Title: Maths / TopoCards
Tags: Definition Satz Topo-8-Überlagerungen Topo-5-Transformationsgruppen Topo-6-Wege-und-Schleifen Topo-3-Eigenschaften Topo-7-Fundamentalgruppe Beispiel Topo-2-Konstruktionen Topo-1-Topologische-Räume Topo-Kategorien Topo-4-Abbildungsräume def

Prompt: [latex]Eine Teilmenge ist \textbf{abgeschlossen}, falls\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ihr Komplement offen ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{Topologie} auf einer Menge \(X\) ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine Menge von Teilmengen von \(X\), die \(\emptyset\) und ganz \(X\) enthält, sowie das Vereinigungs- und das Schnitt\-axiom erfüllt.
[/latex]
Prompt2: [latex]Vereinigungsaxiom:\par\hide{Beliebige} Vereinigungen offener Mengen sind offen.[/latex]
Answer2: [latex]
\emph{Beliebige} Vereinigungen offener Mengen sind offen.
[/latex]
Prompt3: [latex]Schnittaxiom:\par\hide{Endliche} Schnitte offener Mengen sind offen.[/latex]
Answer3: [latex]
\emph{Endliche} Schnitte offener Mengen sind offen.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Abbildung ist \textbf{stetig}, falls\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots Urbilder offener Mengen offen sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine stetige Abbildung ist \textbf{offen}, falls\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots Bilder offener Mengen offen sind.
[/latex]
Prompt2: [latex]Eine stetige Abbildung ist \textbf{abgeschlossen}, falls\dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots Bilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Ist die konstante Nullabbildung \(f\colon \RR\to \RR\) abgeschlossen?[/latex]
Answer: [latex]
Ja.
[/latex]
Prompt2: [latex]Ist die Inklusion \(f\colon (0,1) \hookrightarrow \RR\) abgeschlossen?[/latex]
Answer2: [latex]
Nein: \((0,1)\) ist abgeschlossen in sich selbst, aber nicht in \(\RR\).
[/latex]

Prompt: [latex]Ist die konstante Nullabbildung \(f\colon \RR\to \RR\) offen?[/latex]
Answer: [latex]
Nein. Zum Beispiel ist \(\RR\) in \(\RR\) offen, aber das Bild unter \(f\) ist es nicht.
[/latex]
Prompt2: [latex]Ist die Inklusion \(f\colon (0,1) \hookrightarrow \RR\) offen?[/latex]
Answer2: [latex]
Ja.
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Abschluss} einer Teilmenge ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die kleinste abgeschlossenene Übermenge.
[/latex]
Prompt2: [latex]Das \textbf{Innere} einer Menge ist\dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots ihre größte offene Teilmenge.
[/latex]
Prompt3: [latex]Der \textbf{(topologische) Rand} einer Teilmenge ist\dots[/latex]
Answer3: [latex]
\dots die Differenz aus Abschluss und Innerem.
[/latex]

Prompt: [latex]topologischer Rand der abgeschlossenen Einheits\-scheibe in \(\RR^2\)[/latex]
Answer: [latex]
Einheitskreis
[/latex]
Prompt2: [latex]topologischer Rand der offenen Einheits\-scheibe in \(\RR^2\)[/latex]
Prompt3: [latex]topologischer Rand der offenen Einheits\-scheibe in sich selbst[/latex]
Answer3: [latex]
\(\emptyset\)
[/latex]

Prompt: [latex]Ist \(\bigcap_{n\in \NN} (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})\) in \(\RR\) offen?[/latex]
Answer: [latex]
Nein. (\(\{0\}\) ist nicht offen.)
[/latex]
Prompt2: [latex]Ist \(\bigcup_{n\in\NN} (n,n+\frac{1}{n})\) in \(\RR\) offen?[/latex]
Answer2: [latex]
Ja: \emph{beliebige} Vereinigungen offener Mengen sind offen.
[/latex]

Prompt: [latex]Ist \(\bigcup_{n\in\NN} [\frac{1}{n},1]\) abgeschlossen?[/latex]
Answer: [latex]
Nein. (\((0,1]\) ist nicht abgeschlossen.)
[/latex]
Prompt2: [latex]Ist \(\bigcup_{n\in\NN} [n,n+\frac{1}{2}]\) abgeschlossen?[/latex]
Answer2: [latex]
Ja: Das Komplement ist offen.
(Im Allgemeinen sind unendliche Ver\-einigungen ab\-geschlossener Teil\-mengen aber nicht abgeschlossen.)
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Teilmenge eines Unterraums \(Y\subset X\) ist offen, falls\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots sie sich als Schnitt \(Y\cap U\) für ein offenes \(U\subset X\) schreiben lässt.
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Universelle Eigenschaft der Unterraumtopologie}[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung in einen Unterraum ist genau dann stetig, wenn sie als Abbildung in den Gesamtraum stetig ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Menge ist offen in der Produkttopologie, wenn sie\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots mit jedem ihrer Punkte auch ein offenes Quadrat um diesen Punkt enthält.
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Universelle Eigenschaft der Produkttopologie}[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung in ein Produkt ist genau dann stetig, wenn ihre Kompositionen mit den Projektionen stetig sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Das \textbf{Faserprodukt} (Pullback) von \(X\xrightarrow{f} B \xleftarrow{g} Y\) ist die Menge\dots[/latex]
Answer: [latex]
\[
\left\{(x,y)\in X\times Y \mid fx = gy \right\},
\]
ausgestattet mit der Unterraumtopologie der Produkttopologie.
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Universelle Eigenschaft des Pullbacks}
\bigskip
\[\xymatrix{
& {X \times_B Y} \ar[r]\ar[d] & Y \ar[d]\\
& X \ar[r] & B
}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Eine stetige Abbildung nach \(X\times_B Y\) ist das gleiche wie eine Abbildung nach \(X\) und eine Abbildung nach \(Y\), sodass
\[\xymatrix{
\bullet \ar@/^6pt/[drr]\ar@/_6pt/[ddr] \ar@[lightgray][dr] \\
& {\color{lightgray}X \times_B Y} \ar@[lightgray][r]\ar@[lightgray][d] & Y \ar[d]\\
& X \ar[r] & B
}\]
kommutiert.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Teilmenge eines Koprodukts \(\amalg_i X_i\) ist genau dann offen, wenn\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots sie von der Form \(\amalg_i U_i\) für gewisse offene \(U_i\subset X_i\) ist.
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Universelle Eigenschaft der Koprodukttopologie}[/latex]
Answer: [latex]
Eine Abbildung auf einem Koprodukt ist genau dann stetig, wenn ihre Einschränkung auf jeden Summanden stetig ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist \textbf{offen}, falls sie\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine \(\epsilon\)-Umgebung jeder ihrer Punkte enthält.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine stetige Surjektion \(p\) ist genau dann eine Identifizierung, wenn gilt \dots \hint{offene Mengen}[/latex]
Answer: [latex]
\(V\text{ offen}\Leftrightarrow p^{-1}V\text{ offen}\)
[/latex]

Prompt: [latex]Jede offene oder abgeschlossene stetige Surjektion ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine Identifizierung.
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Universelle Eigenschaft der Quotiententopologie}
Sei \(Y\) ausgestattet mit der Quotiententopologie bezüglich einer surjektiven Abbildung \(p\colon X\twoheadrightarrow Y\).
[/latex]
Answer: [latex]
Eine auf \(Y\) definierte Abbildung \(f\) ist genau dann stetig, wenn ihre Verknüpfung \(f\circ p\) mit der Surjektion stetig ist.
\[\xymatrix{
{X} \ar@{->>}[d]_{p} \ar@{-->}[dr]^{\text{stetig ?}} \\
{Y} \ar[r]_{f} & {\bullet}
}\]
[/latex]

Prompt: [latex]Die zum Pushout duale Konstruktion ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots das Pullback.
[/latex]

Prompt: [latex]Was ist \(X\sqcup_{\varnothing} Y\)?[/latex]
Answer: [latex]
\(X\sqcup Y\)
[/latex]

Prompt: [latex]Welcher Raum entseht durch Zusammenschlagen von \(A\subseteq X\) zu einem Punkt?[/latex]
Answer: [latex]
\(X/A\)
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Universelle Eigenschaft des Pushouts}
\bigskip
\[\xymatrix{
A\ar[r]^g\ar[d]_f & Y\ar[d] \\
X\ar[r] & X\sqcup_A Y
}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Seien \(p,q\) Abbildungen mit \(pf=qg\). Dann existiert genau eine Abbildung \(X \sqcup_A Y\rightarrow T\), sodass
\[\xymatrix{
A\ar[r]^g\ar[d]_f & Y\ar[d]\ar@/^/[rdd]^q \\
X\ar[r]\ar@/_/[drr]_p & X\sqcup_A Y\ar@{-->}[rd]|{\exists!} \\
& & T
}\]
kommutiert.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, falls\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots er sich nicht als Koprodukt zweier nicht-leerer Räume schreiben lässt.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein topologischer Raum \(X\) ist genau dann zusammenhängend, wenn\dots \hint{offene und abgeschlossene Mengen}[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(X\) und \(\emptyset\) die einzigen Teilmengen sind, die sowohl offen als auch abgeschlossenen sind.
[/latex]
Prompt2: [latex]Ein topologischer Raum ist genau dann zusammenhängend, wenn\dots \hint{stetige Abbildung}[/latex]
Answer2: [latex]
\dots jede stetige Abb. nach \(S^0\) konstant ist.
[/latex]

