Warum P2 nicht orientierbar ist
Im letzten Tutorium war die Frage diskutiert worden, warum der \(\mathbb P^2(\mathbb R)\) nicht orientierbar ist.
Wir betrachten die folgenden beiden Karten:
Dann \(\tau_{0,1}(y_1, y_2) = \left( \frac1{y_1}, \frac{y_2}{y_1} \right)\), also \(\det D_{\tau_{0,1}}(y_1,y_2) = -y_1^{-3}\).
Der Durchschnitt \(U_0 \cap U_1\) besteht aus den beiden Komponenten \(V_+ = \{ [x_0: x_1: x_2] \mid x_0x_1 > 0 \}\) und \(V_- = \{ [x_0: x_1: x_2] \mid x_0x_1 < 0 \}\). Ohne Einschränkung ist \(\phi_0\) positiv orientiert. Da \(\tau_{0,1}\) auf \(V_-\) orientierungserhaltend ist, ist dann auch \(\phi_1\) positiv orientiert. Wenn der \(\mathbb P^2(\mathbb R)\) orientierbar wäre, dann müsste \(\tau_{0,1}\) auch auf \(V_+\) orientierungserhaltend sein. Das ist sie aber nicht.