Bei einer Lie-Algebra handelt es sich um einen Vektorraum mit einer zusätzlichen algebraischen Struktur, der sogenannten Lie-Klammer. Mit dieser lassen sich zwei Vektoren v und w zu einem neuen Vektor [v,w] "multiplizieren". Dabei gilt zwar das Distributivgesetz, aber statt Kommutativität gilt die Antisymmetrie [v,w] = -[w,v] und statt Assoziativität gilt die Jacobi-Identität [u,[v,w]] + [w,[u,v]] + [v,[w,u]] = 0. Zum Beispiel bilden alle (n x n)-Matrizen über einem gegebenen Körper mit der Lie-Klammer [A,B] = AB-BA eine Lie-Algebra.
Lie-Algebren tauchen in verschiedenen Kontexten in Mathematik und Physik auf. Oft beschreiben sie "infinitesimale Symmetrien". Insbesondere kann jeder sogenannten "Lie-Gruppe", wie der Gruppe der orthogonalen Transformationen O(n), eine Lie-Algebra zugeordnet werden. Von besonderer Bedeutung sind die halbeinfachen Lie-Algebren, die wir über dem Körper der komplexen Zahlen durch sogenannte "Wurzelsysteme" und zugehörige "Dynkin-Diagramme" klassifizieren werden.
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