Prompt: [latex]\hint{Urbilder/Bilder} zusammenhängender Räume unter stetigen Abbildungen sind zusammenhängend.[/latex]
Answer: [latex]
Bilder
[/latex]

Prompt: [latex]\hint{Urbilder/Bilder} abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen sind abgeschlossen.[/latex]
Answer: [latex]
Urbilder
[/latex]

Prompt: [latex]Sei \(X\) ein topologischer Raum. Die Zusammen\-hangs\-komponente \(Z(x)\) von \(x\in X\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots der größte zusammenhängende Unterraum von \(X\) der \(x\) enthält.
[/latex]

Prompt: [latex]Die Zusammenhangskomponenten eines Raums sind stets \dots \hint{offen\slash abgeschlossen}.[/latex]
Answer: [latex]
\dots abgeschlossen.
[/latex]

Prompt: [latex]Ist jeder Raum das Koprodukt seiner Zusammen\-hangs\-komponenten?[/latex]
Answer: [latex]
Nein: dies gilt nur, wenn der Raum nur \emph{endlich} viele Zusammen\-hangs\-komponenten besitzt.
[/latex]

Prompt: [latex]Beispiel für ein Raum, der nicht Koprodukt seiner Zusammen\-hangs\-komponente ist.[/latex]
Answer: [latex]
Zum Beispiel \(\mathbb{Q}\) mit der euklidischen Topologie: dieser Raum ist total unzusammenhängend (d.\,h.\ jeder Punkt ist seine eigene Zusammenhangskomponente), aber nicht diskret.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Produkt nicht-leerer Räume \(X\times Y\) ist genau dann zusammenhängend, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(X\) und \(Y\) zusammenhängend sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein topologischer Raum ist \textbf{hausdorffsch} bzw.\ ist ein Hausdorffraum, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein topologischer Raum \((X,\mathcal{T})\) heißt \textbf{metrisierbar}, falls \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots es eine Metrik auf \(X\) gibt, die \(\mathcal{T}\) induziert.
[/latex]

Prompt: [latex]Ist jeder metrisierbare Raum hausdorffsch?[/latex]
Answer: [latex]
Ja, denn je zwei verschiedene Punkte \(x\), \(y\) haben einen positiven Abstand \(\delta\), und \(\mathcal{U}_{\delta/2}(x)\cap \mathcal{U}_{\delta/2}(y)=\emptyset\).
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{offene Überdeckung} eines Raumes ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine Familie offener Teilmengen, deren Vereinigung der ganze Raum ist.
[/latex]
Prompt2: [latex]Eine \emph{endliche} offene Überdeckung ist eine offene Überdeckung, die \dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots nur aus endlich vielen offenen Mengen besteht.
[/latex]
Prompt3: [latex]Eine \textbf{Teilüberdeckung} einer Überdeckung \mbox{\(\{\mathcal{U}_j \mid j\in J\}\)} ist \dots[/latex]
Answer3: [latex]
\dots eine Überdeckung der Form \(\{\mathcal{U}_j \mid j\in I\}\) für eine Teilmenge \(I\subset J\).
[/latex]

Prompt: [latex]Ein topologischer Raum ist \textbf{kompakt}, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
[/latex]

Prompt: [latex]Jeder abgeschlossene Unterraum eines kompakten Raums ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots wieder kompakt.
[/latex]
Prompt2: [latex]Jeder \hide{abgeschlossene} Unterraum eines kompakten Raums ist wieder kompakt.[/latex]
Answer2: [latex]
Jeder \emph{abgeschlossene} Unterraum eines kompakten Raums ist wieder kompakt.
[/latex]

Prompt: [latex]Jeder kompakte Unterraum eines Hausdorff-Raums ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots abgeschlossen.
[/latex]
Prompt2: [latex]Jeder kompakte Unterraum eines \hide{Hausdorff-Raums} ist abgeschlossen.[/latex]
Answer2: [latex]
Jeder kompakte Unterraum eines \emph{Hausdorff-Raums} ist abgeschlossen.
[/latex]

Prompt: [latex]Die zu einer Funktion \(f\) adjungierte Abbildung \(f^\#\) ist stetig, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(f\) stetig ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Exponentialgesetz[/latex]
Answer: [latex]
Ist der ``mittlere Raum'' \(Y\) lokal kompakt, so ist die Adjunktions\-abbildung
\begin{align*}
\text{``} \quad Z^{X\times Y} &\to (Z^Y)^X \quad \text{''}\\
\intertext{bijektiv. }\\
\intertext{(Genauer:) }
\Top(X\times Y,Z) &\xrightarrow{\;\cong\;} \Top(X,\iTop(Y,Z)) \\
f \quad&\mapsto \quad f^\#\quad
\end{align*}
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{topologische Gruppe} ist eine Gruppe \(G\) mit \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots einer Topologie, sodass die Gruppen\-verknüpfung \(G\times G\to G\) und Inversen\-bildung stetige Abbildungen sind.
[/latex]

Prompt: [latex] \(\iAut(X)\) ist eine topologische Gruppe, falls \dots [/latex]
Answer: [latex]
\dots \(X\) ein kompakter Hausdorff-Raum ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Für einen kompakten Hausdorff-Raum \(X\) ist eine \(G\)-Operation das Gleiche wie \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ein Homomorphismus topologischer Gruppen \[G\to \iAut(X).\]
[/latex]

Prompt: [latex]Für einen \(G\)-Raum \(X\) ist die Identifizierung \[p\colon X\twoheadrightarrow G\backslash X\] \dots \hint{offen\slash abgeschlossen}[/latex]
Answer: [latex]
\dots offen.
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{Bahn} \(G.x\) eines Punktes \(x\in X\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots das Bild der stetigen Abbildung
\begin{align*}
G & \to X \\
g & \mapsto g.x
\end{align*}
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Gruppenoperation heißt \textbf{transitiv}, falls \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots es nur eine einzige Bahn gibt.
\[
\text{(} G.x=X \text{ für ein\slash alle } x\in X \text{)}
\]
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Stabilisator} \(G_x\subseteq G\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Untergruppe aller \(g\in G\) mit \(g.x=x\).
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Operation ist \textbf{frei}, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots alle Stabilisatoren trivial sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Bahnenraum} ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Menge der Bahnen \(G\backslash X=\{ G.x \mid x\in X \}\) mit der Quotiententopologie bezüglich
\begin{align*}
p\colon X & \to G\backslash X \\
x & \mapsto G.x
\end{align*}
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{stetige (Links-)Operation} ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine stetige Abbildung \(G\times X \to X\) mit
\begin{align*}
1.x & =x &&\forall~ x\in X \\
(gh).x & =g.(h.x) &&\forall~ g,h\in G
\end{align*}
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{äquivariante Abbildung} ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine Abbildung zwischen \(G\)-Räumen, die mit der Wirkung der Gruppe kommutiert.
[/latex]

Prompt: [latex]\(G/H\) ist genau dann hausdorffsch, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(H\subset G\) abgeschlossen ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Die Identifizierung \(G\twoheadrightarrow G/H\) ist genau dann eigentlich, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(H\) kompakt ist.\
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Homogene \(G\)-Räume} sind \(G\)-Räume der Form \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(G/H\) für eine Untergruppe \(H\subset G\).
[/latex]

Prompt: [latex]Das Bild eines kompakten Raumes unter stetigen Abbildungen ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots kompakt.
[/latex]

Prompt: [latex]Jede stetige Bijektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eigentlich.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Raum heißt \textbf{lokal kompakt}, wenn\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots jede Umgebung eines Punktes ein kompakte Umgebung dieses Punktes enthält.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Hausdorff-Raum ist genau dann lokal kompakt, wenn\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine stetige Abbildung heißt \textbf{eigentlich}, wenn\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots sie abgeschlossen ist und alle Fasern kompakt sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Jede stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eigentlich.
[/latex]

Prompt: [latex]Urbilder kompakter (Teil-)Räume unter eigentlichen Abbildungen sind \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots kompakt.
[/latex]
Prompt2: [latex]Urbilder kompakter (Teil-)Räume unter \hide{eigentlichen} Abbildungen sind kompakt.[/latex]
Answer2: [latex]
Urbilder kompakter (Teil-)Räume unter \emph{eigentlichen} Ab\-bildungen sind kompakt.
[/latex]

Prompt: [latex]Jede Komposition eigentlicher Abbildungen ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eigentlich.
[/latex]

Prompt: [latex]Sind $f\colon X\to Y$ und $f'\colon X' \to Y'$ eigentlich, so ist auch \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ihr Produkt $f\times f'\colon X\times X' \to Y\times Y'$ eigentlich.
[/latex]

