[mathjax] Zeigen Sie, dass für folgenstetiges [latex]f[/latex] gilt [latex] \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(\lim_{n\to\infty} x_n) [/latex], falls [latex] (x_n)_{n\in\mathbb N} [/latex] konvergiert. Folgenstetig bedeutet dabei, dass konvergente Folgen in konvergente Folgen überführt werden. Bew. Seien [latex] \lim_{n\to\infty} x_n = x [/latex] und [latex] y = \lim_{n\to\infty} f(x_n) [/latex]. Setze $$ \xi_n = \begin{cases} x_{n/2}, & \text{$n$ gerade}, \\ x, & \text{sonst.} \end{cases} $$ Nach Voraussetzung konvergiert [latex] (f(\xi_n))_{n\in\mathbb N} [/latex]. Die Teilfolge mit den geraden Indices konvergiert gegen [latex] y [/latex], die Teilfolge mit den ungeraden Indices ist konstant gleich [latex] f(x) [/latex]. Daher [latex] y = f(x) [/latex] wie behauptet.