Die Topologie befasst sich mit Eigenschaften von Räumen, die erhalten bleiben, wenn man stetige Verformungen zulässt, also Transformationen, die zwar Winkel und Längen verändern können, aber nicht die qualitative "globale" Form. Das hat sich als eine sehr fruchtbare Idee erwiesen, die zu einer reichhaltigen Theorie führt. Wir haben in der "Einführung in die Topologie" die grundlegenden Konzepte dieser Theorie kennengelernt und anschließend in "Topologie I" das Studium der "algebraischen Topologie" begonnen. In "Topologie II" werden wir unsere Kenntnisse weiter vertiefen. Zu Beginn werden wir uns mit Methoden der homologischen Algebra beschäftigen und insbesondere Künneth- und universelle Koeffiziententheoreme beweisen, womit wir weitere Werkzeuge zur Berechnung der Homologie von Räumen zur Verfügung haben. Zur bereits bekannten Homologie gesellt sich dann als dualer Begriff die Kohomologie. Die Kohomologie hat den Vorteil, dass eine natürliche Produktstruktur auf ihr erklärt ist, die sie zu einem graduierter Ring macht. Homologie wird sodann ein Rechtsmodul über diesem Ring. Für Mannigfaltigkeiten beweisen wir den Poincaré-Dualitätsisomorphismus zwischen Homologie und Kohomologie. Hier ergibt sich also aus der Forderung an einen Raum lokal euklidisch zu sein eine globale Symmetrieeigenschaft der Homologie. Mit dem Kurs erhalten Sie Zugang zu einem großen aktuellen Forschungsgebiet mit vielen Möglichkeiten zur Spezialisierung im Hinblick auf Master- und Doktorarbeiten.
Alle Interessierten werden gebeten sich im HIS-LSF zu der Veranstaltung anzumelden.
Upon request, the course can be taught in English.