Prompt: [latex]Satz von Tychonoff[/latex]
Answer: [latex]
Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt.
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{KO-Topologie} auf \(\Top(X,Y)\) wird mithilfe folgender offener Mengen \(M(K,O)\) definiert:[/latex]
Answer: [latex]
Für kompaktes \(K\subset X\) und offenes \(O\subset Y\) besteht \(M(K,O)\) aus allen stetigen Abbildungen, die \(K\) nach \(O\) abbilden.
\[
M(K,O) := \{ f\in \Top(X,Y) \mid f(K)\subset O\}
\]
[/latex]
Prompt2: [latex]Eine Teilmenge $U\subseteq \Top(X,Y)$ ist offen in der KO-Topologie, wenn\dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots jedes $f\in U$ in einem endlichen Schnitt
\[M(K_1,O_1)\cap \dots \cap M(K_n,O_n)\]
enthalten ist, der selbst ganz in $U$ liegt.
\[
f \quad\in\quad M(K_1,O_1)\cap \dots \cap M(K_n,O_n) \quad\subseteq\quad U
\]
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Abbildungsraum} \(\iTop(X,Y)\) ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Menge $\Top(X,Y)$, ausgestattet mit der KO-Topologie.
[/latex]

Prompt: [latex]\[\iTop(\{1,2\},Y)\cong ~?\][/latex]
Answer: [latex]
\[\iTop(\{1,2\},Y) \cong Y\times Y\]
[/latex]

Prompt: [latex]Ein \(G\)-Raum ist genau dann homogen, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(G\) transitiv operiert und die kanonische Abbildung \(G/G_x\rightarrow X\) ein Homöomorphismus ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{Stiefel-Mannigfaltigkeit} \(V_k(\RR^n)\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Menge aller \(n\)-dimensionaler \(k\)-Beine, aufgefasst als Unterraum von \(\RR^{n\cdot k}\).
\bigskip
(analog für \(\CC^n\))
[/latex]
Prompt2: [latex]Ein \(n\)-dimensionales \(k\)-Bein ist \dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots ein \(k\)-Tupel von orthonormalen Vektoren in \(\RR^n\) (oder \(\CC^n\)).
\bigskip
(\((\vec x_1,\dots,\vec x_k)\) mit \(\|\vec x_i\|=1\) und \(\vec x_i \perp \vec x_j\) für \(i\neq j\))
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{Grassmann-Mannigfaltigkeit} \(G_k(\RR^n)\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Menge aller \(k\)-dimensionaler Untervektorräume von \(\RR^n\), ausgestattet mit der Quotiententopologie bezüglich:
\begin{align*}
V_k(\RR^n) &\twoheadrightarrow G_k(\RR^n) \\
(\vec x_1,\dots,\vec x_k) &\mapsto \langle\vec x_1,\dots,\vec x_k\rangle
\end{align*}
\bigskip
(analog für \(\CC^n\))
[/latex]

Prompt: [latex]Der \(n\)-dimensionale \textbf{projektive Raum} \(\RR P^n\) ist definiert als \dots[/latex]
Answer: [latex]
\[
\RR P_n:= G_1(\RR^{n+1})=\{\text{Ursprungsgeraden in } \RR^{n+1} \}
\]
[/latex]

Prompt: [latex]Ist \(X\) ein \(G\)-Raum und \(H\subset G\) eine Untergruppe, so ist der \textbf{\(H\)-Fixpunktraum} definiert durch \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(X^H:=\{x\in X\mid hx=x \ \forall h\in H\}\)
[/latex]

Prompt: [latex]Für zwei \(G\)-Räume \(X,Y\) ist der \textbf{Abbildungsraum}
\[\iGTop{G}(X,Y)\] definiert als \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots der Unterraum aller \(G\)-äquivarianten Abbildungen in \(\iTop(X,Y)\).
[/latex]

Prompt: [latex]Für eine kompakte Gruppe \(G\) und eine abgeschlossene Untergruppe \(H\) ist \[\iGTop{G}(G/H,X)\] homöomorph zu \dots [/latex]
Answer: [latex]
\dots \(X^H\).
\bigskip
\[\left(
\begin{aligned}
\iGTop{G}(G/H,X) &\to X^H \\
f&\mapsto f(1\cdot H)
\end{aligned}
\right)\]
[/latex]

Prompt: [latex]Eine stetige Operation von \(G\) auf \(X\) ist \textbf{eigentlich,} wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die assozierte Abbildung
\begin{align*}
\theta: G\times X &\to X\times X \\
(g,x) &\mapsto (x,g.x)
\end{align*}
eigentlich ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Für eine eigentliche Operation ist der Bahnenraum \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots hausdorffsch.
[/latex]

Prompt: [latex]Für eine eigentliche Operation sind alle Stabilisatoren \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots kompakt.
[/latex]

Prompt: [latex]Operiert \(G\) eigentlich auf \(X\), so sind die Bahnen \(G.x\) \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots abgeschlossen in \(X\).
[/latex]

Prompt: [latex]Operiert \(G\) eigentlich auf \(X\), so sind die kanonischen stetigen Bijektionen \(G/G_x\to G.x\) \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots Homöomorphismen.
[/latex]

Prompt: [latex]
\begin{tabular}{rl}
Jede Operation einer & \hide{kompakten Hausdorff-} Gruppe \\
auf einem & \hide{kompakten Hausdorff-} Raum \\
\end{tabular}
\begin{center}
ist eigentlich.
\end{center}
[/latex]
Answer: [latex]
\begin{tabular}{rl}
Jede Operation einer & kompakten Hausdorff-Gruppe \\
auf einem & Hausdorff-Raum \\
\end{tabular}
\begin{center}
ist eigentlich.
\end{center}
[/latex]

Prompt: [latex]Ist \(G\) endlich, so ist \(\RR^n/G\) stets \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots hausdorffsch.
\bigskip
(Denn: \(G\) ist hausdorffsch und kompakt und \(\RR^n\) ist hausdorffsch, also ist die Operation eigentlich. Und der Bahnenraum einer eigentlichen Operation ist stets hausdorffsch.)
[/latex]

Prompt: [latex]Die \(G\)-Operation auf einem homogenen Raum \(G/H\) ist genau dann eigentlich, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(H\) kompakt ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Operiert \(G\) eigentlich auf \(X\), so operiert auch jede \hide{abgeschlossene} Untergruppe eigentlich auf \(X\).[/latex]
Answer: [latex]
Operiert \(G\) eigentlich auf \(X\), so operiert auch jede \emph{abgeschlossene} Untergruppe eigentlich auf \(X\).
[/latex]

Prompt: [latex]Für die Operation einer \emph{diskreten} Gruppe \(G\) auf einem lokal kompakten Hausdorff-Raum \(X\) sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(1)]
\item \(G\) operiert eigentlich.
\item Für beliebige \(x,x' \in X\) existieren Umgebungen \(U \ni x, U' \ni x'\),
sodass\dots
\end{enumerate}[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(U \cap {g.U'} = \emptyset \) für fast alle \(g \in G\).
[/latex]

Prompt: [latex]Ein \textbf{Weg} in \(X\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine stetige Abbildung vom Einheits\-intervall nach~\(X\).
\bigskip
(Einheitsintervall \(I := [0,1]\subset \RR\))
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Wegraum} von \(X\) ist definiert als \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(PX:= \iTop(I,X)\)
[/latex]

Prompt: [latex]Der (freie) \textbf{Schleifenraum} von \(X\) ist definiert als\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(LX:= \iTop(S^1,X)\)
[/latex]

Prompt: [latex]Die Punkte \(x_0, x_1\) sind \textbf{verbindbar}, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots es einen Weg von \(x_0\) nach \(x_1\) gibt.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Raum heißt \textbf{wegzusammenhängend}, wenn\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots alle Punkte verbindbar sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Jeder \hide{weg}zusammen\-hängende Raum ist \hide{weg}\-zusammen\-hängend.[/latex]
Answer: [latex]
Jeder \emph{weg}zusammen\-hängende Raum ist \phantom{weg}zusammen\-hängend.
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{Wegekomponente} \([x]\) eines Punktes ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Äquivalenzklasse von \(x\) bezüglich Verbindbarkeit.
[/latex]

Prompt: [latex]Die Menge aller Wegkomponenten von \(X\) wird geschrieben als \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(\pi_0X\).
[/latex]

