Warum P2 nicht orientierbar ist

Im letzten Tutorium war die Frage diskutiert worden, warum der \(\mathbb P^2(\mathbb R)\) nicht orientierbar ist.

Wir betrachten die folgenden beiden Karten:

\begin{align*} \phi_0 \colon U_0 = \{ [x_0: x_1: x_2] \mid x_0 \ne 0 \} &\to \mathbb R^2, & [x_0: x_1: x_2] &\mapsto \left( \frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0} \right) \\ \phi_1 \colon U_1 = \{ [x_0: x_1: x_2] \mid x_1 \ne 0 \} &\to \mathbb R^2, & [x_0: x_1: x_2] &\mapsto \left( \frac{x_0}{x_1}, \frac{x_2}{x_1} \right) \end{align*}

Dann \(\tau_{0,1}(y_1, y_2) = \left( \frac1{y_1}, \frac{y_2}{y_1} \right)\), also \(\det D_{\tau_{0,1}}(y_1,y_2) = -y_1^{-3}\).

Der Durchschnitt \(U_0 \cap U_1\) besteht aus den beiden Komponenten \(V_+ = \{ [x_0: x_1: x_2] \mid x_0x_1 > 0 \}\) und \(V_- = \{ [x_0: x_1: x_2] \mid x_0x_1 < 0 \}\). Ohne Einschränkung ist \(\phi_0\) positiv orientiert. Da \(\tau_{0,1}\) auf \(V_-\) orientierungserhaltend ist, ist dann auch \(\phi_1\) positiv orientiert. Wenn der \(\mathbb P^2(\mathbb R)\) orientierbar wäre, dann müsste \(\tau_{0,1}\) auch auf \(V_+\) orientierungserhaltend sein. Das ist sie aber nicht.