Oberseminar Algebra und Geometrie
Winter term 2023/24: Central Simple Algebras
Chaired by I. Halupczok, H. Kammeyer and B. Klopsch.
Organised by I. Halupczok
All talks take place on Fridays at 12:30 pm in 25.22.03.73.
If you want to participate but did not yet receive any mails related to the seminar, please get in touch with I. Halupczok so that your address is added to the mailing list.Infos für Studierende
Das Oberseminar richtet sich an alle, die sich für das Thema interessieren, ist aber tendenziell eher für fortgeschrittene Studierende geeignet (ab Master). Besonders empfohlen wird die Teilnahme an Oberseminaren, wenn Sie sich vorstellen können zu promovieren.Wenn Sie intessiert sind, können sich sich entweder einfach so ins Seminar reinsetzen (ohne Anmeldung), oder Sie können auch selbst einen Vortag halten (und sich das Seminar fürs Studium anrechnen lassen). Wenn Sie einen Vortrag halten wollen und/oder wenn Sie unsicher sind, ob Sie die nötigen Voraussetzungen haben, kontaktieren Sie einfach den/die Organisator:in. Er/sie kann Sie dann ggf. auch beraten, welcher Vortrag für Sie geeignet wäre.
Die Vorträge in diesem Oberseminar sind auf englisch. Üblicherweise nehmen an Oberseminaren auch viele Doktorand:innen, Postdocs und Professor:innen teil. Als Studi erhalten Sie das Privileg, sich einen besonders einfachen Vortrag aussuchen zu dürfen. Wahrscheinlich werden Sie von den anderen Vorträgen nicht alles verstehen; das passiert aber auch den fortgeschritteneren Teilnehmer:innen, und auch, wenn man nicht alles verstanden hat, hat man doch am Ende oft einen interessanten Einblick in ein neues Thema erhalten. Nebenbei erhalten Sie außerdem einen Einblick in die Arbeit von Mathematiker:innen.
Aims and Content - a short description
A field whose multiplication is not necessarily commutative is called a division algebra. There is a beautiful and classical theory of division algebras which are finite extensions of fields. It turns out that it is often more convenient to consider a slightly more general notion, namely central simple algebras (over a field $F$). In this seminar, we will see, among others:- Out of the central simple algebras over a field $F$, one can construct a group called the Brauer Group.
- The only finite division algebras are fields. (This is a theorem by Wedderburn.)
- Concrete constructions of various examples, in particular of quaternion algebras.
- We will recall the notion of local fields, and as the final goal, we will describe all central simple algebras over local fields. (In other words, we will determine their Brauer groups.)
Schedule
Please volunteer for talks that have not yet been asigned to anyone!13.10.23 | 1: Warm-up: Quaternion Algebras (tba)
[Pie 1.6], [MR 2.1, up to Lemma 2.1.6] |
20.10.23 | 2: The Brauer-group (tba)
[MR 2.8] |
27.10.23 | 3: Wedderburn's structure Theorem (tba)
[MR 2.9] |
3.11.23 | 4: Isomorphisms of Quaternion Algebras (Marcelo)
[MR 2.3] [Pie 1.7] |
10.11.23 | 5: Maximal subfields (tba)
[Pie 13.1-13.3]; but restrict to the case where $A$ is a central simple algebra |
17.11.23 | 6: (a) Separability; (b) Infiniteness (tba)
Part a: [Pie 13.5] |
24.11.23 | 7: The Brauer Group is a Galois Cohomology Group (tba)
[Pie 14.1-14.3] |
1.12.23 | 8: Cyclic Algebras (tba)
[Pie 15.1 15.4] |
8.12.23 | 9: Valuations on division algebras (tba)
[Pie 17.1-17.3] |
15.12.23 | 10: Completions (Giada)
[Pie 17.4, 17.5] |
22.12.23 | 11: (a) Quaternion algebras over non-archimedean local fields and (b) extending valuations (tba)
Part a: [MR 2.6] |
12.1.24 | 12: Ramification (Margherita)
[Pie 17.7, 17.8] |
19.1.24 | 13: The Brauer Group of Local Fields (tba)
[Pie 17.9, 17.10] |
26.1.24 | (free slot) |
2.2.24 | Discussion of topics for the next semester (all of us) |
Literature
[MR] C. Maclachlan, A. Reid: The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds[Pie] R. Pierce: Associative Algebras
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