Prompt: [latex]Ein \textbf{Funktor} \(F\colon \cat C \to \cat D\) zwischen zwei Kategorien besteht aus den folgenden Daten:[/latex]
Answer: [latex]
\begin{alignat*}{9}
\text{Er ordnet jedem Objekt } && X &\in \cat C\\
\text{ein Objekt }&& FX &\in \cat D,\\
\text{und jedem Morphismus } && f &\in \cat C(X,Y) \\
\text{einen Morphismus } && Ff &\in \cat D(FX,FY) &&\text{ zu.}
\end{alignat*}
\tiny{
\begin{center}
Dabei mus gelten:
\begin{align*}
F(\id_X) &= \id_{FX}\quad \text{ sowie } \\
F(f \circ g) &= Ff \circ Fg,
\end{align*}
aber das steht auf einer anderen Karte.
\end{center}
}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Ein \textbf{Funktor} \(F\colon \cat C \to \cat D\)
ordnet jedem Objekt in \(\cat C\) ein Objekt in \(\cat D\)
und jedem Morphismus in \(\cat C\) einen Morphismus in \(\cat D\) zu,
sodass gilt:
[/latex]
Answer2: [latex]
\begin{align*}
F(\id_X) &= \id_{FX} \quad \text{ sowie } \\
F(f \circ g) &= Ff \circ Fg
\end{align*}
für komponierbare Morphismen \(f\), \(g\).
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Wegekomponentenfunktor} ist der Funktor:[/latex]
Answer: [latex]
\[\xymatrix{
{\Top} \ar[r]^{\pi_0} & {\cat{Sets}}\\
X\ar@{|->}[r]\ar[d]^f &\pi_0X\ar[d]^{\pi_0f}\\
Y\ar@{|->}[r] & \pi_0Y
}\]
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Homotopie von \(f\) nach \(g\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ist eine stetige Abbildung
\[H\colon I\times X\rightarrow Y\]
mit \(H^\#(0)=f\) und \(H^\#(1)=g\).
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Abbildung heißt \textbf{nullhomotop}, wenn sie \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots homotop zu einer konstanten Abbildung ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Die Menge aller Homotopieklassen von Abbildungen \(X\rightarrow Y\) wird geschrieben als \dots[/latex]
Answer: [latex]
\[[X,Y]\quad \Big(=\Top(X,Y)/\simeq\Big)\]
[/latex]

Prompt: [latex]Was ist \([*,X]\)?[/latex]
Answer: [latex]
\[[*,X]=\pi_0(X)\]
[/latex]

Prompt: [latex]Ist Homotopie mit Komposition verträglich?[/latex]
Answer: [latex]
Ja!
[/latex]

Prompt: [latex]Welche Objekte und Morphismen besitzt die Homotopie\-kategorie \(\cat{HoTop}\)?[/latex]
Answer: [latex]
Objekte: alle topologischen Räume
Morphismen: \(\cat{HoTop}(X,Y):=[X,Y]\)
[/latex]

Prompt: [latex]Eine stetige Abbildung \(f\) heißt \textbf{Homotopieäquivalenz}, wenn \dots \hint{\(\cat{HoTop}\)}[/latex]
Answer: [latex]
\dots \([f]\) in \(\cat{HoTop}\) ein Isomorphismus ist.
[/latex]
Prompt2: [latex]Eine stetige Abbildung \(f\) ist eine Homotopieäquivalenz, wenn es eine Abbildung \(g\) in umgekehrter Richtung gibt mit \dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots \(fg\simeq \id\) und \(gf\simeq \id\).
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Raum heißt \textbf{zusammenziehbar}, wenn er \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots homotopieäquivalent zum Einpunktraum ist.
[/latex]

Prompt: [latex]\(\mathbb{R}^n-0\simeq S^{?}\)[/latex]
Answer: [latex]
\(\mathbb{R}^n-0\simeq S^{n-1}\)
[/latex]

Prompt: [latex]Der Wegekomponentenfunktor ist mit Homotopie ver\-träglich. Das heißt:[/latex]
Answer: [latex]
\[
f\simeq g \quad \Rightarrow \quad \pi_0 f = \pi_0 g
\]
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{Hochhebung} von \(f\colon Z\rightarrow S^1\) bezüglich der universellen Überlagerung \(p\colon \RR\to S^1\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine stetige Abbildung \(\hat{f}\colon Z\rightarrow\mathbb{R}\) mit
\(p\hat{f}=f\).
\[\xymatrix{
&& {\RR} \ar[d]^{p}\\
{Z} \ar@{-->}[urr]^{\hat f} \ar[rr]_{f} && {S^1}
}\]
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Homotopiehochhebungssatz}\\
für die universelle Überlagerung von \(S^1\):
\bigskip
Sei \(Z\) zusammenhängend, und sei \[I\times Z \xrightarrow[\;H\;]{} S^1\] eine Homotopie mit Anfang \(f\). Dann \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots existiert zu jeder Hochhebung \(\hat{f}\) von \(f\) \emph{genau eine} Hochhebung \(\hat{H}\) von \(H\) mit Anfang \(\hat{f}\).
\[\xymatrix{
Z \ar[d]_{(0,id)} \ar[r]^{\hat{f}} & \RR\ar[d]^p \\
I\times Z \ar[r]_-{H} \ar@{..>}[ur]|{\hat H} & S^1}
\]
[/latex]

Prompt: [latex]Für zusammenhängendes \(X\) besitzt
\[f\colon X\rightarrow S^1\] genau dann eine Hochhebung, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \(f\) nullhomotop ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Abbildungsgrad} einer Abbildung \(f\colon S^1\to S^1\) ist definiert als \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Differenz
\[\deg(f) :=\tilde{f}(1)-\tilde{f}(0)\in\mathbb{Z}\] wobei \(\tilde{f}\) eine Hochhebung von \(f\circ q\) ist.
\[\left( q :=p\vert_I=(t\mapsto e^{2\pi i t})\right)\]
[/latex]

Prompt: [latex]Für den Abbildungsgrad homotoper Abbildungen \mbox{\(f\simeq g\)} gilt \dots[/latex]
Answer: [latex]
\[\deg(f)=\deg(g)\]
[/latex]

Prompt: [latex]Ist \(S^1\simeq *?\)[/latex]
Answer: [latex]
Nein!
[/latex]

Prompt: [latex]Der Abbildungsgrad \(\deg\colon [S^1,S^1]\rightarrow\ZZ\) ist \hint{injektiv\slash surjektiv\slash bijektiv}.[/latex]
Answer: [latex]
Der Abbildungsgrad \(\deg\colon [S^1,S^1]\rightarrow\ZZ\) ist bijektiv.
[/latex]
Prompt2: [latex]Der Abbildungsgrad \(\deg\colon [S^1,S^1]\rightarrow(\ZZ,+)\) ist ein Gruppen\-(iso)morphismus bezüglich \dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots der punktweisen Multiplikation von Abbildungen.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Kategorie heißt \textbf{klein}, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ihre Objekte eine Menge bilden.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein \textbf{Gruppoid} ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine kleine Kategorie, in der alle Morphismen Isomorphismen sind.
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{natürliche Transformation} \(\phi\colon F\leadsto G\) zwischen zwei Funktoren \(F,G\colon \cat{C}\rightrightarrows \cat{D}\) besteht aus
\begin{center}
\hide{einem Morphismus in D}
\hide{einem Morphismus in D}
\end{center}
sodass gewisse Quadrate kommutieren.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \textbf{natürliche Transformation} \(\phi\colon F\leadsto G\) zwischen zwei Funktoren \(F,G\colon \cat{C}\rightrightarrows \cat{D}\) besteht aus
\begin{center}
einem Morphismus \(\phi_C\colon FC \rightarrow GC\) in \(\cat D\)
für jedes Objekt \(C\) von \(\cat{C}\),
\end{center}
sodass gewisse Quadrate kommutieren.\\
{\tiny (nämlich für jedes \(f \in \cat{C}(C,C')\) das Diagramm
\[\xymatrix@C=4ex@R=4ex{
FC\ar[d]_{Ff} \ar[r]^{\phi_C} & GC \ar[d]^{Gf}\\
FC'\ar[r]^{\phi_C'} & GC',
}\]
aber das steht auf einer anderen Karte).}
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \textbf{natürliche Transformation} \(\phi\colon F\leadsto G\) zwischen zwei Funktoren \(F,G\colon \cat{C}\rightrightarrows \cat{D}\) besteht aus
einem Morphismus \(\phi_C\colon FC \rightarrow GC\) für jedes Objekt \(C\) von \(\cat{C}\),
sodass die folgenden Quadrate kommutieren:
[/latex]
Answer2: [latex]
\[\xymatrix{
FC\ar[d]^{Ff} \ar[r]^{\phi_C} & GC \ar[d]^{Gf}\\
FC'\ar[r]^{\phi_C'} & GC'
}\]
\begin{center}
für jeden Morphismus \(f\colon C\to C'\) in~\(\cat{C}\).
\end{center}
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{natürliche Isomorphie} zwischen zwei Funktoren ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine natürliche Transformation, deren sämliche Komponenten Isomorphismen sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Funktor \(F\colon \cat{C}\rightarrow \cat{D}\) ist eine
\begin{center}\textbf{Äquivalenz von Kategorien},\end{center} falls \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots es einen Funktor \(\cat{C}\leftarrow \cat{D}\noloc G\) gibt, für den \(FG\) und \(GF\) jeweils zum Identitätsfunktor natürlich isomorph sind.
%Wir schreiben \(\cat{C}\backsimeq \cat{D}\) falls solch eine Äquivalenz existiert.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Funktor \(F\colon \cat{C}\rightarrow \cat{D}\) heißt \textbf{treu}, falls \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots~ \(\cat{C(X,Y)}\rightarrow \cat{D(FX,FY)}\) injektiv ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Funktor \(F\colon \cat{C}\rightarrow \cat{D}\) heißt \textbf{voll}, falls \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots~ \(\cat{C(X,Y)}\rightarrow \cat{D(FX,FY)}\) surjektiv ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Funktor \(F\colon \cat{C}\rightarrow \cat{D}\) heißt \textbf{volltreu}, falls \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots~ \(\cat{C(X,Y)}\rightarrow \cat{D(FX,FY)}\) bijektiv ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Funktor \(F\colon \cat{C} \rightarrow \cat{D}\) heißt \textbf{wesentlich surjektiv}, falls \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots für alle Objekte D von \(\cat{D}\) ein Objekt C von \(\cat{C}\) existiert mit \(FC\cong D\).
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots er volltreu und wesentlich surjektiv ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Nach dem \textbf{Brouwersche Fixpunktsatz} gilt: [/latex]
Answer: [latex]
Jede stetige Selbstabbildung von \(D^n\) besitzt mindestens einen Fixpunkt.
[/latex]

