Vorlesungsreihe Topologie
Wintersemester 2017/18 bis Wintersemester 2018/19

Übungs­blätter werden wöchentlich in der Vorlesung ausgehändigt. Eine Woche später werden Ihre Lösungen zu Beginn der Vorlesung eingesammelt. Besprochen werden die Aufgaben wiederum etwa eine Woche später in der Übung. Dort erhalten Sie auch Ihre korrigierten und bewerteten Lösungen zurück.

Ergänzend zur Vorlesung wird freitags 14:30–16:00 Uhr ein Seminar zur topologischen K-Theorie angeboten. Dieses Seminar kann aber auch unabhängig von den Speziellen Themen und ohne Vorkenntnisse aus den Vorlesungen Topologie I und Topologie II belegt werden.

Prüfungszulassung (Spezielle Themen)

Das Modul wird mit einer mündlichen Prüfung abgeschlossen. Um zur Prüfung zugelassen zu werden, benötigen Sie 50 Punkte, die Sie mit Hilfe der Übungs­aufgaben unter folgenden Rahmen­bedingungen erwerben können:

• Es wird insgesamt 12 bewertete Aufgaben­blätter mit jeweils 2 Aufgaben à 5 Punkten geben. Das heißt, für jede Lösung, die Sie bis 08:30 Uhr am auf den Aus­gabe­tag folgenden Dienstag einwerfen, erhalten Sie je nach Richtig­keit bis zu 5 Punkte.
• Für Lösungen, die bereits bis 10:30 Uhr am auf die Ausgabe folgenden Montag in den Briefumschlag an der Tür von Büro 25.22.03.67 (Arndt) eingeworfen werden, gibt es einen zwanzig­prozentigen Früh­einwerfer­bonus. Dabei wird aufgaben­weise auf halbe Punkte gerundet (auf oder ab). Insgesamt können Sie also für jede Aufgabe, die Sie bis zu diesem früheren Termin einwerfen, bis zu 6 Punkte erhalten. Geben Sie zu einer Aufgabe an beiden Terminen eine Lösung ab, wird nur die Lösung gewertet, mit der Sie die höhere Punkt­zahl erreichen.

Spezielle Themen

Die Vorlesung Spezielle Themen der Algebra/Geometrie baut auf den Vorlesungen Topologie I und Topologie II auf. Die ersten zwei Drittel orientieren sich inhaltlich an den Kapiteln 21 und 23 von Mays Concise Course in Algebraic Topology. Im letzten Drittel der Vorlesung wollen wir uns Adams' Arbeit über Vector fields on spheres nähern. Husemollers Fibre Bundles bietet dazu einen guten Einstieg, inbesondere die Kapitel 12 und 16.

• Index von Mannigfaltigkeiten
• §1: Euler-Charakteristik und Index 09.+16.10.
• §2: Euler-Charakteristik von Rändern 16.10.
• §3: Poincaré-Dualität für Mannigfaltigkeiten mit Rand23.10.
• §4: Index von Rändern 30.10.
• Charakteristische Klassen
• §5: Klassifikation von Vektorbündeln 06.11.
• §6: Charakteristische Klassen von Vektorbündeln 13.11.
• §7: Charakteristische Klassen von Mannigfaltigkeiten 20.+27.11.
• §8: Charakteristische Zahlen 04.+11.12.
• Exkurs
• X: Die Serre-Spektralsequenz 18.12.
• Vektorfelder auf Sphären
• §9: Vektorfelder via Clifford-Moduln08.01.
• §10: Stiefel, Stutzen, S-Kategorie15.01.
• §11: Kohomologie­operationen22.01.
• §12: Die Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz29.01.

Themen der Topologie I und Topologie II

Die Vorlesungsreihe Topologie folgt im wesentlichen Mays „concise course“. Die drei großen Themenblöcke der beiden Vorlesungen Topologie I und Topologie II lauteten somit höhere Homotopiegruppen, Homologie und Kohomologie, und zwar in dieser etwas unüblichen Reihenfolge.

Topologie I

• §0: Einführung
• Grundlagen
• §1: Kategorien und Funktoren
• §2: Universelle Eigenschaften
• §3: Exponentialgesetz
• Homotopietheorie
• §4: Kofaserungen
• §5: Faserungen
• §6: Faser- und Kofasersequenzen
• §7: Höhere Homotopiegruppen
• §8: Zellkomplexe
• §9: Freudenthalscher Einhängungssatz
• Homologie
• §10: Rudimentäre homologische Algebra
• §11: Zelluläre Homologie

Topologie II

• §0: Motivation & Wiederholung
• Homologie
• §1: Axiomatische Homologie
• §2: Hurewicz-Isomorphismus
• §3: Eindeutigkeit gewöhnlicher Homologietheorien
• §4: Simpliziale Homologie
• §5: Singuläre Homologie
• §6: Künneth- & Koeffizienten-Theorem
• Kohomologie
• §7: Axiomatische Kohomologie
• §8: Zelluläre Kohomologie
• §9: Cup-Product
• §10: Künneth- & Koeffizienten-Theorem
• §11: Beispiele & Anwendungen
• Poincaré-Dualität
• §12: Aussagen und Beispiele
• §13: Cap-Produkt
• §14: Orientierbarkeit
• §15: Zwei Beiweisskizzen
• Algebra
• A: Moduln
• B: Tensorprodukte und Tor
• C: Hom und Ext

Literatur

Die Vorlesungsreihe lehnt sich wie erwähnt eng an Mays Concise Course in Algebraic Topology an. Zum Selberlesen und -anschauen sehr viel besser geeignet ist Hatchers Bilderbuch. Daneben eignet sich auch die reich illustrierte Neuerscheinung Elementary Applied Topology von Ghrist zum gelegentlichen Schmökern, Über-den-Tellerrand-schauen oder Motivationstanken.

J. F. Adams, Vector fields on spheres. Ann. of Math. (2) 75 (1962), pp. 603–632.

Raoul Bott & Loring W. Tu, Differential forms in algebraic topology   (Springer 1995)

Tammo tom Dieck, Topologie   (de Gruyter 2000)

Robert Ghrist, Elementary Applied Topology   (Createspace 2014)

Allen Hatcher, Algebraic Topology   (Cambridge University Press 2002)

Allen Hatcher, Spectral Sequences   (preliminary Chapter 5 Algebraic Topology)

Dale Husemoller, Fibre Bundles   (Springer 1966/75/94)

Klaus Jänich, Vektoranalysis   (Springer 2005)

Gerd Laures & Markus Szymik, Grundkurs Topologie   (Spektrum 2009)

Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician   (Springer 1978)

Jon Peter May, A concise course in algebraic topology   (University of Chicago Press 1999)

Jon Peter May & Kathleen Ponto, More concise algebraic topology   
(University of Chicago Press 2012)

John Willard Milnor & James D. Stasheff, Characteristic classes (Princeton University Press 1974)