B) &= \hide{{}^tB\cdot{}^tA}\\
&\phantom{\neq {}^t A \cdot {}^t B \text{ im Allgemeinen})}
\end{align*}
[/latex]
Answer3: [latex]
Für die Transponierte \(^tA\) einer Matrix \(A\) gilt:
\begin{align*}
^t(A\cdot B) &= {}^tB\cdot{}^tA\\
(&\neq {}^t A \cdot {}^t B \text{ im Allgemeinen})
\end{align*}
\cite{3.1.1 (a)}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Für die Transponierte \(^tA\) einer Matrix \(A\) gilt:
\[
^tA \text{ invertierbar } \Leftrightarrow \hide{A \text{ invertierbar}}
\]
[/latex]
Answer4: [latex]
Für die Transponierte \(^tA\) einer Matrix \(A\) gilt: \newline
\[
^tA \text{ invertierbar } \Leftrightarrow A \text{ invertierbar}
\]
\cite{3.1.1 (a)}
[/latex]

Prompt: [latex]
Der \textbf{Spaltenrang} einer Matrix \[A = (\vec{s}_1,...,\vec{s}_n) = \begin{pmatrix}^t\vec{z}_1 \\ \cdot \\ \cdot \\ ^t\vec{z}_n\end{pmatrix}\] ist definiert als:
\[
\text{Spaltenrang}(A) := \hide{\dim_K\mathrm{span}(\vec{s}_1,...,\vec{s}_n)}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Der \textbf{Spaltenrang} einer Matrix \[A = (\vec{s}_1,...,\vec{s}_n) = \begin{pmatrix}^t\vec{z}_1 \\ \cdot \\ \cdot \\ ^t\vec{z}_n\end{pmatrix}\] ist definiert als:
\[
\text{Spaltenrang}(A) := \dim_K\mathrm{span}(\vec{s}_1,...,\vec{s}_n)
\]
\cite{3.3.2}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Zeilenrang} einer Matrix \[A = (\vec{s}_1,...,\vec{s}_n) = \begin{pmatrix}^t\vec{z}_1 \\ \cdot \\ \cdot \\ ^t\vec{z}_n\end{pmatrix}\] ist definiert als:
\[
\text{Zeilenrang}(A) := \hide{\dim_K\mathrm{span}(^t\vec{z}_1,...,^t\vec{z}_n)}
\]
[/latex]
Answer2: [latex]
Der \textbf{Zeilenrang} einer Matrix \[A = (\vec{s}_1,...,\vec{s}_n) = \begin{pmatrix}^t\vec{z}_1 \\ \cdot \\ \cdot \\ ^t\vec{z}_n\end{pmatrix}\] ist definiert als:
\[
\text{Zeilenrang}(A) := \dim_K\mathrm{span}(^t\vec{z}_1,...,^t\vec{z}_n)
\]
\cite{3.3.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Für jede Matrix gilt:
\[ \hide{Rang = Spaltenrang = Zeilenrang} \]
[/latex]
Answer: [latex]
\textbf{Rangsatz}
Für jede Matrix gilt:
\[ Rang = Spaltenrang = Zeilenrang \]
\cite{3.6.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.}
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
\cite{3.6.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.}
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.
\cite{3.6.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Matrix hat genau dann vollen Spaltenrang, wenn sie ein \hide{\emph{Links}}inverses besitzt.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine Matrix hat genau dann vollen Spaltenrang, wenn sie ein \emph{Links}inverses besitzt.
\cite{3.6.6}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine Matrix hat genau dann vollen Zeilenrang, wenn sie ein \hide{\emph{Rechts}}inverses besitzt.
[/latex]
Answer2: [latex]
Eine Matrix hat genau dann vollen Zeilenrang, wenn sie ein \emph{Rechts}inverses besitzt.
\cite{3.6.6}
[/latex]

Prompt: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \hide{Spalten}rang besitzt.
[/latex]
Answer: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \emph{Spalten}rang besitzt.
\cite{Ende Vorlesung 19}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \hide{Zeilen}rang besitzt.
[/latex]
Answer2: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltnvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \emph{Zeilen}rang besitzt.
\cite{Ende Vorlesung 19}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann ein Basis, wenn es aufgefasst als Matrix \hide{invertierbar ist}.
[/latex]
Answer3: [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann ein Basis, wenn es aufgefasst als Matrix invertierbar ist.
\cite{Ende Vorlesung 19}
[/latex]

Prompt: [latex]
Das durch eine Basis \(\mathcal B=(\vec{b}_1,...,\vec{b}_n)\) von \(V\) definierte \textbf{Koordinatensystem} ist der eindeutige Isomorphismus
\[
\hide{K^n} \xrightarrow[\Psi_{\mathcal B}]{\quad\cong\quad} \hide{V,}
\]
der \hide{den \(i\)-ten Vektor \(\vec e_i\) der Standardbasis von \(K^n\)}\\
auf \hide{den \(i\)-ten Vektor \(\vec b_i\) der Basis \(\mathcal B\)}\\
wirft.
[/latex]
Answer: [latex]
Das durch eine Basis \(\mathcal B=(\vec{b}_1,...,\vec{b}_n)\) von \(V\) definierte \textbf{Koordinatensystem} ist der eindeutige Isomorphismus
\[
K^n \xrightarrow[\Psi_{\mathcal B}]{\quad\cong\quad} V,
\]
der den \(i\)-ten Vektor \(\vec e_i\) der Standardbasis von \(K^n\)\\
auf den \(i\)-ten Vektor \(\vec b_i\) der Basis \(\mathcal B\)\\
wirft.
\cite{3.6.2}
[/latex]

Prompt: [latex]
\begin{center}
Sei \(F\colon V \to W\) eine lineare Abbildung,\\
\(\mathcal B, \mathcal C\) endliche Basen von \(V, W\).
\[\xymatrix@C=1em@R=1em{
K^{\dim V} \ar[rd]_{\Psi_{\mathcal B}}^{\cong} &&&& K^{\dim W}\ar[dl]^{\Psi_{\mathcal C}}_{\cong}\\
& V \ar[rr]_{F}&& W
}
\]
\end{center}
Die \textbf{\(F\) darstellende Matrix bezüglich \(\mathcal B\) und \(\mathcal C\)},
\(
M_{\mathcal C}^{\mathcal B}(F)
\),
ist \hide{die darstellende Matrix der Komposition }
\[
\hide{\Phi_C^{-1}\circ F \circ \Phi_B}
\]
[/latex]
Answer: [latex]
\begin{center}
Sei \(F\colon V \to W\) eine lineare Abbildung,\\
\(\mathcal B, \mathcal C\) endliche Basen von \(V, W\).
\[\xymatrix@C=1em@R=1em{
K^{\dim V} \ar[rd]_{\Psi_{\mathcal B}}^{\cong} &&&& K^{\dim W}\ar[dl]^{\Psi_{\mathcal C}}_{\cong}\\
& V \ar[rr]_{F}&& W
}
\]
\end{center}
Die \textbf{\(F\) darstellende Matrix bezüglich \(\mathcal B\) und \(\mathcal C\)},
\(
M_{\mathcal C}^{\mathcal B}(F)
\),
ist die darstellende Matrix der Komposition
\[
\Phi_C^{-1}\circ F \circ \Phi_B
\]
\cite{3.4.2}
[/latex]