Prompt: [latex]Zwei Wege \(\alpha,\beta\colon x_0\leadsleadsto x_1\) heißen \textbf{gebunden homotop}, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots es eine Homotopie \(H\) von \(\alpha\) nach \(\beta\) gibt, die die Endpunkte \(x_0,x_1\) fixiert
\begin{align*}
\text{(d.\,h. } H(s,0) & =x_0 \text{ und }\\
H(s,1)&=x_1 \text{ für alle }s\in[0,1] \text{)}.
\end{align*}
[/latex]

Prompt: [latex]Die Objekte des Fundamentalgruppoids \(\Pi (X)\) sind \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Punkte des topologischen Raums \(X\).
[/latex]
Prompt2: [latex]Ein Morphismus \(x_0\to x_1\) im Fundamentalgruppoid \(\Pi(X)\) ist \dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots die gebunde Homotopieklasse eines Weges \(x_0\leadsto x_1\).
[/latex]
Prompt3: [latex]Die Komposition von Morphismen in Fundamentalgruppoid \(\Pi(X)\) ist gegeben durch \dots[/latex]
Answer3: [latex]
\dots die Zusammensetzung von [gebundenen Homotopie\-klassen von] Wegen.
[/latex]

Prompt: [latex]Die Isomorphieklassen in \(\Pi(X)\) entsprechen den \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots Wegekomponenten von \(X\).
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{Fundamentalgruppe} \(\pi_1(X,x)\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Automorphismengruppe von \(x\) in \(\Pi(X)\).
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Satz von Seifert und van Kampen für \(\Pi\)}[/latex]
Answer: [latex]
Für jede offene Überdeckung \(X=U\cup V\) ist
\[\xymatrix{
\Pi(U\cap V) \ar[d] \ar[r] & \Pi U\ar[d] \\
\Pi V \ar[r] & \Pi X}
\]
ein Pushout von Gruppoiden.
[/latex]
Prompt2: [latex]\textbf{Satz von Seifert und van Kampen für \(\Pi_A\):}\par Sei \(X=U\cup V\) eine offene Überdeckung und \(A\subseteq X\). Falls \dots[/latex]
Answer2: [latex]
\dots jede Wegekomponente von \(U\cap V\), \(U\), \(V\) die Menge \(A\) schneidet, so ist
\[\xymatrix{
\Pi_A(U\cap V) \ar[d] \ar[r] & \Pi_A U\ar[d] \\
\Pi_A V \ar[r] & \Pi_A X}
\]
ein Pushout von Gruppoiden.
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Satz von Seifert und van Kampen für \(\pi_1\):}\par Sei \(X=U\cup V\) eine offene Überdeckung. Falls \dots [/latex]
Answer: [latex]
\dots der Schnitt \(U\cap V\) wegzusammenhängt, so ist für alle \(x\in U\cap V\)
\[\xymatrix{
\pi_1(U\cap V,x) \ar[d] \ar[r] & \pi_1 (U,x)\ar[d] \\
\pi_1 (V,x) \ar[r] & \pi_1 (X,x)}
\]
ein Pushout von Gruppen.
[/latex]

Prompt: [latex]\(\pi_1(S^n)=\) ? \hint{Fallunterscheidung}[/latex]
Answer: [latex]
\[\pi_1(S^n)=\mathbb{Z}\text{ für } n=1\]
\[\pi_1(S^n)=1\text{ für } n\geq 2\]
[/latex]

Prompt: [latex]\(\pi_1(\bigvee_k S^1) = \) ?[/latex]
Answer: [latex]
\[\pi_1(\bigvee_k S^1)\cong \mathbb{Z}^{\ast k}\]
\begin{center}
(freie Gruppe auf \(k\) Erzeugern)
\end{center}
[/latex]

Prompt: [latex]Ein \textbf{punktierter Raum} \((X,x)\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ein Raum \(X\) zusammen mit einem Punkt \(x\in X\).
[/latex]

Prompt: [latex]Das \textbf{Wedge-Produkt} \((X,x)\vee(Y,y)\) zweier punktierter Räume ist definiert als \dots[/latex]
Answer: [latex]
\[(X,x)\vee(Y,y):=\left(X\amalg Y/x\sim y, x\right)\]
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{(topologische) Mannigfaltigkeit} ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ein zweitabzählbarer Hausdorff-Raum \(M\), in dem jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die homöomorph zu \(\mathbb{R}^n\) ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein topologischer Raum heißt \textbf{zweitabzählbar}, wenn~\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine abzählbare Familie offener Mengen existiert, sodass jede offene Menge eine Vereinigung eben jener ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Beispiele für nicht-leere, zusammenhängende \(0\)-Mannig\-faltigkeiten[/latex]
Answer: [latex]
Der Einpunktraum ist das einzige Beispiel.
[/latex]
Prompt2: [latex]Beispiele für nicht-leere, zusammenhängende \(1\)-Mannig\-faltigkeiten[/latex]
Answer2: [latex]
\(\mathbb{R}^1\) und \(S^1\)
sind die einzigen Beispiele.
[/latex]
Prompt3: [latex]Beispiele für nicht-leere, zusammenhängende \emph{nicht-kompakte} \(2\)-Mannigfaltigkeiten[/latex]
Answer3: [latex]
\(\mathbb{R}^2\), offenes Möbiusband, offene Teilmengen derselben, \dots
[/latex]
Prompt4: [latex]Vollständige Liste aller zusammenhängender \emph{kompakter} \(2\)-Mannigfaltigkeiten[/latex]
Answer4: [latex]
\begin{itemize}
\item \(F_0 :=S^2\)
\item \(F_g := (S^1\times S^1)^{\# g},~g\geq 1\)
\item \(N_k := (\mathbb{R}P^2)^{\# k},~k\geq 0\)
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{zusammenhängende Summe} \(M\#N\) zweier nicht-leerer zu\-sammen\-hängender Mannig\-faltig\-keiten erhält man wie folgt: \hint{Rezept}[/latex]
Answer: [latex]
\begin{enumerate}
\item entferne je eine offene Scheibe
\item verklebe die Mannigfaltigkeiten entlang der Scheiben\-ränder
\end{enumerate}
[/latex]

Prompt: [latex]Ein Raum heißt \textbf{einfach-zusammenhängend}, wenn er \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots \raggedright wegzusammenhängt und eine (\(\Rightarrow\) jede) Fundamental\-gruppe trivial ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Sind die Abbildung \[f,g\colon X \rightrightarrows Y\] homotop, so sind die Funktoren
\[\Pi f, \Pi g\colon \Pi X \rightrightarrows \Pi Y\] \hfill \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots natürlich isomorph.
[/latex]

Prompt: [latex]Die Fundamentalgruppoide homotopieäquivalenter Räume sind \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots äquivalent (als Kategorien).
[/latex]

Prompt: [latex]Jedes \hide{Pullback} einer eigentlichen Abbildung ist eigentlich.[/latex]
Answer: [latex]
Jedes \emph{Pullback} einer eigentlichen Abbildung ist eigentlich.
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \textbf{Überlagerung} eines Raumes \(B\) ist eine stetige Abbildung \(p\colon X\to B \) mit folgenden Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item[(Ü1)] \hide{Die Fasern von {\(p\)} sind diskret.}
\item[(Ü2)] Jeder Punkt von \(B\) hat eine Umgebung, über der \(p\) eine lokale Trivialisierung besitzt.
\end{itemize}
[/latex]
Answer: [latex]
\begin{itemize}
\item[(Ü1)] Die Fasern von \(p\) sind diskret.
\end{itemize}
[/latex]
Prompt2: [latex]Eine \textbf{Überlagerung} eines Raumes \(B\) ist eine stetige Abbildung \(p\colon X\to B \) mit folgenden Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item[(Ü1)] Die Fasern von \(p\) sind diskret.
\item[(Ü2)] \hide{Die Fasern von {\(p\)} sind diskret.}
\end{itemize}
[/latex]
Answer2: [latex]
\begin{itemize}
\item[(Ü2)] Jeder Punkt von \(B\) hat eine Umgebung, über der \(p\) eine lokale Trivialisierung besitzt.
\end{itemize}
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{lokale Trivialisierung} einer Überlagerung \mbox{\(p\colon X\to B\)} über einer Umgebung \(U\) eines Punktes \(b\in B\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ein Homöomorphismus \(h_U\), für den das folgende Diagramm kommutiert:
\[\xymatrix{
p^{-1}U \ar[rr]^{h_U}_{\cong} \ar[rd]_p & & U\times p^{-1}(b) \ar[dl]^{\substack{\quad\text{Projektion auf}\\\text{erste Koordinate}}} \\
& U &
}\]
[/latex]

