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Kondensierte Mathematik
Oral part of a habilitation process. Exceptionally, the talk starts at 2.30 pm, and tea, coffee and biscuits will be served afterwards.
Note also that this is a Tuesday.
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Die Kondensierte Mathematik ist ein jüngst von D. Clausen und P. Scholze eingeführter Zugang zu
einigen fundamentalen Fragen topologischer Abelscher Gruppen, Moduln und Garben.
Ein häufig auftretendes Problem in der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie
besteht darin, daß grundlegende Handwerkszeuge (wie z. B. Dualität) nur unter starken Endlichkeits-
bedingungen zur Verfügung stehen. Diese werden allerdings von Operationen wie Pushforward
längs einem nicht eigentlichen Morphismus i. a. nicht erhalten. Versucht man, dieses Problem
durch Hinzufügung einer topologischen Struktur zu lösen, treten andere Schwierigkeiten auf, von
denen einige (z. B. Vervollständigung) technischer Natur sind. Viel Grundlegender ist jedoch, daß
die Kategorie z. B. der topologischen Abelschen Gruppen nicht Abelsch ist.
Die von Clausen und Scholze eingeführte Theorie ersetzt den Begriff des topologischen Raumes
durch denjendigen der kondensierten Menge, welcher statt der offenen Menge die Intuition der
Konvergenz formalisiert. Darauf aufbauend erhält man Kategorien der soliden (= „Vollständigen“)
kondensierten Moduln bzw. Garben, welche hervorragende kategorielle Eigenschaften aufweisen und
sich unter den üblichen sechs Operationen (Pushforward, Pullback, Dualität etc.) gut verhalten.
Dies erlaubt es z. B., die Grothendieck-Dualität ohne Eigentlichkeitsbedingung an den Morphismus
zu beweisen.
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Immanuel Halupczok und