Prompt: [latex]Sei \(p\colon X\to B\) eine Überlagerung, die über \(U\subseteq B\) trivial ist. Die \textbf{Blätter} von \(p\) über \(U\) sind \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die einzelnen Kopien von \(U\) in \(p^{-1}U \cong \displaystyle\coprod_{p^{-1}(b)}U\).
[/latex]

Prompt: [latex]Ein \textbf{Morphismus von Überlagerungen von \(B\)},
\[\begin{pmatrix}X \\\downarrow\clap{\scriptsize p}\\B\end{pmatrix}
\longrightarrow
\begin{pmatrix}Y \\\downarrow\clap{\scriptsize q}\\B\end{pmatrix},
\]
ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine stetige Abbildung \(f\colon X\to Y\), sodass das folgende Diagramm kommutiert:
\[\xymatrix{
X \ar[rr]^f \ar[rd]_-{p} & & Y \ar[dl]^-{q} \\
& B &
}\]
[/latex]

Prompt: [latex]Die Kategorie \(\cat{Cov}(B)\) besteht aus \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots den Überlagerungen von \(B\) und ihren Morphismen.
[/latex]

Prompt: [latex]Das \textbf{externe Produkt} zweier Überlagerungen
\begin{align*}
p\colon & X\to B \\
p'\colon & X'\to B'
\end{align*}
ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Überlagerung \(p\times p'\colon X\times X'\to B\times B'\).
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{externe Summe} zweier Überlagerungen
\begin{align*}
p\colon & X\to B \\
p'\colon & X'\to B'
\end{align*}
ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Überlagerung \(p\amalg p'\colon X\amalg X'\to B\amalg B'\).
[/latex]

Prompt: [latex]Jeder Basiswechsel einer Überlagerung entlang einer \begin{center}\hide{beliebigen stetigen Abbildung}\end{center} ist wieder eine Überlagerung.[/latex]
Answer: [latex]
Jeder Basiswechsel einer Überlagerung entlang einer \begin{center}beliebigen stetigen Abbildung\end{center} ist wieder eine Überlagerung.
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Transfer} einer Überlagerung \(p\colon X\to B\) entlang einer endlichen Überlagerung \(f\colon B\to B''\) ist definiert als \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Komposition \(fp\colon X \to B''\).
[/latex]

Prompt: [latex]
Jeder Transfer einer Überlagerung entlang einer
\begin{center}
\hide{Überlagerung mit endlichen Fasern}
\end{center}
ist wieder eine Überlagerung.
[/latex]
Answer: [latex]
Jeder Transfer einer Überlagerung entlang einer
\begin{center}
Überlagerung mit endlichen Fasern
\end{center}
ist wieder eine Überlagerung.
[/latex]

Prompt: [latex]Das \textbf{interne Produkt} zweier Überlagerungen von \(B\)
\begin{align*}
p\colon & X\to B \\
q\colon & Y\to B
\end{align*}
ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots der Basiswechsel des externen Produkts (\(p\times q\)) entlang der Diagonale (\(B\underset{(\id,\id)}{\rightarrow} B\times B\)).
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{interne Summe} zweier Überlagerungen von \(B\)
\begin{align*}
p\colon & X\to B \\
q\colon & Y\to B
\end{align*}
ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots der Transfer der internen Summe (\(p\amalg q\)) entlang der Kodiagonale (\(B\amalg B\underset{\id\amalg \id}{\rightarrow}B\)).
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{Hochhebung} einer stetigen Abbildung \(f\colon Z\to B\) bezüglich einer Überlagerung \(p\colon X\to B\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine stetige Abbildung \(\hat{f}\colon Z\to X\) mit \(p\hat{f}=f\).
\[\xymatrix{
&& {X} \ar[d]^{p}\\
{Z} \ar@{-->}[urr]^{\hat f} \ar[rr]_{f} && {B}
}\]
[/latex]

Prompt: [latex]Eindeutigkeit von Hochhebungen
\[\xymatrix{
&& {X} \ar[d]^{\text{ Überlagerung}}\\
{Z} \ar@{-->}[urr] \ar[rr]_{f} && {B}
}\]
[/latex]
Answer: [latex]
Ist \(Z\) \emph{zusammenhängend}, so stimmen je zwei Hoch\-hebungen von \(f\) überein, sobald sie in einem einzigen Punkt übereinstimmen.
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Homotopiehochhebungssatz}\\
für eine Überlagerung \(p\colon X\to B\):
\bigskip
Sei \(Z\) zusammenhängend, und sei \[I\times Z \xrightarrow[\;H\;]{} B\] eine Homotopie mit Anfang \(f\). Dann \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots existiert zu jeder Hochhebung \(\hat{f}\) von \(f\) \emph{genau eine} Hochhebung \(\hat{H}\) von \(H\) mit Anfang \(\hat{f}\).
\[\xymatrix{
Z \ar[d]_{(0,id)} \ar[r]^{\hat{f}} & X\ar[d]^p \\
I\times Z \ar[r]_-{H} \ar@{..>}[ur]|{\hat H} & B}
\]
[/latex]

Prompt: [latex]Für eine Überlagerung \(p\colon X\to B\) ist der Funktor
\[\Pi p\colon \Pi X\to \Pi B\]
\dots \hint{voll\slash treu ?}[/latex]
Answer: [latex]
\dots treu.
[/latex]
Prompt2: [latex]Für eine Überlagerung \(p\colon X\to B\) ist der Homo\-morphismus
\[p_*\colon \pi _1(X,x)\to \pi _1(B,px)\]
für jedes \(x\in X\) \dots \hint{surjektiv\slash injektiv}.
[/latex]
Answer2: [latex]
\dots injektiv.
[/latex]

Prompt: [latex]Ein topologischer Raum ist \textbf{lokal weg\-zusammen\-hängend}, wenn \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots jede Umgebung eines Punktes eine weg\-zusammen\-hängende Umgebung enthält.
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Hochhebungssatz}
Seien \(f\), eine Überlagerung \(p\), und Punkte \(z\), \(x\), \(b\) wie folgt gegeben:
\vspace{-3ex}
\[\xymatrix{
&& {(X,x)} \ar[d]^{p}\\
{(Z,z)} \ar@{-->}[urr]^{\hat f} \ar[rr]_{f} && {(B,b)}
}\]
Ist \(Z\) \dotfill,\\
so besitzt \(f\) genau dann eine Hochhebung \(\hat{f}\) mit \(\hat{f}z=x\), wenn gilt:
\[
f_*\pi_1(Z,z)\subseteq p_*\pi_1(X,x).
\]
[/latex]
Answer: [latex]
Ist \(Z\) \emph{weg\-zusammen\-hängend und lokal weg\-zusammen\-hängend},
so besitzt \(f\) \dots.
[/latex]
Prompt2: [latex]\textbf{Hochhebungssatz}
Seien \(f\), eine Überlagerung \(p\), und Punkte \(z\), \(x\), \(b\) wie folgt gegeben:
\vspace{-3ex}
\[\xymatrix{
&& {(X,x)} \ar[d]^{p}\\
{(Z,z)} \ar@{-->}[urr]^{\hat f} \ar[rr]_{f} && {(B,b)}
}\]
Ist \(Z\) weg\-zusammen\-hängend und lokal weg\-zusammen\-hängend,
so besitzt \(f\) genau dann eine Hochhebung \(\hat{f}\) mit \(\hat{f}z=x\), wenn gilt: \dots
[/latex]
Answer2: [latex]
\[
f_*\pi_1(Z,z)\subseteq p_*\pi_1(X,x).
\]
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{punktierte Abbildung} punktierter Räume\[f\colon (X,x)\rightarrow (Y,y)\] ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine stetige Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ mit $fx=y$\ .
[/latex]

Prompt: [latex]Wir nennen einen Raum \textbf{lokal hinreichend zusammenhängend} oder \textbf{LHZ-Raum}, wenn er \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots lokal wegzusammen- und semi-lokal einfach-zusammenhängt.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{punktierte Überlagerung}
\[(X,x)\overset{p}{\rightarrow}(B,b)\] ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine Überlagerung $p\colon X\rightarrow B$, die eine punktierte Abbildung ist (also $x\in p^{-1}B$).
[/latex]

Prompt: [latex]\(\cat{cCov}_\bullet(B,b)\) ist die Kategorie der \dots [/latex]
Answer: [latex]
\dots punktierten zusammenhängenden Überlagerungen von \((B,b)\).
[/latex]

Prompt: [latex]Wie viele Morphismen kann es zwischen zwei zusammenhängenden \emph{punktierten} Überlagerungen höchstens geben?[/latex]
Answer: [latex]
Einen.
[/latex]

Prompt: [latex] \(\cat{Sub}(G)\) ist die Kategorie der \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots Untergruppen von $G$ und ihrer Inklusionen.
[/latex]

Prompt: [latex]\(\cat{Trans}(G)\) ist die Kategorie der \dots [/latex]
Answer: [latex]
\dots transitiven \(G\)-Mengen (also der \(G\)-Mengen, die aus genau einer Bahn bestehen).
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Normalisator} $N_G(H)$ einer Untergruppe $H\leqslant G$ ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die größte Untergruppe von $G$, in der $H$ normal ist:
\[N_G(H)=\lbrace g\in G \mid gHg^{-1} = H\rbrace.\]
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{Weyl-Gruppe} $W_G(H)$ einer Untergruppe $H\leqslant G$ ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Quotientengruppe $N_G(H)/H$.
[/latex]

Prompt: [latex]\(\cat{Sub}(\ZZ/2)\)[/latex]
Answer: [latex]
\[\xymatrix{
0 \ar@{}[r]|-{\subset} & \ZZ/2
}\]
[/latex]
Prompt2: [latex]\(\cat{Trans}(\ZZ/2)\)[/latex]
Answer2: [latex]
\[\xymatrix{
\{a,b\}\ar@(ul,ur)^{\Aut\,=\,\{\id,\text{Vertauschung}\}} \ar[r] & {*}
}\]
[/latex]
Prompt3: [latex]\(\cat{cCov}(\RR P^2)\)[/latex]
Answer3: [latex]
\[\xymatrix{
{S^2}
\ar@(ul,ur)^{\Aut\,=\,\{\id,-\id\}}
\ar@[gray][dr]^{\color{gray}p}
\ar[rr]^{p}
&&
{\RR P^2}
\ar@{=}@[gray][dl] \\
&
*+[gray]{\RR P^2}
}\]
(\(\pi_1(\RR P^2) = \ZZ/2\))
[/latex]

Prompt: [latex]\(\cat{Sub}(\ZZ)\)[/latex]
Answer: [latex]
\[\xymatrix{
0 \ar@{}[r]|-{\subset} & n\ZZ \ar@{}[r]|-{\subset}_*++{\substack{\text{falls \(n\) Viel-}\\\text{faches von \(m\)}}} & m\ZZ \ar@{}[r]|-{\subset} & \ZZ
}\]
[/latex]
Prompt2: [latex]\(\cat{Trans}(\ZZ)\)[/latex]
Answer2: [latex]
\[\xymatrix{
*++{\ZZ}
\ar@(ul,ur)^{\Aut\,\cong\,\ZZ}
\ar@<6pt>[r]
\ar@<3pt>[r]
\ar@<0pt>[r]
\ar@<-3pt>[r]_-*++{\substack{\text{\(n\) Morphismen}}}
&
*++{\{a_1,\dots,a_n\}}
\ar@(ul,ur)^{\ZZ/n}
\ar@<3pt>@{-->}[r]
\ar@<0pt>@{-->}[r]
\ar@<-3pt>@{-->}[r]_-*++{\substack{\text{\(m\) Morphismen}\\\text{falls \(n\) Viel-}\\\text{faches von \(m\)}}}
&
*++{\{a_1,\dots,a_m\}}
\ar@(ul,ur)^{\ZZ/m}
\ar[r]
&
*++{*}
}\]
[/latex]
Prompt3: [latex]\(\cat{cCov}(S^1)\)[/latex]
Answer3: [latex]
\[\xymatrix@R15ex{
{\RR}
\ar@[gray][drrr]_{\color{gray}\infty}
\ar@(ul,ur)^{\Aut\,\cong\,\ZZ}
\ar@<6pt>[rr]
\ar@<3pt>[rr]
\ar@<0pt>[rr]
\ar@<-3pt>[rr]_-{\text{\(n\) Morphismen}}
&&
{S^1}
\ar@[gray][dr]_-{\color{gray}n}
\ar@(ul,ur)^{\ZZ/n}
\ar@<3pt>@{-->}[rr]
\ar@<0pt>@{-->}[rr]
\ar@<-3pt>@{-->}[rr]_-{\substack{\text{\(m\) Morphismen}\\\text{falls \(n\) Viel-}\\\text{faches von \(m\)}}}
&&
{S^1}
\ar@[gray][dl]^-{\color{gray}m}
\ar@(ul,ur)^{\ZZ/m}
\ar[rr]
&&
{S^1}
\ar@{=}@[gray][dlll]^-{\color{gray}1}
\\
&&&
*+[gray]{S^1}
}\]
(\(\pi_1(S^1) = \ZZ\))
[/latex]

Prompt: [latex]\textbf{Hauptsatz der Überlagerungstheorie}[/latex]
Answer: [latex]
Für jeden LHZ-Raum $B$ definiert der Funktor
\[\cat{Cov}(B)\rightarrow \pi B\mhyph\cat{Sets},\]
der einer Überlagerung \(p\) ihren Fasertransportfunktor \(M_p\) zuordnet, eine Äquivalenz von Kategorien.
[/latex]

Prompt: [latex]\bfseries\sffamily Klassifikationssatz für Überlagerungen[/latex]
Answer: [latex]
Für einen zusammenhängenden LHZ-Raum $B$ ist
\begin{align*}
\cat{Cov}(B) & \longrightarrow \pi_1(B,b)\mhyph\cat{Sets}\\
\begin{matrix}
X \\
\downarrow\clap{\scriptsize p}\\
B
\end{matrix}
\quad & \mapsto \quad
p^{-1}(b)
\end{align*}
für jedes \(b\in B\) eine Äquivalenz von Kategorien.
[/latex]
Prompt2: [latex]\bfseries\sffamily Klassifikationssatz für\begin{center}nicht-leere zusammenhängende\end{center}\raggedleft Überlagerungen\par[/latex]
Answer2: [latex]
Für einen zusammenhängenden LHZ-Raum $B$ ist
\begin{align*}
\cat{cCov}(B) & \longrightarrow\cat{Trans}(\pi_1(B,b))\\
\begin{matrix}
X \\
\downarrow\clap{\scriptsize p}\\
B
\end{matrix}
\quad & \mapsto \quad
p^{-1}(b)
\end{align*}
für jedes \(b\in B\) eine Äquivalenz von Kategorien.
[/latex]

Prompt: [latex]\bfseries\sffamily Klassifikationssatz für \begin{center}punktierte zusammenhängende\end{center}\raggedleft Überlagerungen\par[/latex]
Answer: [latex]
Für einen zusammenhängenden punktierten LHZ-Raum $(B,b)$ ist
\begin{align*}
\cat{cCov}_\bullet(B,b) & \longrightarrow\cat{Sub}(\pi_1(B,b))\\
\begin{matrix}
(X,x) \\
\downarrow\clap{\scriptsize p}\\
(B,b)
\end{matrix}
\quad & \mapsto \quad
p_*\pi_1(X,x)
\end{align*}
eine Äquivalenz von Kategorien.
[/latex]

Prompt: [latex]Die \textbf{Decktransformationsgruppe} einer Überlagerung \(p\colon X\to B\) ist\dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Automorphismgruppe \(\Aut(p)\) von \(p\) in \(\cat{Cov}(B)\), ausgestattet mit der diskreten Topologie.
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Charakterisierung von Decktransformationen}
Eine diskrete Gruppe operiert auf einem zusammenhängenden Raum \(X\) genau dann als Decktransformationsgruppe, wenn \dots
[/latex]
Answer: [latex]
\dots jeder Punkt in \(X\) eine Umgebung \(U\) besitzt, die zu allen ihren Translationen \(gU\) disjunkt ist:
\begin{gather*}
U \cap gU = \emptyset \\
\forall g\in G\setminus \{1\}
\end{gather*}
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine \emph{endliche} Gruppe operiert auf einem zusammenhängenden \emph{lokal kompakten Hausdorff-Raum} genau dann als Decktransformationsgruppe, wenn sie \hide{frei operiert}.
[/latex]
Answer: [latex]
Eine \emph{endliche} Gruppe operiert auf einem zusammenhängenden \emph{lokal kompakten Hausdorff-Raum} genau dann als Decktransformationsgruppe, wenn sie \emph{frei operiert}.
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine \emph{endliche} Gruppe operiert auf einem zusammenhängenden \hide{lokal kompakten Hausdorff-Raum} genau dann als Decktransformationsgruppe, wenn sie \emph{frei operiert}.
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine \hide{endliche} Gruppe operiert auf einem zusammenhängenden \emph{lokal kompakten Hausdorff-Raum} genau dann als Decktransformationsgruppe, wenn sie \emph{frei operiert}.
[/latex]

Prompt: [latex]Operiert \(G\) als Decktransfromationsgruppe auf einem zusammenhängenden Raum \(X\), so ist die Projektion auf den Bahnenraum \(p\colon X\to G\backslash X\) \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine Überlagerung.
[/latex]
Prompt2: [latex]Operiert \(G\) als Decktransformationsgruppe auf einem zusammenhängenden Raum \(X\), so ist \(p\colon X\to G\backslash X\) eine Überlagerung mit Decktransformationsgruppe \dots[/latex]
Answer2: [latex]
\[\Aut(p)=G\]
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Faktorisierungssatz für Überlagerungen}
Ist \(X\) zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend, so faktorisiert eine Überlagerung \(p\colon X\to B\) für \dots
[/latex]
Answer: [latex]
\dots jede Untergruppe \(H\subseteq \Aut(p)\) als
\[
\begin{xy}
\xymatrix{
X \ar[d]_{p^H} \ar@/^0.8cm/[dd]^p \\
H\backslash X \ar[d]_{\bar{p}} \\
B
}
\end{xy}
\]
wobei beide Faktoren wieder Überlagerungen sind.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine Überlagerung heißt \textbf{normal}, wenn \dots \hint{Fasern}[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Decktransformationsgruppe auf jeder Faser \emph{transitiv} operiert.
[/latex]

Prompt: [latex]
Eine Überlagerung eines \emph{wegzusammenhängenden} Raumes \(B\) ist normal, sobald \dots \hint{Faser}
[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Decktransformationsgruppe auf \emph{einer} Faser transitiv operiert.
[/latex]
Prompt2: [latex]
Eine zusammenhängende Überlagerung \(p\colon X\to B\) eines zusammenängenden, lokal wegzusammenhängenden Raumes \(B\) ist genau dann normal, wenn \dots \hint{\(\pi_1\)}
[/latex]
Answer2: [latex]
\dots \[\pi_1(X,x)\underset{p_*}\hookrightarrow \pi _1(B,px)\] für ein (äquivalent: jedes) \(x\in X\) eine normale Untergruppe ist.
[/latex]
Prompt3: [latex]
Eine Überlagerung \(p\colon X\to B\) ist genau dann normal, wenn \dots
\hint{Homöomorphismus}
[/latex]
Answer3: [latex]
\dots die Abbildung \(\Aut(p)\backslash{X}\to B\) ein Homöomorphismus ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{Zwischenüberlagerung} einer (punktierten)\\ Überlagerung \(p\colon (X,x)\to (B,b)\) ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine Faktorisierung von \(p\) in zwei (punktierte) \\Überlagerungen.
[/latex]

Prompt: [latex]
\textbf{Punktierte Galoiskorrespondenz}
Sei \(p\colon (X,x)\to (B,b)\) eine \emph{normale} punktierte Überlagerung mit \(X\) und \(B\) zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Dann haben wir eine Bijektion:
\begin{align*}
\left\{
\text{\parbox{11em}{\centering \hide{Isomorphieklassen}\\\hide{punktierter}\\\hide{Zwischenüberlagerungen}}}
\right\}
&\longleftrightarrow
\left\{
\text{\parbox{7em}{\centering Untergruppen\\von \(\Aut(p)\)\\\phantom{b}}}
\right\}
\end{align*}
[/latex]
Answer: [latex]
\begin{align*}
\left\{
\text{\parbox{11em}{\centering Isomorphieklassen\\punktierter\\Zwischenüberlagerungen}}
\right\}
&\longleftrightarrow
\left\{
\text{\parbox{7em}{\centering Untergruppen\\von \(\Aut(p)\)\\\phantom{b}}}
\right\}
\end{align*}
[/latex]
Prompt2: [latex]
\textbf{Punktierte Galoiskorrespondenz}
Sei \(p\colon (X,x)\to (B,b)\) eine \emph{normale} punktierte Überlagerung mit \(X\) und \(B\) zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Dann haben wir eine Bijektion:
\begin{align*}
\left\{
\text{\parbox{11em}{\centering Isomorphieklassen\\punktierter\\Zwischenüberlagerungen}}
\right\}
&\longleftrightarrow
\left\{
\text{\parbox{7em}{\centering \hide{Untergruppen}\\\hide{von Aut(p)}\\\phantom{b}}}
\right\}
\end{align*}
[/latex]
Prompt3: [latex]
Die Bijektion in der punktierten Galoiskorrespondenz
\begin{align*}
\left\{
\text{\parbox{11em}{\centering Isomorphieklassen\\punktierter\\Zwischenüberlagerungen}}
\right\}
&\longleftrightarrow
\left\{
\text{\parbox{7em}{\centering Untergruppen\\von \(\Aut(p)\)\\\phantom{b}}}
\right\}
\end{align*}
ist gegeben durch: \dots
[/latex]
Answer3: [latex]
\begin{align*}
(X\overset{p'}{\rightarrow} X'{\rightarrow}B) &\mapsto \Aut(p') \\
(X\overset{p^H}{\rightarrow} H\backslash X{\rightarrow}B) &\mapsfrom H
\end{align*}
[/latex]
Prompt4: [latex]
Die punktierte Galoiskorrespondenz gilt für \hide{normale} punktierte Überlagerungen \(p\colon (X,x)\to (B,b)\) zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender Räume.
[/latex]
Answer4: [latex]
Die punktierte Galoiskorrespondenz gilt für \emph{normale} punktierte Überlagerungen \(p\colon (X,x)\to (B,b)\) zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender Räume.
[/latex]

Prompt: [latex]
In der punktierten Galoiskorrespondenz entsprechen die normalen Untergruppen von \(\Aut(p)\) gerade denjenigen Zwischenüberlagerungen, in denen \dots
[/latex]
Answer: [latex]
\dots auch der zweite Faktor \(\bar{p}\) normal ist.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{Identifizierung} ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine stetige Surjektion topologischer Räume
\[\xymatrix{X \ar@{->>}[d]^-{p}\\ Y,}\]
bei der die auf \(Y\) gegebene Topologie mit der von \(X\) und \(p\) induzierten Quotiententopologie übereinstimmt.
[/latex]

Prompt: [latex]Der \textbf{Fasertransportfunktor} \(M_p\colon \Pi B\to \cat{Sets}\) einer Überlagerung \(p\colon X\to B\) ordnet jedem Punkt von \(B\) \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots seine Faser \(p^{-1}b\) zu.
[/latex]
Prompt2: [latex]
Der \textbf{Fasertransportfunktor} \(M_p\colon \Pi B\to \cat{Sets}\) einer Überlagerung \(p\) ordnet der gebundenen Homotopieklasse eines Weges \(\gamma\colon b\leadsto b'\) die Abbildung
\[
M_p[\gamma]\colon p^{-1}(b)\to p^{-1}(b')
\]
zu, die \(x\in p^{-1}(b)\) sendet auf \dots
[/latex]
Answer2: [latex]
\dots den Endpunkt einer in \(x\) beginnenden Hochhebung von \(\gamma\).
\[\xymatrix{
X\ar[d]_{p} & x \ar@{~>}[r]^{\hat{\gamma}} & ? \\
B & b \ar@{~>}[r]_{\gamma} & b'
}\]
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{\(\Pi(B)\)-Menge} ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots ein Funktor \(\Pi(B)\to \cat{Sets}\).
[/latex]

Prompt: [latex]
Sei \(p\colon X\to B\) eine Überlagerung, und sei \(p^{-1}(b)\) eine Faser, aufgefasst als \(\pi_1(B,b)\)-Menge via Fasertransport.
Der Stabilisator eines Punktes \(x\in p^{-1}(b)\) ist \dots
[/latex]
Answer: [latex]
\dots die Untergruppe \(\pi_1(X,x)\underset{p_*}\hookrightarrow\pi_1(B,b)\).
[/latex]
Prompt2: [latex]
Sei \(p\colon X\to B\) eine Überlagerung, und sei \(p^{-1}(b)\) eine Faser, aufgefasst als \(\pi_1(B,b)\)-Menge via Fasertransport.
Die Bahn eines Punktes \(x\in p^{-1}(b)\) ist \dots
[/latex]
Answer2: [latex]
\dots der Schnitt der Faser \(p^{-1}(b)\) mit der Wegekomponente von \(x\) in~\(X\).
[/latex]
Prompt3: [latex]
Die Fundamentalgruppe \(\pi_1(B,b)\) operiert transitiv auf den Fasern jeder Überlagerung \(X\to B\), deren Totalraum \(X\) \hide{wegzusammenhängt}.
[/latex]
Answer3: [latex]
Die Fundamentalgruppe \(\pi_1(B,b)\) operiert transitiv auf den Fasern jeder Überlagerung \(X\to B\), deren Totalraum \(X\) \emph{wegzusammenhängt}.
[/latex]

Prompt: [latex]Eine \textbf{Einbettung} ist \dots[/latex]
Answer: [latex]
\dots eine stetige injektive Abbildung zwischen topologischen Räumen
\[\xymatrix{{X\phantom{,}} \ar@{^{(}->}[r]^-{i} & Y,}\]
bei der die auf \(X\) gegebene Topologie mit der von \(i\) und \(Y\) induzierten Unterraumtopologie übereinstimmt.
[/latex]